2017數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)講義

考研數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)講主講：張宇張宇：名師，博士，著名考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)專家，教育部“國(guó)家精品課程建設(shè)骨育《入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試參考書(shū)（大綱解析》編者之一，2007年斯洛文尼亞全球可持續(xù)發(fā)展大會(huì)受邀專家（15分鐘主旨。首創(chuàng)“題源教學(xué)法”，對(duì) TOC\o"1-1"\h\z\u第一講如何處理復(fù)雜 第二講如何求分布 第三講如何求數(shù)字特征 第四講如何使用極限定理 第五講如何作估計(jì) 第一講如何處理復(fù)雜為試驗(yàn)，并用字母E或E1,E2, 試驗(yàn)一定不發(fā)生的稱為不可能，記為．③隨機(jī)試驗(yàn)每一最簡(jiǎn)單、最基本的結(jié)果稱為基本或樣本點(diǎn)，記為．每次試驗(yàn)?zāi)転椋S機(jī)A總是由若干個(gè)基本A是的子集，A些結(jié)果，如x＞10000，是不會(huì)出現(xiàn)的，我們甚至可以把這范圍取為(也無(wú)妨．這里吸收律：若AB，則ABBABA；ABBAAB結(jié)合ABCABC)AB)CA(BC)AB ,AB B分配律A(BCABACABCABACAAB ,AB B基本(樣本點(diǎn))發(fā)生的可能性都一樣．稱隨機(jī)試驗(yàn)(隨機(jī)現(xiàn)象)的概率模型為古典概型如果古典概型的基本總數(shù)為n，A包含k個(gè)基本，即有利于A的基本

n【例】將nN(nNP{恰有n個(gè)盒 )發(fā)生的可能性都一樣，即樣本點(diǎn)落入的某一可度量的子區(qū)域AAA的位置及形狀無(wú)關(guān)．稱隨機(jī)試驗(yàn)(隨機(jī)現(xiàn)象)的概率模型為幾何在幾何概型隨機(jī)試驗(yàn)中，如果SA是樣本空間一個(gè)可度量的子區(qū)域，則A＝“樣本點(diǎn)落入?yún)^(qū)域SA”的概率定義為PASA【例】甲、乙有約，上午9:00——10:00到校門(mén)口見(jiàn)面，等20分鐘即離開(kāi).求P{相 ①P(A)1P(A)②P(AB)P(A)P(AB)③P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC) An(n3

An(n3)

P(Ai)P(A1A2A3 An)1[1P(Ai)] An，若對(duì)其中任意有限個(gè)Ai1,Ai2 ,Aik(k2)，都 Aik)P(Ai1)P(Ai2 P(Aik)，則稱A1,A2 An相互獨(dú)立P(④P(B|A)

P(

(P(A)0⑤P(AB)P(A)P(BA)；P(ABC)P(AB)P(CAB)P(A)P(BA)P(CAB)引例假設(shè)一個(gè)村子里有三個(gè)小偷，求失竊的概率P{失竊n定義：如果AiAiAj(i

j),P(Ai)0，則對(duì)任 BAiB,P(B)P(Ai)P(B|Aii i⑦n如果AiAiAj(i

P(

|B)P(Ai)P(B|Ai)(i1,2,,nP(Ai)(B|Ain【例】有甲、乙兩人射擊，輪流獨(dú)立對(duì)同一目標(biāo)射擊P{甲命中}=P{乙命中.甲第二講如何求分隨 果對(duì)每一個(gè)，都有唯一的實(shí)數(shù)X()與之對(duì)應(yīng)，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，:X()x是隨機(jī) ，則稱定義在上的實(shí)單值函數(shù)X()為隨 量X．一般用大寫(xiě)字母X，Y，Z?或希臘字母，，?來(lái)表示隨 設(shè)X是 PXx(xR)為 量X分布函數(shù)，或稱X服從分布F(x)，記為 F(x) piPXxi，i1, pi．概率 pp 或X~ pp 2 量X的概率分布為piPXxi，則X的分布函F(x)P(Xx)P(Xxixi

（xxx則稱X為連續(xù)型隨量

F(x)f(t)dt，x01分布（兩點(diǎn)分布 0XX~

PX1pPX01pX1P參數(shù)為p的0-1分布，記為 B(1,p)(0p1)A，A.A發(fā)生的次數(shù)記為X則PXkPXkCpkk)nk，k ,nn如果X的概率分布為pPXkCkpk(1p)nk，k ,n，0p1 則稱X服從參數(shù)為(n,p)的二項(xiàng)分布，記為 B(n,p)如果X的概率分布為pkPXkqk1p，k1, ,n，0p1q1pXp假N件產(chǎn)品，M件正品，任取n件，取到k個(gè)正品的概率p

