材料力學(xué)中平截面假定的檢驗(yàn)

材料力學(xué)中平截面假定的檢驗(yàn)定義平截面假定：垂直于桿件軸線的各平截面（即桿的橫截面）在桿件受拉伸、壓縮或純彎曲而變形后仍然為平面，并且同變形后的桿件軸線垂直。目的檢驗(yàn)平截面假定是否合理。對于圖1所示的受力梁，用彈性力學(xué)理論知識，取以下五個截面作檢驗(yàn)。圖1梁的受力簡圖方法分別用材料力學(xué)和彈性力學(xué)知識，計算梁截面變形后的水平和豎直位移公式；用matlab軟件畫出位移圖像； 分析兩種計算方法之間的偏差。設(shè)定彈性模量，剪切模量，泊松比，長度，高度，寬度的值并計算出慣性矩的值分別如下：分析對于圖1所示的受力梁，在材料力學(xué)中，根據(jù)平截面假定，我們可以得到撓曲線的近似微分方程對于圖1所示的梁，有且有邊界條件，當(dāng)時，有，.由此可以求得撓度方程為撓度值也就是豎直方向上的位移，即有（1）圖2梁的變形示意圖如圖2所示，又有幾何關(guān)系有因?yàn)槭切∽冃?，有又所以有，因此，水平方向的位移?）由彈性力學(xué)可以推導(dǎo)出水平方向位移為（3）豎直方向位移為（4）將各參數(shù)的值分別代入公式（1）（2）（3）（4）中，用matlab軟件畫出位移圖像，圖像中，藍(lán)色線（或）為彈性力學(xué)的結(jié)果，紅色線（或）為材料力學(xué)的結(jié)果。橫坐標(biāo)為高度值（即y值）的變化，縱坐標(biāo)為位移值。截面1.水平位移圖像程序x=0;y=(-0.1:0.01:0.1)u1=-(10^4*x^2*y)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))-(0.3*10^4*y.^3)/(6*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*y.^3)/(6*80*10^9*1/(3*10^3))+((10^4*2^2)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))-(10^4*0.1^2)/(2*80*10^9*1/(3*10^3)))*y;u2=-(10^4*x^2*y)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*2^2*y)/(2*208*10^9*1/(3*10^3));plot(y,u1,'b',y,u2,'r:');其它截面，只需將第一個程序段改為相應(yīng)的值即可。圖3截面上的水平位移圖4截面上的水平位移圖5截面上的水平位移圖6截面上的水平位移圖7截面上的水平位移截面2.豎直位移圖像程序x=0;y=(-0.1:0.001:0.1);v1=(0.3*10^4*x*y.^2)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*x^3)/(6*208*10^9*1/(3*10^3))-(10^4*2^2*x)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*2^3)/(3*208*10^9*1/(3*10^3));v2=(10^4*x^3)/(6*208*10^9*1/(3*10^3))-(10^4*2^2*x)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*2^3)/(3*208*10^9*1/(3*10^3));plot(y,v1,'b',y,v2,'r:')其它截面，只需將第一個程序段改為相應(yīng)的值即可。圖8截面上的豎直位移圖9截面上的豎直位移圖10截面上的豎直位移圖11截面上的豎直位移圖12截面上的豎直位移從以上位移圖像看出，彈性力學(xué)和材料力學(xué)所計算得出的結(jié)果相差很小，最大的偏差數(shù)量級也達(dá)到，在五個截面上，隨著值的增大，水平位移偏差越來越大，豎直位移偏差越來越小。3.絕對誤差（偏差）直接將公式（1）和（4）作差，（2）和（3）作差，即可得到位移偏差的公式水平方向的位移偏差公式豎直方向的位移偏差公式4.相對誤差水平方向位移的相對誤差，豎直方向位移的相對誤差為.用matlab軟件繪制出相對誤差圖像(由于誤差非常小，為了能從圖像中顯示出來，所以將其擴(kuò)大10^6倍)4.1水平方向位移相對誤差計算x=0;y=(-0.1:0.0001:0.1);a=((-(0.3*10^4*y.^3)/(6*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*y.^3)/(6*80*10^9*1/(3*10^3))+(-(10^4*0.1^2)/(2*80*10^9*1/(3*10^3)))*y)/(-(10^4*x^2*y)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))-(0.3*10^4*y.^3)/(6*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*y.^3)/(6*80*10^9*1/(3*10^3))+((10^4*2^2)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))-(10^4*0.1^2)/(2*80*10^9*1/(3*10^3)))*y))*10^6;plot(a,y,'b');其它截面，只需將第一個程序段改為相應(yīng)的值即可。圖像橫坐標(biāo)代表相對誤差值，縱坐標(biāo)代表高度值。圖13截面的水平位移相對誤差圖14截面的水平位移相對誤差圖15截面的水平位移相對誤差圖16截面的水平位移相對誤差圖17截面的水平位移相對誤差4.2豎直方向位移相對誤差計算x=0;y=(-0.1:0.0001:0.1);b=(((0.3*10^4*x*y.^2)/(2*208*10^9*1/(3*10^3)))/((0.3*10^4*x*y.^2)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*x^3)/(6*208*10^9*1/(3*10^3))-(10^4*2^2*x)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*2^3)/(3*208*10^9*1/(3*10^3))))*10^6;>>plot(b,y,'b')圖18截面的豎直位移相對誤差圖19截面的豎直位移相對誤差圖20截面的豎直位移相對誤差圖21截面的豎直位移相對誤差圖22截面的豎直位移相對誤差結(jié)論綜上所述，五個截面的位移相對誤差如表1所示表1位移相對誤差水平位移相對誤差0.54%0.54%0.54%0.72%100%豎直位移相對誤差00.002%0.0044%0.06%100%從表1的數(shù)據(jù)可以看出，除固定端外，其它截面的相對誤差都很小。對于圖1的受力梁，除了受到彎矩外，還有剪力的作用。