2023國考公務(wù)員考試筆試系統(tǒng)講義數(shù)量關(guān)系與資料分析

無第三篇數(shù)量關(guān)系與資料分析

數(shù)量關(guān)系與資料分析課程設(shè)置

數(shù)量關(guān)系與資料分析的方法精講階段共包括8次課，數(shù)量關(guān)系和資料分析各占4

次。本階段主要針對公務(wù)員考試中的必考題型和高頻考點(diǎn)進(jìn)行講解，也是后續(xù)階段學(xué)

習(xí)的基礎(chǔ)，請大家認(rèn)真學(xué)完本階段課程后再進(jìn)行后續(xù)階段的學(xué)習(xí)。

方法精講階段授課安排如下。

課程名稱課程內(nèi)容授課時長

方法精講一T量］代人排除法、倍數(shù)特性法、方程法3小時

方法精講一Tc量2工程問題、行程問題3小時

方法精講一T量3經(jīng)濟(jì)利潤問題、最值問題3小時

方法精講一T量4排列組合與概率問題、容斥原理問題3小時

方法精講一一資料1速算技巧、基期與現(xiàn)期3小時

方法精講一一資料2一般增長率、增長量3小時

方法精講一一資料3比重、平均數(shù)3小時

方法精講一一資料4倍數(shù)、特殊增長率3小時

注：實際授課進(jìn)度會根據(jù)老師的授課節(jié)奏和多數(shù)學(xué)員的接受情況適度微調(diào)，請各

位學(xué)員根據(jù)課程的進(jìn)度提前做好預(yù)習(xí)，以保證聽課效果。

151

午第一章I數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系方法精講1

學(xué)習(xí)任務(wù)：

1.課程內(nèi)容：代入排除法、倍數(shù)特性法、方程法

2.授課時長:3小時

3.對應(yīng)講義：152頁?157頁

4.重點(diǎn)內(nèi)容：

(1)掌握代入排除法的適用范圍及使用方法

(2)掌握倍數(shù)特性法的基礎(chǔ)知識，以及余數(shù)型和比例型的解題思路

(3)掌握設(shè)未知數(shù)的技巧，熟悉不定方程的解題思路

.7

第一節(jié)代入排除法

^2)J

【例1】(2019江蘇)一只密碼箱的密碼是一個三位數(shù)，滿足：3個數(shù)字之和為19,

十位上的數(shù)比個位上的數(shù)大2。若將百位上的數(shù)與個位上的數(shù)對調(diào)，得到一個新密碼,

且新密碼數(shù)比原密碼數(shù)大99,則原密碼數(shù)是：

A.397B.586

C.675D.964

【例2】(2020聯(lián)考)某手機(jī)廠商生產(chǎn)甲、乙、丙三種機(jī)型，其中甲產(chǎn)量的2倍與

乙產(chǎn)量的5倍之和等于丙產(chǎn)量的4倍，丙產(chǎn)量與甲產(chǎn)量的2倍之和等于乙產(chǎn)量的5倍。

152

--------------------------------------------------------------第一章數(shù)量關(guān)系

甲、乙、丙產(chǎn)量之比為：

A.2：1：3B.2：3：4

C.3：2：1D.3：2：4

［例3】（2022上海）對于兩個有序數(shù)組（*6）和（c,d）,將|a-c|+|6-⑷稱作

這兩個數(shù)組的距離，那么，在下列選項中，與數(shù)組（13,26）的距離最大的是：

A.(20,B.(21,20)

C.(22,D.(23,18)

【例4】（2021聯(lián)考）飼養(yǎng)兔子需要場地，小林準(zhǔn)備用一段長為28米的籬笆圍成

一個三角形形狀的場地，已知第一條邊長為加米，由于條件限制第二條邊長只能是

第一條邊長度的［多4米，若第一條邊是唯一最短邊，則小的取值可以為：

2

°0思維導(dǎo)圖

典型題多位數(shù)、年齡、不定方程、余數(shù)

［范陽］看選項選項為一組數(shù)

