中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題專(zhuān)題復(fù)習(xí)圓

可編輯版/圓易錯(cuò)點(diǎn)1：弧、弦、圓周角等概念理解不透徹,如弦所對(duì)的圓周角有兩種情況,平行弦間的距離也有兩種情況.易錯(cuò)題1：已知A、B、C三點(diǎn)都在⊙O上,若⊙O的半徑為4cm,BC＝4cm,則∠A錯(cuò)解：60°正解：60°或120°賞析：本題錯(cuò)解的主要原因是沒(méi)有考慮到弦BC所對(duì)的圓周角∠A有兩種情況.如圖1,當(dāng)點(diǎn)A在優(yōu)弧上時(shí),連接OA,OB,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D.由垂徑定理得BD＝CD＝BC,∵BC＝4cm,∴BD＝×4cm＝2cm.又∵OB＝4cm,∴在Rt△OBD中,cos∠OBD＝,∴∠OBD＝30°,∴∠BOD＝∠COD＝90°－30°＝60°,∴∠BOC＝120°,∴∠A＝∠BOC＝×120°＝60°；當(dāng)點(diǎn)A在劣弧上時(shí),如圖2,在優(yōu)弧上任取一點(diǎn)E〔不與點(diǎn)B、C重合,連接EB,EC,由前面的解法可得∠E＝60°,又∵四邊形ABEC為⊙O的內(nèi)接四邊形,∴∠A＋∠E＝180°,∴∠A＝180°－60°＝120°.∴綜上,∠A的度數(shù)為60°或120°.在同圓或等圓中,同一條弧所對(duì)的圓周角有兩種,它們是互補(bǔ)關(guān)系.易錯(cuò)點(diǎn)2：運(yùn)用垂徑定理的有關(guān)計(jì)算與證明,不善于添加輔助線構(gòu)造直角三角形解決相關(guān)問(wèn)題.易錯(cuò)題2：已知梯形ABCD的各個(gè)頂點(diǎn)均在⊙O上,AB∥CD,⊙O的半徑為8,AB＝12,CD＝4,則梯形ABCD的面積S＝______________________.錯(cuò)解：16＋16正解：16＋16或16－16賞析：本題由于沒(méi)有對(duì)圓中的平行弦的位置分類(lèi)討論而造成錯(cuò)解.圓中的平行弦在題目中沒(méi)有明確位置時(shí),應(yīng)分在圓心同側(cè)和圓心兩側(cè)兩種情況求解.如圖1,當(dāng)AB、CD位于圓心O的兩側(cè)時(shí),過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD于點(diǎn)N,延長(zhǎng)NO交AB于點(diǎn)M,連接OB、OC.∵ON⊥CD,AB∥CD,∴OM⊥AB,∴CN＝CD＝2,BM＝AB＝6,又∵OB＝OC＝8,OM2＋BM2＝OB2,ON2＋CN2＝OC2,∴OM＝,ON＝,∴MN＝OM＋ON＝2＋2.∴S＝<AB＋CD>MN＝×<12＋4>×<2＋2>＝16＋16；如圖2,當(dāng)AB、CD位于圓心O的同側(cè)時(shí),過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)M,連接OB、OC.∵ON⊥CD,AB∥CD,∴OM⊥AB,∴CN＝CD＝2,BM＝AB＝6,又∵OB＝OC＝8,OM2＋BM2＝OB2,ON2＋CN2＝OC2,∴OM＝,ON＝,∴MN＝ON－OM＝2－2.∴S＝<AB＋CD>MN＝×<12＋4>×<2－2>＝16－16.故答案為16＋16或16－16.易錯(cuò)點(diǎn)3：切線的定義以及性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用.易錯(cuò)題3：已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一點(diǎn),⊙D與OA相切于點(diǎn)E,求證：OB與⊙D相切.錯(cuò)解：如圖1,連接DE、DF,∵OA切⊙D于點(diǎn)E,∴DE⊥OA.∵OC平分∠AOB,∴∠DOE＝∠DOF.在△ODE和△ODF中,∵,∴△ODE≌△ODF〔SAS,∴∠DEO＝∠DFO,∴DF⊥OB,∴OB與⊙D相切.正解一：如圖2,連接DE,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OB于點(diǎn)F.