微分方程建模實例二市公開課金獎市賽課一等獎課件

4.2微分方程建模實例(二)4.2.1.人口增長模型4.2.2.贗品鑒定

4.2.3.耐用新產(chǎn)品銷售速度問題

4.2.4.傳染病模型第1頁第1頁4.2.1人口增長模型

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年1908193319531964198219901995

人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口改變規(guī)律，控制人口過快增長！第2頁第2頁模型一(最簡樸人口增長模型)：假設今年人口是x0,

人口年增長率是常數(shù)r,于是，k年后人口為:美麗大自然第3頁第3頁模型二(指數(shù)增長模型，即Malthus模型)：馬爾薩斯(1766～1834)

Malthus，Thomas

Robert英國著名經(jīng)濟學家，出生于英格蘭一個土地貴族家庭.1784年進入劍橋大學學習，1798年加入英國教會僧籍,任牧師.1799年到歐洲一些國家調(diào)查人口問題.18成為英國第一位(也是世界上第一位)政治經(jīng)濟學專家.第4頁第4頁模型假設：人口增長率r

是常數(shù).人口數(shù)量本應取離散值，但由于人口數(shù)量普通較大，為建立微分方程模型，能夠將人口數(shù)量看作連續(xù)變量，甚至允許它為可微變量，由此引起誤差將是十分微小.第5頁第5頁模型構成：設x(t)表示t時刻人口，有當r>0，伴隨時間增長，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長!回想：第6頁第6頁模型檢查：比較歷年人口統(tǒng)計資料，能夠發(fā)覺人口增長實際情況與馬爾薩斯模型預報結果基本相符.尤其，利用馬爾薩斯模型驗證并檢查17至1961260年間人口實際數(shù)據(jù)，發(fā)覺兩者幾乎完全一致！比如，1961年世界人口數(shù)為30.6億，人口數(shù)大約每35年增長一倍.第7頁第7頁模型預測：假如人口數(shù)真能保持每35年增長一倍，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)方式增長。比如，到25，人口達2×1014個，即使海洋所有變成陸地，每人也只有9.3平方英尺活動范圍，而到2670年，人口達36×1015個，只好一個人站在另一人肩上排成二層了.故馬爾薩斯模型是不完善.Malthus模型事實上只有在群體總數(shù)不太大時才合理，當總數(shù)增大時，生物群體各組員之間由于有限生存空間，有限自然資源及食物等原因，就也許發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象.因此Malthus模型假設人口凈增長率不也許始終保持常數(shù)，它應當與人口數(shù)量相關.第8頁第8頁模型三(阻滯增長模型，即Logistic模型)：由荷蘭生物數(shù)學家P.F.Verhust于1837年在研究人口問題時建立.基于這個模型能夠描述一些事物客觀規(guī)律，常被稱為Logistic模型.由于空間和資源都是有限，不也許供養(yǎng)無限增長種群個體，當種群數(shù)量過多時，由于人均資源擁有率下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將減少而死亡率卻會提升.阻滯作用隨人口數(shù)量增長而變大r

是

x減函數(shù)第9頁第9頁假定r(0)=r0：固有增長率xm：人口容量(資源、環(huán)境能容納最大數(shù)量)s意義是什么？第10頁第10頁dx/dtx0xmxm/2xmtx0x0xm/2第11頁第11頁模型檢查和預測：大量試驗資料表明用Logistic模型描述種群增長，效果相稱不錯!比如，數(shù)學家高斯把5只草履蟲放進一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液小試管，他發(fā)覺，開始時草履蟲以天天230.9%速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量375個，試驗數(shù)據(jù)與r0=2.309，x0=5,xm=375Logistic曲線：

