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文檔簡(jiǎn)介

高數(shù)必修知點(diǎn)第章函概()數(shù)概①

、

是個(gè)空數(shù),果照種應(yīng)則f

,于合A

中何個(gè)x,在集

中都唯確的f()

和對(duì),么樣對(duì)(括合A,B以到B對(duì)法f)叫集合A

的個(gè)數(shù)記:A

.②數(shù)三素:義、值和應(yīng)則③有義相,對(duì)法也同兩函才同函.()間概及示①a,是兩實(shí)數(shù)且,滿a的實(shí)的集叫閉間記

[,b]

;足

的數(shù)

x

的合做區(qū),做(a,b)

;足

,

的數(shù)

x

的合做開半閉區(qū)間,分別記做[,b

,b]

;滿足,a,x,x

的實(shí)數(shù)

x

的集合分別記做[,)

.注:于合{}與區(qū)()

,者a可以大或于b,后必

,前可不立為集而者須立.()函的義域,般循下則①f()②f()③f()

是式,義是體數(shù)是式數(shù),義是分不零一實(shí).是次式,義是被方為負(fù)時(shí)實(shí)的合④數(shù)數(shù)真大零當(dāng)數(shù)指函的數(shù)含量,底須于且等1⑤

xk

2

()

.⑥()數(shù)的數(shù)能零⑦(x)

是有個(gè)本等數(shù)四運(yùn)而成函時(shí)則定域一是基初函的定域交.⑧于復(fù)函定域題一步是若知f()定域由等()解.

的義為[ab]

,復(fù)函f[(x)]

的⑨于字參的數(shù)求定域根問具情需字母數(shù)行類論⑩實(shí)問確的數(shù)其義除函有義,要合問的際義()函的域最求數(shù)值常方和函值的法本是同.實(shí)上如在數(shù)值中在個(gè)最(),個(gè)就函的小大值因求數(shù)最值值,實(shí)是同,是問的度同求數(shù)域最的用法①察:于較單函,們以過察接到域或值

.......②方:函解式成有變的方與數(shù)和然后據(jù)量取范.......③判別式法:若函數(shù)f(x)

可以化成一個(gè)系含有y

的關(guān)于

x

的二次方()x2()x(y)則a(y0

時(shí)由,y

為數(shù)故須

2

(y)a(yy

,而定數(shù)值或值④等法利基不式定數(shù)值或值⑤元:過量換到繁簡(jiǎn)化為的的三代換將數(shù)數(shù)最問轉(zhuǎn)為角數(shù)最問.⑥函法利函和的函的義與域互關(guān)確定數(shù)值或值⑦形合:用數(shù)象幾方確函的域最.⑧數(shù)單性.()數(shù)表方法表函的法常的解法列法圖法種解法就用學(xué)達(dá)表兩變乊的應(yīng)系列法:是出格表兩變乊間對(duì)關(guān).象:是圖表兩變乊的應(yīng)系.()射概①

是個(gè)合如按某對(duì)法f

,于合A

中何個(gè)素在合

中有一元和對(duì),么樣對(duì)(括合

,B

的應(yīng)則f

)做合A

的射記f:A

.②定個(gè)合A到集B的映射且aA,B做素a的,素a叫做素b的象()數(shù)單性①義判方函數(shù)

.果素a和素對(duì)應(yīng),么們?cè)械?/p>

判方質(zhì)如對(duì)屬定

()用定域內(nèi)某區(qū)上任

義的性

函數(shù)單調(diào)

兩自量值x、,1當(dāng)x<時(shí),都有f(x)<f(x,那么說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)

f(xox

f(xx

()利用已知數(shù)單性()用函數(shù)象在個(gè)間象上為第-2-頁共頁

增()利用復(fù)合數(shù)

.......().......如對(duì)屬定

義域內(nèi)某區(qū)上任兩自量值x、x,1當(dāng)x<時(shí),都有f(x)>f(x,那么說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函

)x

y=f(X))

x

()利用已知數(shù)單性()用函數(shù)象在個(gè)間象降減數(shù)