兩項只剩兩項時，代入?項即得答案

_______優(yōu)先排除尾數(shù)、奇偶、倍數(shù)

H方法H直接代入坡值、好算

第二節(jié)倍數(shù)特性法

一、整除型

^0j

153

第三篇數(shù)量關(guān)系與資料分析--------------------------------------------------

【例1】（2021上海）公司購買某設(shè)備24套，現(xiàn)要登記單價，但是數(shù)據(jù)上沒有標(biāo)注

單價，且總價第一位和最后一位模糊不清，只看到是☆579△元。則☆可能是：

A.3B.5

C.7D.9

【例2】（2021北京）為響應(yīng)國家“做好重點(diǎn)群體就業(yè)工作”的號召，某企業(yè)擴(kuò)大

招聘規(guī)模，計劃在年內(nèi)招聘高校畢業(yè)生240名，但實際招聘的高校畢業(yè)生數(shù)量多于計

劃招聘的數(shù)量。已知企業(yè)將招聘到的高校畢業(yè)生平均分配到7個部門培訓(xùn)，并在培訓(xùn)

結(jié)束后將他們平均分配到9個分公司工作。問該企業(yè)實際招聘的高校畢業(yè)生至少比計

劃招聘數(shù)多多少人？

A.6B.12

C.14D.28

二、余數(shù)型

00y

[例1]（2021聯(lián)考）不超過100名的小朋友站成一列。如果從第一人開始依次按

1,2,3,…，9的順序循環(huán)報數(shù)，最后一名小朋友報的是7;如果按1,2,3,

11的順序循環(huán)報數(shù)，最后一名小朋友報的是9,那么一共有多少名小朋友？

A.98B.97

C.96D.95

【例2】（2021事業(yè)單位聯(lián)考）某單位組織全體員工開展戶外活動，如果按每組6

男4女進(jìn)行分組，則男員工多出8人；如果按8男4女進(jìn)行分組，女員工又多出12

人。問該單位有多少女員工？

A.58B.62

C.64D.68

154

第一章數(shù)量關(guān)系

三、比例型

^0J

【例1】（2019黑龍江邊境）學(xué)校買來四種教材，語文教材是其余三種的工，數(shù)學(xué)

4

教材是其余三種的2,英語教材是其余三種的工，科學(xué)教材比數(shù)學(xué)教材少30本，則

713

數(shù)學(xué)教材有：

A.30本B.60本

C.100本D.200本

【例2】（2018江西法檢）某高校今年共招收新生6060人，比去年增長1%,其中

本科新生比去年減少5%,研究生新生比去年增加13%。那么，該高校今年本科新生

有多少人？

A.4200B.4120

C.3900D.3800

［例3］（2020上海）甲、乙、丙、丁四人一起去踏青，甲帶的錢是另外三個人總

和的一半，乙?guī)У腻X是另外三個人的L丙帶的錢是另外三個人的工，丁帶了91元,

34

他們一共帶了多少元？

A.364B.380

C.420D.495

155

第三篇數(shù)量關(guān)系與資料分析----------------------------------------------------

°0思維導(dǎo)圖

當(dāng)8、C為整數(shù)時，如果4=8X0,則/能被8、。整除

口訣3、9看各位數(shù)字之和，4看末兩位，5看末位

12=3x4,2x6

L基礎(chǔ)知識因數(shù)分解

分解時必須互質(zhì)

[拆分拆成兩個數(shù)的和或差

若尸ax+6,則廣6能被。整除

若尸ax—b,則y+b能被。整除

、特性法jT余數(shù)型H前提：。、x均為甌

若4=2,貝|J4是一的倍數(shù)，8是"的倍數(shù)