CkCPCPXk N

，k

，min(M,n)，NMnXNMnXPXk

e，k k

f(x)

axb其他，記為 U(a,bex若 f(x)

xx

（0，則稱 E()f(x) f(x) 1 若 e22，x，則稱 N(,2)【例】已知某設(shè)備由若干零部件組成，其中有i個(gè)(i0,1,2)非優(yōu)質(zhì)品零件的可能性相同.當(dāng)設(shè)備有i個(gè)非優(yōu)質(zhì)品零件時(shí)，其使用 服從參數(shù)i1的指數(shù)分布，求設(shè)備使用XF(xf(x 如果X，Y是定義在同一個(gè)樣本空間上的二個(gè)隨量，則稱二元總體(X,Y)二維隨量(或二維隨機(jī)向量)．如果X1,X2 ,Xn是定義在同一樣本空間上的n隨量，則稱n元總體(X1,X2, ,Xn)為n維隨量或n維隨機(jī)向量．Xi稱為第i個(gè)F(x, PXx,Yy(x,y)為二維隨量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱為分布函數(shù)，記為(X,Y F(x,y) 如果二維隨量(X,Y)只能取有限對(duì)值或可列對(duì)值(x1,y1)，(x1,y2)(xn,yn)，?．則稱(X,Y)為二維離散型隨量． P(Xxi,Yyj)，i,j1,為(X,Y)的概率分布或聯(lián)合分布，記為(X,Y pij．聯(lián)合分布常用表格形式表PXxYyPXxi,Yyj)pijX在Yy P(Yy P(YyXxPXxi,Yyj)pijYXx P(Xx 獨(dú)立性：pipjpij(i,j1, )X,Y獨(dú)立對(duì)于二維隨量(X,Y)，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使 F(x,y)f(u,v)dudv(x,y) 則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨量fX(xfY(y)

f(x,f(x,

X,Y關(guān)于Y (xy)f(x,y)(f(y) (X在Yy條件下的條件密度X Y( f yxf(xy)f(x) YXx條件下的條件密度XY XffX(xfYyf(xyX,Y獨(dú)立 U(0,1)，在Xx(0x1)的條件下，Y在(0,x)內(nèi)服從均勻分布第三講如何求數(shù)字特征

n1若 ，則EXxpn1pp

i若 f(x)，則EXxf(x)dx【注】若YgX)EY

g(xi)

設(shè)X是隨量，如果E(XEX)2存在，則稱E(XEX)2為X的方差，記為DXDXE(XEX)2

(xEX)2 離散 (xEX)2f 如果隨量X與Y的方差DX0，DY0存在，則稱E(XEX)(YEY)為隨量X與Y的協(xié)方差并記為cov(X,Y).cov(X,Y)EXYEXEY若YX，則covX,Y)covXX)DXDXDX

cov(X,Y)，稱為 量X與Y的相關(guān)系數(shù)EXYEXEXYEXDX 第四講如何使用極限定理設(shè)數(shù)列Xn，n1, ，X為一 量（或a為一常數(shù)）.任給正數(shù)0，恒limPX

1（或n a1），則稱 量序

lim X1,X2

,Xn

X（或a切 大數(shù)定律：假設(shè)Xn,n1是相互獨(dú)立的 量序列，如果方D(Xk)(k1)存在且一致有上界，即存在常數(shù)CD(XkC(一切k1)，則Xnn1

1ni

n11ni ni伯努利大數(shù)定律：假設(shè)n是n重伯努利試驗(yàn) A發(fā)生的次數(shù)，在每次試驗(yàn)Ap(0p1)nPp，即對(duì)任意0，有l(wèi)imP{|np|ε 辛欽大數(shù)定律：假設(shè)Xn,n1是獨(dú)立同分布的 1 1

X，即對(duì)任意0，有l(wèi)im Xi|ε}ni1

n EXDX2(n1)存在，則Xn nXi x}

1 xe2dt x 量Yn B(n,p)，(0p1,n1)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有np(1limP{Ynnpnp(1

xex/2dt第五講如何作估設(shè)(X1,,XnXg(x1,,xnng中不含任何未知參g(X1,,Xn為樣本(X1,,Xn)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量．若(x1,xn為樣本值，則稱g(x1,,xng(X1,,Xn的觀測(cè)值．EX

xipi 11xf

(1)x 0x f(x,)

，求的矩估計(jì)量對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，在該參數(shù)可能的取值范圍內(nèi)選取使“樣本獲此觀測(cè)值 ,xn)”的概率最大的參數(shù)值?作為的估計(jì)，這樣選定的?最有利于(x1,,xn)的 ,Xn)為X的一個(gè)樣本，則 ,Xn)取值為 ,xn)的概率 P{X1x1,,Xnxn}P{Xixi}P(xi,顯然這個(gè)概率值是的函數(shù)，將其記

nL()L(x1,,xn;)P(x1;稱L()為樣本 ,xn)的似然函數(shù)．若? L(x1,,xn;?)maxL(x1,,xn;則稱??(x1,,xn為未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值，而相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)?(X1,,Xn)稱為參數(shù)的極大(最大)似然估計(jì)