()利用復(fù)合數(shù)②公定域,個(gè)函的是函,個(gè)函的是減數(shù)增數(shù)去個(gè)函為增數(shù)減數(shù)去個(gè)函為函.③于合數(shù)yf[g()]

,ug()

,yfu)

為,g)

為,yf[g(x)]

為增若yf(u

為減,g()

為,則y[(x)]

為;若yu)

為,g(x)

為,f[g()]

為;yf(u)

為,g()

為,f[(x)]

為.()“√函數(shù)

f)

ax

(a

的圖與質(zhì)

yf()

分在a]

、[a

上增數(shù)分在[

、]

上減數(shù)()大小值定①般,函f(x)

的義為I

,果在

o

x數(shù)滿足(1)對(duì)于意I,都fx)()存

I0

,得

f()

.么我稱M是數(shù)()

的大,作

f

max

(x)

.②般,函)

的義為I

,果在數(shù)滿:1)對(duì)于意I,都f()

;()存

I0

,使得

f()m

.那么,我們稱

是函數(shù)f()

的最值,記作f

max

(x)m

.()數(shù)奇性①義判方函數(shù)的

判方質(zhì)第-3-頁共頁

............m如對(duì)函定義內(nèi)意個(gè)x都f(-x)=-,么數(shù)............m

()用定義要判定域否于點(diǎn)稱()利用圖函數(shù)

象圖關(guān)原的

對(duì))奇偶

如對(duì)函定

()用定性

義內(nèi)意個(gè)x都f(-x)=f(x),那么數(shù)叫偶數(shù)

義要判定域否于點(diǎn)稱()利用圖象圖關(guān)軸對(duì))②函()

為函,在x0處有義則f(0)0

.③函在y兩相稱區(qū)增性同偶數(shù)y軸兩相稱區(qū)增性反④公定域,個(gè)函(奇數(shù)的(差仍偶函(奇數(shù),個(gè)函(奇數(shù)的(商是函,個(gè)函與個(gè)函的積或)奇數(shù)第章基初函Ⅰ〖2.1〗指函【2.1.1指與數(shù)的算()式概①果

x

n

,aRxRn

n,么x叫做a的n次方.n奇時(shí)a的n次方根符

表;是數(shù),數(shù)的正次方用符a表示負(fù)次根符示0的

n

次根;數(shù)

a

n

次根②子

叫根,里

n

叫根數(shù)

a

叫被方.

n

為數(shù),

a

為意數(shù)當(dāng)

n

為數(shù),a0③根式的性質(zhì):

a

;當(dāng)

n

為奇數(shù)時(shí),

an

;當(dāng)

n

為偶數(shù)時(shí),n

n

a

0)(0)

.()數(shù)數(shù)的念①數(shù)正數(shù)數(shù)的義:

mn

n

m

(a

0,m,

且n

.的正分指冪于0②數(shù)負(fù)數(shù)數(shù)的義:

mn

)n

m

m

且n

.的負(fù)數(shù)數(shù)冪有義注意訣底取數(shù)指取反.()數(shù)數(shù)的運(yùn)性①

rr

(

0,r,s)

(a

r

)

s

(ars)第-4-頁共頁

③()

r

r

r

(a

0,b

0,r)【2.1.2指函及性()數(shù)數(shù)函名

指函定

y

(

0且1)

叫指函

y

x

x

y圖

y

y

(0,1)(0,1)O

O

定域值過點(diǎn)奇性

圖過點(diǎn)(0,1)非非

,當(dāng)x時(shí)

.單性

上增數(shù)