幾乎完全吻合.第12頁第12頁

Malthus模型與Logistic模型即使都是為了研究種群數(shù)量增長情況而建立，但它們也可用來研究其它實際問題，只要這些實際問題數(shù)學規(guī)律與Malthus模型與Logistic模型所反應數(shù)學規(guī)律類似即可.阻滯增長模型從一定程度上克服了指數(shù)增長模型不足，能夠被用來做相對較長時期人口預測；而指數(shù)增長模型在做人口短期預測時由于其形式相對簡樸性也常被采用.總結第13頁第13頁4.2.2贗品鑒定在第二次世界大戰(zhàn)比利時解放后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機關開始搜捕納粹同謀犯.他們從一家曾向納粹德國出賣過藝術品公司中發(fā)覺線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家漢·凡·米格倫(HanvanMeegeren)，此人曾將17世紀荷蘭著名畫家約翰內(nèi)斯·維米爾(JohannesVermeer)一些油畫賣給了當初納粹德國空軍司令戈林.維米爾名作《戴珍珠耳環(huán)少女》第14頁第14頁最初，米格倫確實驚恐了一陣子.可是，米格倫在同年7月12日在牢里忽然宣稱：他從未把真畫賣給戈林，并且他還說，這些畫包括當初眾所周知油畫《在埃牟斯門徒》都是他自己為“戲弄納粹”仿制品.一位法官試圖證實米格倫確有通過制贗牟利動機，他卻高調(diào)回答：“假如我不賣個高價，他們就不會相信這是真！”《在埃牟斯門徒》（TheDisciplesatEmmaus）米格倫最著名偽作之一第15頁第15頁這件事在當初震驚了全世界，為了證實自己是一個偽造者，米格倫在監(jiān)獄里開始偽造維米爾油畫《在埃牟斯門徒》.旁聽民眾為之瘋狂，在短短時間內(nèi)，賣國賊成了民族英雄，罪名轉化為盛名，1947年10月12日米格倫被宣布犯有偽造罪，判刑一年.可是他在監(jiān)獄中只待了兩個多月就因心臟病發(fā)作，于1947年12月30日去世了.第16頁第16頁六十年后，美國記者、專欄作家喬納森·洛佩茲(JonathanLopez)出版了《制造維米爾人》(ThemanwhomadeVermeers)一書.在書中，洛佩茲表示了對那個時代荷蘭人民體諒：“荷蘭人對米格倫態(tài)度并非不可理解.在二戰(zhàn)中，這個國家遭遇了殘酷羞辱，光復也是在盟國幫助下完畢.米格倫給了未能主宰本身命運荷蘭人內(nèi)心深處想要得到東西.而對于‘欺騙’這種事情，他又是太熟諳了.”第17頁第17頁然而，事情到此并未結束，許多人還是不愿相信著名《在埃牟斯門徒》是米格倫偽造.事實上，在此之前這幅畫已經(jīng)被文物鑒定家認定為真跡，并以17萬美元高價被倫布蘭特學會買下.專家小組對于懷疑者回答是：由于米格倫曾因他在藝術界中沒有地位而十分懊惱，他下決心繪制《在埃牟斯門徒》，來證實他高于三流畫家.當創(chuàng)造出這樣杰作后，他志氣消退了.并且，當他看到這幅《在埃牟斯門徒》那么容易賣掉以后，他在炮制以后偽制品時就不太專心了.這種解釋不能使懷疑者感到滿意，他們要求完全科學擬定地證實《在埃牟斯門徒》確實是一個偽造品.這一問題拖了，直到1967年，才被卡內(nèi)基·梅倫大學科學家們基本處理.第18頁第18頁原理與模型出發(fā)點：測定油畫中顏料礦物質年齡.測定年齡關鍵依賴于二十世紀初發(fā)覺放射性現(xiàn)象.

放射性現(xiàn)象：著名物理學家盧瑟夫在二十世紀初發(fā)覺，一些“放射性”元素原子是不穩(wěn)定，在已知一段時間內(nèi)，有一定百分比原子會自然蛻變形成新元素原子，且物質放射性正比于現(xiàn)存物質原子數(shù).用N(t)表示時刻t時存在原子數(shù),則：(λ

為物質衰變率)第19頁第19頁λ

和N(t)能測出或算出，只要再知道N0

就可斷代.這正是問題難處，下面是間接擬定N0辦法.與負增長Malthus模型完全同樣其解為:稱t–t0

為衰變時間,于是第20頁第20頁與本問題相關其它知識:(1)藝術家們應用白鉛作為顏料之一，已有兩千多年歷史.白鉛中含有微量放射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來，而鉛又屬于鈾系.(2)衡量物質衰變一個慣用參數(shù)是它半衰期，即給定數(shù)目的放射性原子衰變二分之一所需時間.令則有:利用第21頁第21頁(3)鈾238鐳226鉛210釙210鉛206(放射性)(無放射性)地殼里幾乎所有巖石中均含有微量鈾.一方面，鈾系中各種放射性物質均在不斷衰減；另一方面，鈾又不斷衰減，補充著其后繼元素.第22頁第22頁設t時刻1克白鉛中鉛210含量為N(t)；設鐳單位時間鉛210分解數(shù)為r(常數(shù))；設λ

