13.4《最短路徑問題》教案

13.（2第2頁PAGE10頁【思路點撥】直線AB上有一點，此時點P與線段AB的位置關(guān)系有兩種：①如圖，點在線段AB上；②如圖2和圖3，點在線段BA的延長線上或點在直線AB的延長線上.【解題過程】⑴當(dāng)點P在線段B上時，如圖1，A+B=AB即B最小值為AB的值；⑵當(dāng)點P在線段BA的延長線上時，如圖，B=A；⑶當(dāng)點P在線段AB的延長線上時，如圖，A-B=AB；【答案】⑴線段AB上；⑵線段BA的延長線上；⑶線段AB的延長線上.⑷如圖，點、B在直線的同側(cè)，在直線上能否找到一點，使得｜B－｜的值最大？【知識點】兩點之間線段最短，三角形兩邊的差小于第三邊當(dāng)點P與BPBAP、點A、點B三邊，則｜－當(dāng)點P與BPBA線上時，即點P為直線AB與直線的交點，則｜－｜=AB.【解題過程】⑴當(dāng)點P在直線上且點、點A、點B不共線時｜－｜＜AB；⑵當(dāng)點P在線段BA的延長線與直線的交點時，如圖，BA=A，即｜B－｜=A；【答案】如圖，連接A并延長交直線l于，此時｜B－A｜的值最大.（二）課堂設(shè)計⑴在平面內(nèi)，一個圖形沿一定方向、移動一定的距離，這樣的圖形變換稱為平移變換（簡稱平移）.平移不改變圖形的形狀和大小.⑵三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：三角形兩邊的差小于第三邊題一稱解距離之差最大題動①回顧知，知：上課識數(shù)學(xué)、學(xué)的學(xué)，解數(shù)學(xué)的——”（）“”情況：②整合舊知，探究新知1.ABll的值最大．【知識點】軸對稱變換，三角形三邊的關(guān)系【思路點撥】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形三邊的關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法.A(B)l的對稱點A′(B′)A′B(AB′)lC.1lAlA′，A′BlCC即為所求．③類比建模，證明新知（直線同側(cè)一線型AC最小的嗎？試類比證明“｜AC－BC｜最大”的作法是否正確性？lCC)CA，C′A，C′A′，C′B.因為點A，AllAA的垂直線，則CCA，所以CA－BCA－CAB.ClCCA在ABC，CA－CBCA－CACA－CBC－B.、B在由1的同小形的的點上，建直角系，如圖所示Px軸上使－B的值最大的點，Qy軸上使QA+QB的值最小的點，在圖PQ.【知識點】兩點之線段最，三角形任意兩邊的差小于三邊，三角形任意兩邊的大于三邊【思路點撥】【思路點撥】P、BABP為直線ABxPx軸上使A－B的值最大的點，即｜－PB｜=AB、By軸同側(cè)yQ，使QA+QB最小段ABAB與x軸交于點時P是x軸上使－BAB｜AB；⑵AxAAByQQy軸上使QA+QB的值最小的點.【答案】如圖，點P與點Q即為所求：▲“”CDAEFC∥EF.顯然當(dāng)AB垂于時長最短.②2.BN何ABAMNB最短（假設(shè)兩是行線要垂）【知識【知識】知識兩之間線段最短【思撥】將抽象成數(shù)從A到B要走線是AM→B示MN是定值于是要使程最短ABN1最短時兩線段ABN行N到AA，AAMAM+=B當(dāng)N線b位時A′N+NB最2AB兩線線段AB最短因線段AB線bN位NM得徑A→ M→ N→ B是最短1【程】2MN到AA（AAA垂于，A于Ab于.N垂線另條a于M.【答案】示MN位2③幾何證明述是最短請你想想.