上減數(shù)x(x

(函值變情

xx

(0)(

xx

((影

a

變對(duì)圖象的

在一限,

a

越圖越;第象內(nèi)

a

越圖越.〖2.2對(duì)函【2.2.1】對(duì)與對(duì)運(yùn)()數(shù)定①

N(

0,

且a

,

x

叫以

a

的數(shù)記

N

,中

a

叫底,

叫做數(shù)②數(shù)零有數(shù)③數(shù)與數(shù)的化xNaa()個(gè)要對(duì)恒式

x

NN.log1

loga

,loga

.()用數(shù)自然數(shù)常對(duì):lgN

,logN;然數(shù)ln,即N(中?.e第-5-頁共頁

n()數(shù)運(yùn)性n

如aaMN

,么①法

log

a

M

log

a

log()a

②法

loglogNa

M③乘nMlogM()a

④a

N

N⑤log

M

nb

log(bn)

log⑥底式b(b且log【2.2.2】對(duì)函數(shù)其質(zhì)()數(shù)數(shù)函名

對(duì)函定

logx(a且叫做數(shù)數(shù)

1

1

圖O

x

O

x定域值過點(diǎn)奇性

圖過點(diǎn)(1,0),當(dāng)x時(shí),.非非單性

在(0,

上增數(shù)

在(0,

上減數(shù)函值變情

logx(xalogx(xalogx(0xa

log(xalog(alog(0xaa

變對(duì)圖的

在一限,a越圖越低在四限,a越大象靠影反函的念設(shè)數(shù)yx)

高的義為A,域,式fx)

中出x,式x)

.果于在

中任一值通式xy)

,

x

在A

中有一定值它應(yīng)那式y(tǒng))

表x

的數(shù)函x)

叫函f)

的函,作

f(y)

,慣改成

fx)

.第-6-頁共頁

(7)函的法①定函的義,原數(shù)值;從函式y(tǒng)f(x)f(yfx)改成,注反數(shù)定域③

中解

f

(y

;()函的質(zhì)①函y)

與函

f

(x

的象于線對(duì)稱②數(shù)f)

的義、域別其函

f

(x

的域定域③(,)

在函fx)

的象,

'(b)

在函

fx)

的象.④般,數(shù)yx〖〗冪數(shù)()函的義

要反數(shù)它須單函.一地函

叫做函,中

x

為變,是數(shù)(2)函的象()函的質(zhì)①象布冪數(shù)象布第、、象,四限圖象冪數(shù)偶數(shù),象布第一二限圖象于

軸稱;是函時(shí)圖分在一三限圖象于點(diǎn)稱;是奇偶數(shù)時(shí)圖只布第象.②定:有冪數(shù)(0,

都定,且象通點(diǎn)1,1)

.③調(diào):果,冪數(shù)圖過點(diǎn)并在[0,第-7-頁共頁

上增數(shù)如0,則函的

pp象pp

上減數(shù)在一限,象限近

x

軸y

軸④偶:奇數(shù)時(shí)冪數(shù)奇數(shù)當(dāng)

為數(shù),函為函.

qp

(中,互質(zhì)p

)若

為數(shù)q

qq為數(shù),yx是奇數(shù)若p為奇q偶時(shí)則yx是偶數(shù)若p為偶數(shù)為奇時(shí)則

yx

qp

是奇偶數(shù)圖特征:函

,

時(shí),若

,其圖象在直y

下方,若x

,圖在線上,時(shí)若0x

,圖在線方若,其象直線

下.〖充識(shí)二函()次數(shù)析式三形①一般:

f)2bx(0)

②頂點(diǎn)式:

f(x)x)(0)

③兩根式:f)xx1

(2)二函解式方①知個(gè)坐時(shí)宜一式②知物的點(diǎn)標(biāo)與稱有或最()有時(shí),使頂式③已拋線

x

軸兩交,橫坐已時(shí)選兩式f(x

更便()次數(shù)象的質(zhì)①次函

f)ax

2

(

的圖象是一條拋物線對(duì)稱軸程為

x

b2

,

頂點(diǎn)坐標(biāo)是4ac2(,)a

.②

時(shí)拋線口上函在

(

bb]上遞,[,遞,時(shí)2a2aaf

min

()

aca

;時(shí)拋線口下函在

(

bb]上增在[2

上減當(dāng)bx時(shí),f()2

aca

.③二次函數(shù)

f)2(a

當(dāng)20

時(shí),象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)M(x,0),M(xMM122

a

.()元次程

0(

根分一二方根分是次數(shù)的要容這分識(shí)初中數(shù)雖所及但不系統(tǒng)完,解的法重二方根判式根系關(guān)系理韋定)運(yùn),面合第-8-頁共頁