--------------~__S.__2——H____[_」/±U8D是.目快一”的倍應(yīng)數(shù)將-

比例型一

1）前提：4、4均為整數(shù)，7W亍是最簡整數(shù)比

第三節(jié)方程法

【例1】（2021新疆）甲、乙、丙、丁四人捐款，甲、乙、丙共捐款240元，甲、

丙、丁共捐款190元，甲捐款額是丙的兩倍，甲比乙少捐款40元。問丁捐款多少元？

[例2]（2020四川下）某人花400元購買了若干盒櫻桃。已知甲、乙、丙三個品

種的櫻桃單價分別為28元/盒、32元/盒和33元/盒，問他最多購買了多少盒丙品

種的櫻桃？

【例3】（2022江蘇）某企業(yè)年終評選了30名優(yōu)秀員工，分三個等級，分別按每

人10萬元、5萬元、1萬元給與獎勵。若共發(fā)放獎金89萬元，則獲得1萬元獎金的

156

第一章數(shù)量關(guān)系

員工有：

A.14人B.19人

C.20人D.21人

［例4】（2019聯(lián)考）某次田徑運(yùn)動會中，選手參加各單項比賽計入所在團(tuán)體總分

的規(guī)則為：一等獎得9分，二等獎得5分，三等獎得2分。甲隊共有10位選手參賽,

均獲獎。現(xiàn)知甲隊最后總分為61分，問該隊最多有幾位選手獲得一等獎？

A.3B.4

C.5D.6

°0思維導(dǎo)圖

設(shè)小不設(shè)大（避免分?jǐn)?shù)）

----------設(shè)中間量（方便列式）

「普通方程又木劃效函隹設(shè)誰（避免陷忖

［出現(xiàn)比例：設(shè)份數(shù)

方程法卜奇偶特性系數(shù)一奇一偶

________代入麗|倍數(shù)特性系數(shù)與常數(shù)有公因子

乜不定方程代入拜.尾數(shù)特性系數(shù)尾數(shù)為0或5

直接代入選項

157

第三篇數(shù)量關(guān)系與資料分析

數(shù)量關(guān)系方法精講2

學(xué)習(xí)任務(wù)：

1.課程內(nèi)容：工程問題、行程問題

2.授課時長：3小時

3.對應(yīng)講義:158頁?162頁

4.重點(diǎn)內(nèi)容：

(1)掌握工程問題的三種考法與對應(yīng)解題步驟，以及常用的賦值方法

(2)掌握行程問題的基礎(chǔ)公式與等距離平均速度公式，以及火車過橋問題

(3)掌握線形和環(huán)形上的相遇'追及問題的計算公式，用圖示理解復(fù)雜的運(yùn)動過程

(4)掌握多次相遇的結(jié)論、流水行船的計算公式

.____________________________________________J

第四節(jié)工程問題

一、給完工時間型

［例1］(2021廣東)為支持“一帶一路”建設(shè)，某公司派出甲、乙兩隊工程人員

出國參與一個高鐵建設(shè)項目。如果由甲隊單獨(dú)施工，200天可完成該項目；如果由乙

隊單獨(dú)施工，則需要300天。甲、乙兩隊共同施工60天后，甲隊被臨時調(diào)離，由乙

隊單獨(dú)完成剩余任務(wù)，問完成該項目共需多少天？

A.120B.150

C.180D.210

［例2】(2021四川下)某項工程，甲、乙、丙三個工程隊如單獨(dú)施工，分別需要

12小時、10小時和8小時完成。現(xiàn)按“甲一乙一丙一甲……”的順序讓三個工程隊

輪班，每隊施工1小時后換班，則該工程完成時，甲工程隊的施工時間共計：

158

第一章數(shù)量關(guān)系

A.2小時54分B.3小時

C.3小時54分D.4小時

【例3例2020江蘇）某小微企業(yè)接到三個相同的訂單,趙、錢、孫、李四位師傅

單獨(dú)完成一個，分別需20小時、20小時、15小時和12小時?，F(xiàn)錢、孫、李各負(fù)責(zé)