先讓組完成進行展示、享.M∥AAM=AAM=AM∥A，、B兩地距離AM+M+B=AAA+BN=AAAB.b若橋M⊥，MAMANNB行知AM=ANA=橋后B 兩地距離為AM+MN+NB=AN+AA+NB=AA+AN+NB△AN中，∵BAB∴AA+AN+NBB 即B＞AM+MBNMN處AB兩地路程最短.【設(shè)計意圖】利用等變換把問題轉(zhuǎn)化為容易解決已知問題從而做出最短路徑.1BA城經(jīng)過一條大江到B城出行今欲在江上建一座與兩岸垂直大橋且筆直江岸互相行如何選擇建橋位置AB地路程最短？【知識點】【知識點】知識兩點之間線段最短AB要路線A→M→B如圖所N，要使路程最短AMBN最短即兩線段應(yīng)在一行方上，MNACBC不N即為建橋位置MN即為所建橋．(1AACAC等(2連接BC與岸一(3N作岸垂線另一條岸M.【2所MN為所建橋位置．知識主要知識為兩個最問題：（1）利用軸對稱知識解決線段距離之差最大問題；（2）利用、兩點間線段最短解決造橋選址問題．重點歸納解決線段最問題們利用、兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上從而作出最短路徑方解決問題．⑴距離之差最大問題兩種模型①如果兩點在一條直線側(cè)過兩點①即可.通常求值或小值情況常取個來解決而用三角形三邊系來推證說明法正確性．“造橋選址問題鍵是把各到上．解決連接河岸的個短路徑問題可以通過平移河岸方法使河寬度變零求到上所連和小問題．（三）課后業(yè)圖、B分別表示幢樓所位置a表示輸水總b表示輸總．總上分別個連接分管水和輸B幢樓求使幢樓輸水分和輸分用A是AbAB分別、aB是BaBA分別aEF則求輸水和輸分連接是（ ）A．F和C 和E C．D和C D．D和E短路徑問題．路圖個（）型型.解題過短路求可輸水分連接是BaBA連分連接是AbB連C．故A．面鏡子MN豎懸掛墻壁上人眼O位置鏡子MN上沿M水平．有四個物體D放鏡子前面人眼能從鏡子看見物體有（ ）A.A、、C B.A、B、D C.、C、D D.A、B、、D軸路物體鏡子里面所像就是數(shù)學(xué)問題物體鏡面所是范圍內(nèi)下D四MN、CNBDADMNA′、BCCMONADD50B90EFB、CAEFF）50° B60° 70° 80°ABCD50B90BA=130°BBPABAD=AABCCDQBCECD相QAEFD°APQ18013050.E2，AFQA2FAF22×50＝100° EAF=180100=80°“一型”求問②根據(jù)等180求出再根據(jù)運用整想決．DB公同側(cè)公有一公車站此P得｜A｜大試出公P位置.任意差PAB共根據(jù)“任意差”｜｜＜BPB共BAPAB｜B｜=B.⑴P且AB共｜｜＜ABPBABA=AB=A；P.C2ADBCEADFACEF+EC∠ECF度數(shù).知識腰三角形“三合一軸對稱知識兩之間短思路撥拆分出FC和A構(gòu)成兩一型基本模型解決本題關(guān)鍵F）AD于此CF（BECF度數(shù)CF，根據(jù)三合一性質(zhì)解.解題過程ABF則ACFF關(guān)于AD對稱CFAD相于E此E+EC.因為CFCAB平分∠B則∠F度數(shù)是作解題之前應(yīng)該忽略E1又由兩一型短距離模型到2；∠ECF度數(shù)30°RC∠BACBC=AB=1D∠平分P、Q分別ADACPC+PQ.知識軸對稱知識、垂短、角平分性質(zhì)數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化解題過程過CM⊥BMAD于過P⊥AC于∵AD∠C∴=MC+QCM 度. ∵C6BC=8B0S