∵OA切⊙D于點(diǎn)E,∴DE⊥OA,∵OC平分∠AOB,∴DE＝DF,∴OB與⊙D相切.正解二：如圖2,連接DE,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OB于點(diǎn)F,則∠DFO＝90°.∵OA切⊙D于點(diǎn)E,∴DE⊥OA,∴∠DEO＝90°,∴∠DFO＝∠DEO.∵OC平分∠AOB,∴∠DOE＝∠DOF.在△ODE和△ODF中,∵,∴△ODE≌△ODF〔AAS,∴DE＝DF,∴OB與⊙D相切.賞析：本題由于沒(méi)有理解切線的兩種判定方法而出錯(cuò).當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓上的某一點(diǎn)時(shí),采用"連半徑,判垂直"的方法；當(dāng)不知道直線經(jīng)過(guò)圓上哪一點(diǎn)時(shí),采用"作垂直,判半徑"的方法,此方法中千萬(wàn)要注意,不能從圖形判斷直線經(jīng)過(guò)圓上哪一點(diǎn),應(yīng)從題目的條件中判斷直線是否經(jīng)過(guò)圓上哪一點(diǎn).易錯(cuò)點(diǎn)4：圓周角定理及其推論,特別是運(yùn)用推論時(shí)易出錯(cuò).易錯(cuò)題4：如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠C＝45°,AB＝2,求⊙O的半徑.錯(cuò)解：如圖1,連接OA,OB,由圓周角定理得∠AOB＝∠C,∵∠C＝45°,∴∠AOB＝45°,∴⊙O的半徑為.正解一：如圖1,連接OA,OB,由圓周角定理得∠AOB＝2∠C,∵∠C＝45°,∴∠AOB＝45°×2＝90°,設(shè)OA＝OB＝x,在Rt△AOB中,由勾股定理得x2＋x2＝22,解得x＝±,∵x＞0,∴x＝,∴⊙O的半徑為.〔或：如圖1,連接OA,OB,由圓周角定理得∠AOB＝2∠C,∵∠C＝45°,∴∠AOB＝45°×2＝90°,又∵OA＝OB,∴∠OAB＝∠OBA＝45°,在Rt△AOB中,sin∠OAB＝,∴OB＝ABsin45°＝2×,即的半徑為.正解二：如圖2,作直徑AD,連接DB,則∠DBA＝90°,∠C＝∠D,∵∠C＝45°,∴∠D＝45°,∴∠DAB＝180°－∠DBA－∠D＝180°－90°－45°＝45°,∴∠D＝∠DAB,∴DB＝AB,∵AB＝2,∴DB＝2,在Rt△DAB中,由勾股定理得AB2＋DB2＝AD2,∴AD2＝22＋22,解得AD＝2,∴⊙O的半徑為2÷2＝.〔或：如圖2,作直徑AD,連接DB,則∠DBA＝90°,∠C＝∠D,∵∠C＝45°,∴∠D＝45°,在Rt△DAB中,sin∠D＝,AB＝2,∴AD＝＝＝2,⊙O的半徑為2÷2＝.賞析：本題錯(cuò)解的原因是圓周角定理運(yùn)用錯(cuò)誤,且求半徑時(shí)的過(guò)程不完整,省去的過(guò)程過(guò)多.利用圓周角定理時(shí)通常都需要作輔助線連接半徑,利用圓周角定理的推論時(shí)通常都需要連接某條弦或作直徑,以得到90°角或?qū)崿F(xiàn)角的等量轉(zhuǎn)換.易錯(cuò)點(diǎn)5：點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系及判斷方法.易錯(cuò)題5：在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝3,BC＝4,若以C為圓心、R為半徑所作的圓⊙C與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn),則R的取值范圍是……〔A.R＝2.4B.3＜R＜4C.R＝2.4或3＜R≤4D.R＝2.4或3＜R錯(cuò)解：A正解：C賞析：本題僅從"只有一個(gè)公共點(diǎn)"得出直線與圓相切的關(guān)系來(lái)求解而出錯(cuò),沒(méi)有審清題意,因?yàn)樾边吺蔷€段,所以題中圓與斜邊的關(guān)系應(yīng)分類(lèi)討論求解.當(dāng)⊙C與斜邊AB相切時(shí),如圖1,此時(shí),⊙C與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn).設(shè)⊙C與斜邊AB相切于點(diǎn)D,則CD⊥AB,又∵∠ACB＝90°,AC＝3,BC＝4,∴由勾股定理得AB＝＝5,由三角形的面積公式可得S△ABC＝AC×BC＝AB×CD,∴CD＝＝2.4,即R＝2.4；當(dāng)R＝AC時(shí),如圖2,此時(shí),⊙C與斜邊AB恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)AC＜R≤BC時(shí),如圖3,⊙C與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)R＞BC時(shí),如圖4,此時(shí),⊙C與斜邊AB無(wú)公共點(diǎn).∴綜上,R的取值范圍是R＝2.4或3＜R≤4.另外,當(dāng)R＜2.4時(shí),⊙C與斜邊AB無(wú)公共點(diǎn)；當(dāng)2.4＜R≤AC時(shí),⊙C與斜邊AB有兩個(gè)公共點(diǎn).易錯(cuò)點(diǎn)6：正多邊形與圓的有關(guān)計(jì)算；弧長(zhǎng)與扇形面積的計(jì)算.易錯(cuò)題6：如圖,矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,將矩形ABCD按如圖所示的方式在直線l上進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn),則點(diǎn)B在兩次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路經(jīng)長(zhǎng)是…〔A.B.13C.25D.25錯(cuò)解：B正解：A賞析：本題可能以為兩次旋轉(zhuǎn)中點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路經(jīng)是以點(diǎn)D為圓心,以DB長(zhǎng)為半徑的半圓弧長(zhǎng)而造成錯(cuò)解.本題中點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路經(jīng)長(zhǎng)應(yīng)分兩部分求解：如圖1,第一次旋轉(zhuǎn)時(shí),點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路經(jīng)長(zhǎng)是以點(diǎn)D為圓心,以DB長(zhǎng)為半徑的圓弧長(zhǎng),即BB1的長(zhǎng),∵四邊形ABCD是矩形,∴旋轉(zhuǎn)角∠BDB1＝90°,在Rt△ABD中,∠A＝90°,AB＝5,AD＝CB＝12,∴由勾股定理得BD＝,∴BB1的長(zhǎng)度為×2×13＝；第二次旋轉(zhuǎn)時(shí),點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路經(jīng)長(zhǎng)是以點(diǎn)C1為圓心,以C1B1長(zhǎng)為半徑的圓弧長(zhǎng),即B1B2的長(zhǎng),∵旋轉(zhuǎn)角∠B1C1B2＝90°,C1B1＝CB＝12,∴B1B2的長(zhǎng)度為×2×12＝.∴兩次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路經(jīng)長(zhǎng)為＋＝.易錯(cuò)練1.已知⊙O的直徑CD＝10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD于點(diǎn)M,且AB＝8cm,則AC的長(zhǎng)為…………………………〔A.2cmB.2cm或4cmC.4cmD.2cm或2.如圖,已知⊙O是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,以1為半徑的圓,∠AOB＝45°,點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng),若過(guò)點(diǎn)P且與AO平行的直線與⊙O有公共點(diǎn),設(shè)P〔x,0,則x的取值范圍是_________________.3.