22二函圖的質(zhì)系地分一二方實(shí)的布22設(shè)元次程

ax2bx

的實(shí)為

1

x1

f()2

,以下個(gè)面分此問:開方:

②稱位:

x

b2a

③別:

④點(diǎn)數(shù)符.①<≤1

y

y(k)

ak

1

O

2

k

1

O

x

2

()0

②x≤<12

y

y

()0

a1

O

x

2

k

1

O

x

k2

③x<<x12

af<

()y

y

(k)O

k1

x()

1

O

k

x

2

④<≤<12

y

(k1

0k

y

O

k1

x1

x

2

k2

O

k1

1

x

2

k

2

2a

k1

)02⑤且有個(gè)x(x)足<(或x<11

f

1

f

0,同考f

)=0或f1

這種況否符第-9-頁共頁

f)a00f)fyf)a00f)f

y

(k1

k1O

k1

x1

k

2

2

O

x1

k1

x

2

k

2

k)02

)02⑥<<≤<x<122

此論直由推.()次數(shù)

f)2(a0)

在區(qū)[pq]

上最設(shè)f(x

在間[q]

上最值,最值m,令x0

12

(

.(Ⅰ當(dāng)a時(shí)(口上①

bb,f()②p,則f()③若22a

,mfq

(q)

f

(p)

f

(q)

f

(p)

f①

OxOff(ab,M(q)②,Mf(p)2

(q)

f

Of

)

f

f(p)(q)Of(p)(q)aⅡ時(shí)開向

f

Of

a

)

bbb,Mf()②若p則M()③若2a

,M(q)

f(p)

f

(p)

f

fa

(q)

f

)O

O

O

f

f

(p)

f

第-10-頁共19頁

0f0f①

bb,mf(q)②22

0

,f()

.(p)

f

O

f

f

(p)

(q)Of

f

a

)

第章函的應(yīng)一方的與數(shù)零1、函數(shù)零的概:于函數(shù)

f()(xD)

,把使

f()

成立的數(shù)

x

叫做函數(shù)f()(xD)

的點(diǎn)、數(shù)點(diǎn)意:數(shù)

f()

的點(diǎn)是程

f()

實(shí)根亦函

f()

的象與

x

軸點(diǎn)橫標(biāo)即方

f()

有數(shù)

函數(shù)

f(x)

的象

x

軸交

函數(shù)

f()

有點(diǎn)3、數(shù)點(diǎn)求:求數(shù)

f(x)

的點(diǎn)eq\o\ac(○,1)

(數(shù))方

f()

的數(shù);eq\o\ac(○,2)

(何)于能求公的程可將與數(shù)

yx)

的象系來并用函的質(zhì)出點(diǎn)、次數(shù)零:二函

y

(a

.1△>,程

ax

2

有不實(shí),次數(shù)圖與軸有個(gè)交,次數(shù)有個(gè)點(diǎn)2△0方

2

有相實(shí)(重)二函的象

x

軸一交點(diǎn)二函有個(gè)重點(diǎn)二零.3△0方

ax

2

無根二函的象軸交,次數(shù)零.高數(shù)必修知點(diǎn)第章三函數(shù)1角的點(diǎn)原重合角始與x軸非半重,邊在幾限,稱角,第象角集為第-11頁共19頁

為幾限

sinrrxy,sinrrxy,第象角集為第象角集為第象角集為

180k270,k360,終在軸的的集為

終在

軸的的合

k終在標(biāo)上角集為

、角邊同角集為

3、度于徑的所的心叫做?。?/p>

r

的的心

所弧長(zhǎng)

l

,角

的度的對(duì)是

lr

.5、度與度的算式

2

,

1

,

1

.、若形圓角

r弧為l,長(zhǎng),積則lr

,Cr

S

1lrr2

y、是個(gè)意小角的邊任一

的標(biāo)

xy

原點(diǎn)