1 ABC=2ABC

，∴CM=AC

=6

8=

24PC+PQ．AB 10 5 5思路撥因∠C對稱軸∠C平分A以Q對稱射BQAD對稱C+Q=CM，又M共C+MCM根據(jù)垂短，以C⊥ABCM過CCM⊥AB于AD于點PACAD∠BAC=M這1 1C+Q有最小值最小值CM的長度△C=2ABCM=2ACBC，CMPC+PQ的最小值．本題主要考查了軸對稱問題解題的關(guān)鍵PC+PQ有最小值時PQ的位置．5能力型師生共研3ABC中EG分別BA的中PF上一個動、求△BPG周長的最小值．【知識】軸對稱的知識、兩之間線段最短【思路撥】要使△PBG的周長最小一個定值BP+PG最短即可則轉(zhuǎn)化兩一線型的最短路徑問題ABEFPPE重合時BP+PG最小即△PBG的周長最小.【解題程】如圖AGEFM∵等邊△、F、G分別AB、AC、C的中∴BE∥BAFAMM∴、G關(guān)EF對稱ABEFPE重合時B+G最小即△PBG的周長最小∵A=B=E∴最小值B+B=AE+BG=AB+BG=3+1.5=4.5．【答案】4.5探究型多維突破在直角三角形中兩直角ab的平方和等c的平方a+=直角三角形的短直角邊稱勾長直角邊股斜邊稱所這個定理成“勾股定理”.如：直角三角形的兩個直角邊分別3、4則斜邊2=a2+b25，cc5.勾股定理可解多最短路徑問題勾股定理的在中勾股定理面的練習(xí)：B兩個位CD的同側(cè)河流的距離AC=10km，BD=30km且CD=30km河流CD上一個泵站P向村莊供水鋪為“勾股定理”為“勾股定理”.：直角三角形的兩直角為3、4，則2=【知識點】軸對稱的知識、兩點之間線段最短【思路點撥】根據(jù)已知得出作點A關(guān)于直線l的對稱點A，連接AB，則ABlPB兩點的距離和最小，再構(gòu)造直角三角形利用勾股定理題關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形．【解題過程】依題意，只要在直線l上找一點，使點P到、B兩點的距離和最?。鼽cA關(guān)于直線l的對稱點A，連接AB，則AB與直線l的交點P到、B兩點的距離和最小，且A+BABAB．又過點A向BD作垂線，交BD的延長線于點E，在直角三角形ABE中，AEC=3，BEB+E0，根據(jù)勾股定理可得：AB=5（千米）即鋪設(shè)水管長度的最小值為50千米．所以鋪設(shè)水管所費用的最小值為：502=10（萬元）．【】100萬元兩直角兩直角abc，即a2+b2=c2成a2+a2+b25，c為5.在中到勾股定理，請：，∠AOB=30°，點M、N在、B上，且M，N3，點、Q在OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是 ．【知識點】軸對稱的知識【思路點撥】點、N在、B上的定點，作M關(guān)于B的對稱點M，作N關(guān)于A的對稱點，連接M，即為M++N的最小值．【解題過程】解：作M關(guān)于B的對稱點，作N關(guān)于A的對稱點，連接M′N′，即為MP+PQ+QN 的最小值．∴根據(jù)軸對稱的定義可知：∠=∠MB∠B°，O=3，M=M1，∠°，3212中，3212

= ．故答案為 ．101010【答案】101010自助餐CDA村、BEABA村、B村的距離和最??？請在下圖E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）【知識點】軸對稱知識，兩點之間線段最短ACDA′，A′BCDE，即可得出答案．【解題過程】如圖所示，點E即為所求．B兩個超市配貨，最小保留作圖痕跡及簡要說明)【知識點】線段垂直平分線的知識，絕對值的知識0，所PA=PB【思路點撥】為絕對值有，即｜BA0，所PA=PB0.【解題過程】ABPP即為條的點．如圖，ABGGABEFP，【解題過程】12PA，B的距離．可分別A、B為，AB為，2兩EFP即為所求．P為所求公交的位置.不A、BCAC+BC的最短，作法為BB；②BlC，C為所求作的點．在解這個題有用到的知識或方法是（）思想三角形的兩邊之和于三邊兩點之間，線段最短BBlClCBCB，BlCB=BCCACB“段最”體現(xiàn)了思想驗證利用邊邊．思撥利用“段”分析并驗證可主要考查了利用決凡是涉及距離般要考慮段性質(zhì)定理“段結(jié)合本節(jié)所學(xué)變換來決多數(shù)情況要作某答案D如圖△CAC=F垂平分CPEF則AP+BP.段數(shù)學(xué)思想數(shù)結(jié)合.EF垂BBC