《志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)》2023屆高考數(shù)學(xué)人教A版理科一輪復(fù)習(xí)題庫(kù)：第八章立體幾何8．6空間向量及其運(yùn)算

第頁課時(shí)作業(yè)41空間向量及其運(yùn)算一、選擇題1．在以下命題中：①假設(shè)向量a，b共線，那么向量a，b所在的直線平行；②假設(shè)向量a，b所在的直線為異面直線，那么向量a，b一定不共面；③假設(shè)三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，那么向量a，b，c共面；④空間的三個(gè)向量a，b，c，那么對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()．A．0 B．1 C．2 D．2．對(duì)空間任意一點(diǎn)O，假設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，那么A，B，C，P四點(diǎn)()．A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．與O點(diǎn)的位置有關(guān)3．向量a＝(2，－3,5)與向量b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，λ，\f(15,2)))平行，那么λ＝()．A．eq\f(2,3) B．eq\f(9,2) C．－eq\f(9,2) D．－eq\f(2,3)4．如下圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．假設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，那么以下向量中與eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是()．A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c5．假設(shè)A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，當(dāng)|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值時(shí)，x的值為()．A．19 B．－eq\f(8,7) C．eq\f(8,7) D．eq\f(19,14)6．假設(shè)向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a與b的夾角的余弦值為eq\f(8,9)，那么λ等于()．A．2 B．－2 C．－2或eq\f(2,55) D．2或－eq\f(2,55)7．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在eq\o(AC1,\s\up6(→))上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，N為B1B的中點(diǎn)，那么|eq\o(MN,\s\up6(→))|為()．A.eq\f(\r(21),6)a B.eq\f(\r(6),6)a C.eq\f(\r(15),6)a D.eq\f(\r(15),3)a二、填空題8．a(chǎn)＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，那么|b－a|的最小值為__________．9．如下圖，空間四邊形ABCD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，假設(shè)eq\o(EF,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))，那么λ＝__________.10．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D為BB1的中點(diǎn)，那么異面直線C1D與A1三、解答題11．空間中三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).假設(shè)m(a＋b)＋n(a－b)與2a－b垂直，求m，n應(yīng)滿足的關(guān)系式．12．直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB′的中點(diǎn)．(1)求證：CE⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．

參考答案一、選擇題1．A解析：①中a與b所在的直線有可能重合；②中a與b中可能有一個(gè)為零向量；③中舉反例“空間直角坐標(biāo)系〞；④中前提必須是a，b，c不共面．2．B解析：eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，∴P點(diǎn)在平面ABC內(nèi)．3．C解析：∵a∥b，∴b＝ma，m∈R.∴eq\f(2,3)＝eq\f(－3,λ)＝eq\f(5,\f(15,2)).∴λ＝－eq\f(9,2).4．A解析：如題圖，＝＋＝＋eq\f(1,2)＝＋eq\f(1,2)(－)＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.5．C解析：＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，||＝eq\r((1－x)2＋(2x－3)2＋(－3x＋3)2)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))2＋\f(5,7)).當(dāng)x＝eq\f(8,7)時(shí)，||取最小值．6．C解析：由得eq\f(8,9)＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2－λ＋4,\r(5＋λ2)·\r(9))，∴8eq\r(5＋λ2)＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝eq\f(2,55).7．A解析：以D為原點(diǎn)建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，那么A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a，\f(a,2))).設(shè)M(x，y，z)．∵點(diǎn)M在上且＝eq\f(1,2).∴(x－a，y，z)＝eq\f(1,2)(－x，a－y，a－z)，∴x＝eq\f(2,3)a，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3).于是Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3))).∴||＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,3)))2)＝eq\f(\r(21),6)a.二、填空題8．eq\f(3,5)eq\r(5)解析：∵b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋0＝5t2－2t＋2＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(2,5)t＋\f(1,25)))＋eq\f(9,5)＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))2＋eq\f(9,5).∴當(dāng)t＝eq\f(1,5)時(shí)，|b－a＝eq\f(9,5)，∴|b－a|最小＝eq\f(3\r(5),5).9．eq\f(1,2)解析：如下圖，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，GF，那么＝＋＝eq\f(1,2)(＋)．∴λ＝eq\f(1,2).10.eq\f(\r(15),15)解析：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，A1(0,0,2)，C(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,1,2)，那么＝(1，－1，－1)，＝(0,1，－2)，||＝eq\r(3)，||＝eq\r(5)，·＝1，cos〈，〉＝＝eq\f(\r(15),15)，故異面直線C1D與A1C所成角的余弦值為eq\f(\r(15),15).三、解答題11．解：∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，2a－b＝(3,2，－2)∴m(a＋b)＋n(a－b)＝(2n，m＋n,2m－2n)∵m(a＋b)＋n(a－b)與2a－b∴[m(a＋b)＋n(a－b)]·(2a－b＝3×2n＋2(m＋n)－2(2m－2n)＝12n－2∴m＝6n，即當(dāng)m＝6n時(shí)，可使m(a＋b)＋n(a－b)與2a－b垂直12．(1)證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋eq\f(1,2)c，＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.∴·＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.(2)解：∵＝－a＋c，||＝eq\r(2)|a|，||＝eq\f(\r(5),