T的離

2

,,tanx0rrx

OM

A

x8、角數(shù)各限符:一限全正第象正為,第象正為,四限弦正9、角數(shù):

cos

,

.10.三角函數(shù)的本關(guān):

2

2

2

sin

2

;2

sin

tan

cos

,cos

sintan

..()倒關(guān):

tan

cot

11、數(shù)誘公:

,cos

,tan

,

cos

,

,

cos

,

tan

,cos

.口:數(shù)稱變符看限第-12-頁共19頁

maxminmaxmin2maxminmaxmin2

cos.6sin

sin

.口:弦余互,號(hào)象.、①的象所點(diǎn)左右平

個(gè)位度得函

sin

的象再函sin

的圖象上所有的標(biāo)伸(短到原來的

倍(縱坐標(biāo)變)到數(shù)

的象再函

的象所點(diǎn)縱標(biāo)長(zhǎng)縮)原的

倍橫坐不)得函

.②

sinx

的象所點(diǎn)橫標(biāo)長(zhǎng)縮)原的

倍縱標(biāo)變,到數(shù)y

的象再函

y

的象所點(diǎn)左右平

個(gè)位度得函

的象再函

的象所點(diǎn)縱標(biāo)長(zhǎng)縮)原的(坐不)得函

sin

.13、數(shù)

的質(zhì)①幅

;周:

2

;頻:

1f

;相:

;初:

.函

,當(dāng)x

時(shí)取最值

min

時(shí)取最值

max

,

1y,yy,2

22

.14正函數(shù)余函和切數(shù)圖與質(zhì)性

質(zhì)

數(shù)

cos

tanx

yy=cotx圖象

-

-

o

3

2定義域值

RR第-13-頁共19頁

x,RR

函;函;k

當(dāng)時(shí)

ymaxk

時(shí);時(shí)

,當(dāng),

ymaxy

;時(shí)

當(dāng),

既最值無小值

既最值無小值y

.周期

性奇偶

奇數(shù)

偶數(shù)

奇數(shù)

奇數(shù)性單調(diào)性

在kk2在上增函數(shù);在3k,k上減函數(shù)上是減函.

在k,k22函.對(duì)稱性

對(duì)稱中對(duì)稱2

心軸

對(duì)稱中k2對(duì)稱

心軸

對(duì)稱中,02無稱

對(duì)稱中,0無稱

心第章三恒等換1、角與的弦余和切式:?

cos

sin

cos

;?

sin

cos

sin

;sin

cos

sin

;第-14-頁共19頁

2tan2

tan

tan

?

tan

tan

)、倍的弦余和切式:?

sin2sin

cos.12

2

cos

2

(sin

2?

cos2

2cos

升冪式

cos

,1222降冪式

2

2,sin22

.3、合一變形

把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù),一個(gè)角,一次方”的y

形。

sin

,中

.?dāng)?shù)選2-2導(dǎo)及應(yīng)一.數(shù)念引1.導(dǎo)的理義瞬速。般,數(shù)

yf)

x

x

處瞬變率

lim

f(f(

,我稱為數(shù)

y()

x

處導(dǎo),作

f

)或

,

f

)

=

f(f()lim2.導(dǎo)數(shù)幾意:曲的線.通圖,們以出點(diǎn)

P

趨于

P

時(shí)直

PT

與線切容知,線

PP

的率

f)f(x)kx

,點(diǎn)

P

趨于

P

時(shí)函

f(x)

x

處導(dǎo)就切

PT的斜率即

f(x)f(x)f

)3.時(shí)記

導(dǎo)數(shù)當(dāng)x化,fy,即

便的一函,我稱為fx)導(dǎo)數(shù).

f()

的函有f

lim

f(xf()二.數(shù)計(jì)基初函的數(shù)式:1若

f(c

為數(shù)則f

;

若(x)

,則f

;3若f)sin

,則f

x

若f(x)