為鉛210衰變率，則N(t)滿足微分方程：

由此解得：模型構成：第23頁第23頁若此畫是真品，t-t0≈300(年).從而可求出λy0近似值.對油畫《在埃牟斯門徒》詳細計算下列：于是，由于半衰期:于是，第24頁第24頁地殼里幾乎所有巖石中均含有微量鈾.一方面，鈾系中各種放射性物質均在不斷衰減，另一方面，鈾又不斷地衰減，補充著其后繼元素.從而，各種放射性物質（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中.從鉛礦中提煉鉛時，鉛210與鉛206一起被作為鉛留下，而其余物質則有90—95%被留在礦渣里，因而打破了原有放射性平衡.各地采集巖石中鈾含量差別很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于3%.與本問題相關進一步知識:第25頁第25頁由于提煉前巖石中鈾系是處于放射性平衡，故鈾與鉛單位時間分解數(shù)相同.設λu是鈾衰變率，

λ

是鉛210衰變率，

U0是0時刻白鉛中鈾含量，

N0是0時刻白鉛中鉛210含量.

于是，

由此推算出每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能不小于30000個，不然鈾含量將超出4%，而這是不也許.第26頁第26頁若則(個)這些鈾約0.04克！即每克白鉛約含0.04克鈾，含量為4%.以上擬定了每克白鉛中鉛分解數(shù)上界，若畫上鉛分解數(shù)不小于該值，闡明畫是贗品；但若是小于不能斷定畫一定是真品.第27頁第27頁4.2.3耐用新產(chǎn)品銷售速度問題一個耐用新產(chǎn)品進入市場后，普通會都通過一個銷售量先不斷增長，然后下降過程.研究新產(chǎn)品銷售量改變規(guī)律,對于制定生產(chǎn)計劃以及制定促銷策略都很故意義.如何建立數(shù)學模型描述產(chǎn)品銷售速度，并由此給出一些有用結果以指導生產(chǎn)？第28頁第28頁模型構成：設需求量有一個上界，記此上界為K.(對于耐用產(chǎn)品,人們普通不會重復購買.因此,產(chǎn)品累積銷售量可認為是購買者人數(shù))記t時刻已銷售出商品數(shù)量為x(t)，則尚未使用該商品人數(shù)為K－x(t).于是，x(t)滿足此方程即Logistic模型，解為：第29頁第29頁dx/dtx0KK/2此方程即Logistic模型，解為：在銷出量小于最大需求量二分之一時，銷售速度是不斷增大，銷出量達到最大需求量二分之一時，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降.第30頁第30頁Ktx0x0K/2此方程即Logistic模型，解為：因此早期應采用小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有20%用戶到有80%用戶這段時期，應當大批量生產(chǎn)；后期則應適時轉產(chǎn)，這樣做能夠取得較高經(jīng)濟效果.第31頁第31頁對于技術革新推廣，在下列幾種情況下分別建立模型：(1)推廣工作通過已經(jīng)采用新技術人進行，推廣速度與采用新技術人數(shù)成正比，推廣是無限．(2)總人數(shù)有限，因而推廣速度還會伴隨尚未采用新技術人數(shù)減少而減少．(3)在(2)前提下考慮廣告等媒介傳播作用．第32頁第32頁4.2.4傳染病模型醫(yī)學科學發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預防和控制許多傳染病，天花在世界范圍內(nèi)被毀滅，鼠疫、霍亂等傳染病得到控制.但是仍然有一些傳染病爆發(fā)或流行，危害人們健康和生命.被傳染人數(shù)與哪些原因相關？如何預報傳染病高潮到來？第33頁第33頁模型一

記時刻t病人數(shù)為i(t).每個病人在單位時間內(nèi)傳染人數(shù)為常數(shù)k0

.一個人得病后，經(jīng)久不愈