北京航空航天大學(xué)附中2023高三數(shù)學(xué)一輪高考單元輔導(dǎo)與訓(xùn)練單元檢測：圓錐曲線與方程

第頁北京航空航天大學(xué)附中2023高三數(shù)學(xué)一輪高考單元輔導(dǎo)與訓(xùn)練單元檢測：圓錐曲線與方程本試卷分第一卷(選擇題)和第二卷(非選擇題)兩局部．總分值150分．考試時(shí)間120分鐘．第一卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的)1．拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)．那么=()A． B． C． D．【答案】D2．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x＝eq\f(3a,2)上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，那么E的離心率為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,5)【答案】C3．點(diǎn)F、A分別為雙曲線的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，點(diǎn)B〔0，b〕滿足，那么雙曲線的離心率為()A． B． C． D．【答案】D4．雙曲線的右焦點(diǎn)為，假設(shè)過且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，那么此雙曲線離心率的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】C5．拋物線上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，那么點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離為()A． B．4 C． D．5【答案】D6．直線MN與雙曲線C:的左右支分別交與M、N點(diǎn)，與雙曲線C的右準(zhǔn)線相交于P點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，假設(shè),又(),,那么實(shí)數(shù)的值為VA． B．1 C．2 D．【答案】A7．拋物線的準(zhǔn)線方程是()A． B． C． D．【答案】A8．設(shè)雙曲線C：〔〕的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．假設(shè)在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)P，使得|PF1|＝3|PF2|，那么雙曲線C的離心率e的取值范圍為()A．(1,2] B． C． D． (1,2)【答案】B9．拋物線與拋物線關(guān)于直線對稱，那么的準(zhǔn)線方程是()A． B． C． D．【答案】A10．將拋物線沿向量平移得到拋物線，那么向量為()A．(－1,2) B．(1,－2) C．(－4,2) D．(4,－2)【答案】A11．如圖，I表示南北方向的公路，A地在公路的正東2km處，B地在A地北偏東6°方向處，河流沿岸PQ〔曲線〕上任一點(diǎn)到公路I和到A地距離相等，現(xiàn)要在河岸PQ上選一處M建一座碼頭，向A，B兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物，經(jīng)測算從M到A，B修建公路的費(fèi)用均為a萬元/km，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是〔單位萬元〕()A． B．C．5a D．4a【答案】C12．不管取何值，方程所表示的曲線一定不是()A．直線 B．雙曲線 C．圓 D．拋物線【答案】D第二卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的漸近線方程為____________.【答案】114．拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)是____________.【答案】15．拋物線的準(zhǔn)線為，過且斜率為的直線與相交于點(diǎn)，與的一個(gè)交點(diǎn)為．假設(shè)，那么．【答案】216．假設(shè)拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的左焦點(diǎn)重合,那么的值.【答案】4三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)A，設(shè)是上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足∠MPO=∠AOP(1〕當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2〕T〔1，-1〕，設(shè)H是E上動(dòng)點(diǎn),求+的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)；(3〕過點(diǎn)T〔1，-1〕且不平行與y軸的直線l1與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線的斜率k的取值范圍?！敬鸢浮俊?〕如圖1，設(shè)MQ為線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)Q， 因此即 另一種情況，見圖2〔即點(diǎn)M和A位于直線OP的同側(cè)〕。 MQ為線段OP的垂直平分線， 又 因此M在軸上，此時(shí)，記M的坐標(biāo)為 為分析的變化范圍，設(shè)為上任意點(diǎn) 由(即〕得， 故的軌跡方程為 綜合①和②得，點(diǎn)M軌跡E的方程為(2〕由〔1〕知，軌跡E的方程由下面E1和E2兩局部組成〔見圖3〕： 當(dāng)時(shí)，過Ｔ作垂直于的直線，垂足為，交E1于。 再過H作垂直于的直線，交 因此，〔拋物線的性質(zhì)〕。 〔該等號(hào)僅當(dāng)重合〔或H與D重合〕時(shí)取得〕。 當(dāng)時(shí)，那么 綜合可得，|HO|+|HT|的最小值為3，且此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(3〕由圖3知，直線的斜率不可能為零。 設(shè) 故的方程得： 因判別式 所以與E中的E1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。 又由E2和的方程可知，假設(shè)與E2有交點(diǎn)， 那么此交點(diǎn)的坐標(biāo)為有唯一交點(diǎn)，從而表三個(gè)不同的交點(diǎn)。 因此，直線的取值范圍是18．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相切，又知的一個(gè)焦點(diǎn)與關(guān)于直線對稱.(1〕求雙曲線的方程；(2〕設(shè)直線與雙曲線的左支交于兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過及的中點(diǎn)，求直線在軸上的截距的取值范圍.【答案】〔1〕設(shè)雙曲線的漸近線方程為，即 該直線與圓相切 雙曲線的兩條漸近線方程為 故雙曲線的方程為又雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為 ,雙曲線的方程為(2〕由得令 直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根 因此解得 又中點(diǎn)為〔直線的方程為 令得 的取值范圍是19．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，長軸等于焦距的2倍．(1〕求橢圓的方程；(2〕矩形的邊在軸上，點(diǎn)、落在橢圓上，求矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周后所得圓柱體側(cè)面積的最大值．【答案】〔1〕橢圓的方程為(2〕記，由，得，．當(dāng)，即，時(shí)取到．20．橢圓過點(diǎn)，且離心率。(1〕求橢圓方程；(2〕假設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍?！敬鸢浮俊并瘛秤深}意橢圓的離心率∴橢圓方程為又點(diǎn)在橢圓上