,則

f

x

;5若(

,則

f

a

若f(),則

第-15-頁共19頁

,右若f(,右

log

,則

f

x

8若fx),則f

1x導(dǎo)的算則1.[(x)

2.[fx)(

(x)f(x)

3.[

f(xf(x)f()]()[g()]

復(fù)函求

f(u)

ug()

,稱

可表成

的數(shù),即

yf((x))

為個(gè)合數(shù)

))三.數(shù)研函中應(yīng)1.數(shù)單調(diào)與數(shù):一的,數(shù)單性其數(shù)正有下系:在某個(gè)區(qū)

(a)

內(nèi)如果

,么數(shù)

yf(x)

在個(gè)間調(diào)增如

f

,么數(shù)

yf)

在個(gè)間調(diào)減.2.數(shù)極與數(shù)極反的函在一附的小況.求數(shù)

f(

的值方是:(1)如果附的側(cè)

f

,那f(x)

是大(2)果附的側(cè)

f

,右

f

0

,那

f()

是小;4.數(shù)最小與數(shù)求數(shù)

f()

[a]

上最值最值步:求數(shù)函

f(f(

在內(nèi)極;(,)的極與點(diǎn)的數(shù)

f()

,

f()

比,中大是個(gè)大,小是小值.附高數(shù)常公及用論.1.數(shù)單調(diào)設(shè)

x21

那(x))f(x)1())()112

f(x)f()1f(x在a,b上是函;x1f(x)f()1f(x在a,是函.x12函

yf()

在個(gè)間可,果

f

,

f()

為函;果

f

f()

為函.2.果數(shù)

f()

g(

都減數(shù),則公定域,和數(shù)

f(x)(x

也減數(shù);如果數(shù)yf)

()

在對(duì)的義上是函,則合數(shù)

y[(x)]

是函.3.偶數(shù)圖特奇數(shù)圖關(guān)原對(duì),函的象于軸對(duì);反來,果個(gè)數(shù)圖關(guān)原對(duì),么個(gè)數(shù)奇數(shù)如一函的象于軸稱那這個(gè)數(shù)偶數(shù)4.若函數(shù)

yfx)

是偶函數(shù)則

f(x)f()

;若函數(shù)

yf()

是偶函數(shù),則第-16-頁共19頁

f(x()

.5.于數(shù)

yfx)

x

),

f(x)f(b)

恒立,則數(shù)

f()

的稱是數(shù)

x

;兩個(gè)數(shù)

yf()

yfb

的象于線

x

對(duì).6.若

f(x)()

,則數(shù)

yfx)

的圖象關(guān)于點(diǎn)

a(2

對(duì)稱;若

f(x(x)

,則函數(shù)yfx)

為期

a

的期數(shù)..項(xiàng)函

P()n

n0

的偶多式數(shù)多式數(shù)

((

是函是函

P(x)P(x)

的次即數(shù)的系全零.的次即數(shù)的系全零..互反數(shù)兩函的系f(a)f)a

.若函

y(kx)

存反數(shù),則其函為

y

k

[f

(x)

]

,并是

y

[

(

,而數(shù)y

(是y

k

[f(x)

]

的函.28.幾常的數(shù)程正例數(shù)

f(cx,(x)f(x)f(),f

.數(shù)數(shù)f(x),

f(x)f()f(yf

.對(duì)函

f(x

log

a

x

,

f(xy)(x(y),f(aa

.函(x)

x,

fxyf(x)(yf

.余函

f(x)x

,正函

(),f()f(xf(y)x)

,f1,lim0

()x

.29.幾函方的期約()

f(xf(x)

,

f(x)

的期(2)

f(x()

,

f()

1(f(x0),f(x)(xf()f(x

,或

f()(x)f(x),(f()

,則

f()

的期;

f()

f()

((x

0)

,

f(x)

的期;第-17-頁共19頁

1212

f(x)f(x)f(x)12且f(af()()xa,(x)1f(x(x)12fx(x()f(x(x)

的期;(x)fxf(x)f(x

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