一個訂單，趙根據(jù)需要協(xié)助他們完成任務(wù)。若要三個訂單同時完工且用時最短，則趙

協(xié)助錢的時間是：

A.8小時B.7小時

C.6小時D.9小時

二、給效率比例型

，A

［例1】（2021北京）農(nóng)場使用甲、乙兩款收割機(jī)各1臺收割一片麥田。已知甲的

效率比乙高25%,如安排甲先工作3小時后乙加入，則再工作18小時就可以完成收

割任務(wù)。問如果增加1臺效率比甲高40%的丙，3臺收割機(jī)同時開始工作，完成收割

任務(wù)的用時在以下哪個范圍內(nèi)？

A.8小時以內(nèi)B.8~10小時之間

C.10~12小時之間D.12小時以上

【例2】（2020四川下）某企業(yè)生產(chǎn)一批產(chǎn)品，計劃在42天內(nèi)完成，先由甲、乙

車間共同生產(chǎn)，12天后甲車間完成總?cè)蝿?wù)的10%,乙車間完成總?cè)蝿?wù)的15%。乙車

間因設(shè)備整修，此后只能以80%的效率工作，為按時完成任務(wù)，丙車間此時新加入

工作，則其產(chǎn)能至少應(yīng)是甲車間的：

A.1B.0.8

C.0.6D.0.5

【例3】（2018國考）工程隊接到一項工程，投入80臺挖掘機(jī)。如連續(xù)施工30天,

每天工作10小時，正好按期完成。但施工過程中遭遇大暴雨，有10天時間無法施工。

工期還剩8天時，工程隊增派70臺挖掘機(jī)并加班施工。問工程隊若想按期完成，平

均每天需多工作多少個小時？

159

第三篇數(shù)量關(guān)系與資料分析

A.1.5B.2

C.2.5D.3

三、給具體單位型

^0J

【例】（2021四川）某工程隊計劃每天修路560米，恰好可按期完成任務(wù)。如每

天比計劃多修80米，則可以提前2天完成，且最后1天只需修320米。問如果要提

前6天完成，每天要比計劃多修多少米？

A.160B.240

C.320D.400

°0思維導(dǎo)圖

先賦總量（公倍數(shù)）

再算效率=總量+時間

r給完工時間型

根據(jù)工作過程列式子或方程

J給具體單位型設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系列方程

第五節(jié)行程問題

一、普通行程

<A

160

第一章數(shù)量關(guān)系

【例1】（2022江蘇）某人以每小時10公里的速度從甲地騎車前往乙地，中午

12：30到達(dá)。若以每小時15公里的速度行駛,上午II：00到達(dá)，則他出發(fā)的時間是:

A.上午7：15B.上午7：30

C.上午7：45D.上午8：00

[例2]（2020聯(lián)考）小明每天從家中出發(fā)騎自行車經(jīng)過一段平路，再經(jīng)過一道斜

坡后到達(dá)學(xué)校上課。某天早上，小明從家中騎車出發(fā)，一到校門口就發(fā)現(xiàn)忘帶課本，

馬上返回，從離家到趕回家中共用了1個小時，假設(shè)小明當(dāng)天平路騎行速度為9千米/

小時，上坡速度為6千米/小時，下坡速度為18千米/小時，那么小明的家距離學(xué)校

多遠(yuǎn)？

A.3.5千米B.4.5千米

C.5.5千米D,6.5千米

二、相對行程

^0J

【例1】（2020河北）甲、乙兩人在相距1200米的直線道路上相向而行，一條狗

與甲同時出發(fā)跑向乙，遇到乙后立即調(diào)頭跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此反復(fù)，已

知甲的速度為40米/分鐘，乙為60米/分鐘，狗為80米/分鐘。不考慮狗調(diào)頭所耗

時間，當(dāng)甲、乙相距100米時狗跑了多少米？

A.1100B.1000

C.960D.880

[例2]（2020深圳）小王和小李從甲地去往相距15km的乙地調(diào)研。兩人同時出

發(fā)且速度相同。15分鐘后，小壬發(fā)現(xiàn)遺漏了重要文件遂立即原路原速返回，小李則

繼續(xù)前行；小王取到文件后提速20%追趕小李，在小李到達(dá)乙地時剛好追上，假設(shè)小

王取文件的時間忽略不計，問小李的速度為多少km/h?