周長(zhǎng)為12的正三角形、正方形、正六邊形的外接圓的面積分別是S3,S4,S6,則它們的大小關(guān)系是…………………〔A.S6＞S4＞S3B.S3＞S4＞S6C.S6＞S3＞S4D.S4＞S6＞S4.如圖,已知⊙O中EF過(guò)圓心O,且垂直于弦AD,B、C兩點(diǎn)在直線DE上,且AD平分∠BAC.求證：DE2＝BE·CE.5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙O交x軸于A、B兩點(diǎn),直線FA⊥x軸于點(diǎn)A,點(diǎn)D在FA上,且DO平行于⊙O的弦MB,連接DM并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)C.〔1判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由；〔2設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔﹣2,4,試求MC的長(zhǎng)及直線DC的表達(dá)式.參考答案易錯(cuò)練1.B解析：解析：如圖1,當(dāng)弦AB在圓心O的左側(cè)時(shí),連接OA,∵直徑CD⊥AB,∴AM＝AB＝4,∵OA＝5,∴在Rt△AMO中,由勾股定理得OM＝3,∴CM＝OC－OM＝5－3＝2,∴在Rt△ACM中,由勾股定理得AC＝；如圖2,當(dāng)弦AB在圓心O的右側(cè)時(shí),連接OA,∵直徑CD⊥AB,∴AM＝AB＝4,∵OA＝5,∴在Rt△AMO中,由勾股定理得OM＝3,∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8,∴在Rt△ACM中,由勾股定理得AC＝.∴選B.2.﹣≤x≤且x≠0解析：解析：當(dāng)點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)到如圖1的位置時(shí),過(guò)點(diǎn)P的直線與⊙O只有一個(gè)公共點(diǎn),則此直線與⊙O相切,設(shè)切點(diǎn)為C,則OC⊥PC,又∵OA∥PC,∠AOB＝45°,∴△OPC為等腰直角三角形,∵OC＝1,∴由勾股定理得OP＝,∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔,0；當(dāng)點(diǎn)P向左運(yùn)動(dòng)到如圖2的位置時(shí),過(guò)點(diǎn)P的直線與⊙O只有一個(gè)公共點(diǎn),則此直線與⊙O相切,設(shè)切點(diǎn)為C,則OC⊥PC,又∵OA∥PC,∠AOB＝45°,∴△OPC為等腰直角三角形,∵OC＝1,∴由勾股定理得OP＝,∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔﹣,0；當(dāng)x＝0時(shí),點(diǎn)P與圓心O重合,此直線與OA重合,不合題意,舍去.∴綜上,x的取值范圍是﹣≤x≤且x≠0.3.B解析：如圖1,∵AB＝4,∴AD＝2.又∵∠OAD＝30°,∴OA＝.∴S3＝·OA2＝×<>2＝.如圖2,∵DC＝3,∠ODC＝45°,∴OD＝.∴S4＝·OD2＝×<>2＝.如圖3,∵DC＝2,∴OC＝2.∴S6＝·OC2＝×22＝.又∵＞＞,∴S3＞S4＞S6,故答案選B.4.如圖,連接AE.∵EF⊥AD,且EF過(guò)圓心O,∴EF垂直平分AD,∴AE＝DE,∴∠EAD＝∠EDA.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD＝∠DAC.∵∠EAB＝∠EAD＋∠BAD,∠ECA＝∠EDA＋∠DAC,∴∠EAB＝∠ECA.又∵∠AEB＝∠CEA,∴△AEB∽△CEA,∴,∴AE2＝BE·CE.∵AE＝DE,∴DE2＝BE·CE.5.解：〔1直線DC與⊙O相切,理由如下：如圖,連接OM,∵OD∥MB,∴∠OBM＝∠AOD,∠OMB＝∠DOM,∵OB＝OM,∴∠OBM＝∠OMB,∴∠AOD＝∠MOD.在△DAO和△DMO中,∵,∴△DAO≌△DMO〔SAS,∴∠OMD＝∠OAD,∵直線FA⊥x軸