∴橢圓的方程為(Ⅱ〕設(shè)由消去并整理得∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即又中點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)的垂直平分線方程：在上即將上式代入得

即或

的取值范圍為21．如圖，拋物線和⊙，過拋物線上一點(diǎn)作兩條直線與⊙相切于兩點(diǎn)，與拋物線分別交于兩點(diǎn)，圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為.(1〕求拋物線的方程；(2〕當(dāng)?shù)慕瞧椒志€垂直于軸時(shí)，求直線的斜率；〔3〕假設(shè)直線在軸上的截距為，求的最小值.【答案】〔1〕∵點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，∴.即拋物線的方程為.(2〕解法一：∵當(dāng)?shù)慕瞧椒志€垂直于軸時(shí)，點(diǎn)，∴，設(shè)解法二：當(dāng)?shù)慕瞧椒志€垂直于軸時(shí)，點(diǎn)∴，可得.∴直線的方程為，聯(lián)立方程組得同理可得∴.(3〕解法一：設(shè)可得，直線的方程為即.又∴∴直線的方程為，同理，直線的方程為，∴直線的方程為，即令，可得，∵關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，解法二：設(shè)點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓的方程為，①⊙的方程為.②①-②得直線的方程為.當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距，∵關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴.22．假設(shè)橢圓C1：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)的離心率等于eq\f(\r(3),2)，拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)在橢圓C1的頂點(diǎn)上．(1)求拋物線C2的方程；(2)假設(shè)過M(－1,0)的直線l與拋物線C2交于E、F兩點(diǎn)，又過E、F作拋物線C2的切線l1、l2，當(dāng)l1⊥l2時(shí)，求直線l的方程．【答案】(1)橢圓的長半軸長為a＝2，半焦距c＝eq\r(4－b2)，由離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－b2),2)＝eq\f(\r(3),2)得，b2＝1.∴橢圓的上頂點(diǎn)為(0,1)，即拋物線的焦點(diǎn)為(0,1)，∴p＝2，拋物線的方程為x2＝4y.(2)由題知直線l的斜率存在且不為零，那么可設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，∵y＝eq\f(1,4)x2，∴y′＝eq\f(1,2)x，∴切線l1，l2的斜率分別為eq\f(1,2)x1，eq\f(1,2)x