A.4B.4.5

C.5D.6

161

第三篇數(shù)量關(guān)系與資料分析

［例3］（2020山東）甲、乙兩人在一條400米的環(huán)形跑道上從相距200米的位置

出發(fā)，同向勻速跑步。當(dāng)甲第三次追上乙的時候，乙跑了2000米。問甲的速度是乙

的多少倍？

A.1.2B.1.5

C.1.6D.2.0

【例4】（2021廣東）小王和小李沿著綠道往返運(yùn)動，綠道總長度為3公里。小王

每小時走2公里；小李每小時跑4公里。如果兩人同時從綠道的一端出發(fā)，問當(dāng)兩人

第7次相遇時，距離出發(fā)點(diǎn)多少公里？

A.0B.1

C.1.5D.2

【例5】（2021新疆）甲、乙兩地分別為一條河流的上、下游，兩地相距360千米,

A船往返需要35小時，其中從甲地到乙地的時間比從乙地到甲地的時間短5小時。

B船在靜水中的速度為12千米每小時。問其從甲地開往乙地需要多少小時？

A.12B.20

C.24D.40

°0思維導(dǎo)圖

路程=速度X時間（s=vx/）

完全通過橋:路程=橋長+車長

火車過橋完全在橋上：路程=橋長-車長

普通行程-平均速度=總路程+總時間

平均速度等距離平均速度=蒙?

行程問題-相遇、追及,稱號…尸.冠

-----------［追及：5.=7鏟,追

線形兩端出發(fā)第〃次相遇：（2〃-1）產(chǎn)也兇遇

線形一端出發(fā)第〃次相遇：和X/遇

多次運(yùn)動

相對行程-環(huán)形第〃次相遇：〃圈=%|X加

環(huán)形第〃次追及：〃圈=n鏟/迫

W頁水：s=（y船水）x加

流水行船1逆水：s=（啾“Qx］

162

第一章數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系方法精講3

學(xué)習(xí)任務(wù)：

1.課程內(nèi)容：經(jīng)濟(jì)利潤問題、最值問題

2.授課時長：3小時

3.對應(yīng)講義：163頁?168頁

4.重點(diǎn)內(nèi)容：

（1）掌握與售價、成本、利潤'折扣、利潤率等相關(guān)的公式

（2）掌握在經(jīng)濟(jì)利潤問題中的分段計費(fèi)問題、函數(shù)最值問題

（3）掌握最不利構(gòu)造、構(gòu)造數(shù)列和多集合反向構(gòu)造問題的題型特征及解題方法

、_________________________________________________________________________）

第六節(jié)經(jīng)濟(jì)利潤問題

一、基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)

CA

［例1］（2021浙江）超市采購一批食用油，其中玉米油每桶進(jìn)價比花生油低

20%,若花生油利潤定為進(jìn)價的24%,玉米油利潤定為進(jìn)價的30%,則花生油比玉米

油每桶售價高10元。問玉米油每桶比花生油進(jìn)價低多少元？

A.10B.15

C.24D.25

【例2】（2021廣東）某幫扶項目以每公斤9元的價格從農(nóng)民手中收購了一批蘋果,

并以每公斤12元（包郵）的價格在網(wǎng)上銷售。售出總量的80%后，價格下調(diào)為每公

斤10元（包郵）。運(yùn)費(fèi)成本為每公斤0.1元。全部售完后，扣除收購成本和運(yùn)費(fèi)的總

收益為2.5萬元，問這批蘋果為多少噸？

A.5B.10

163

第三篇數(shù)量關(guān)系與資料分析

C.15D.20

【例3】（2022北京）商店銷售某種商品，先按定價賣了300件，打七五折賣了

200件，后在此基礎(chǔ)上再打八折賣完了剩下的100件，總利潤為總成本的士。單件成

3

本相當(dāng)于單件定價的：

A.57%B.54%

C.51%D.48%

二、分段計費(fèi)

［例1］（2021河北）假設(shè)個人出版著作所得稿費(fèi)納稅方法如下：（I）稿費(fèi)不超過

800元不納稅；（2）超過800元但不超過4000元的部分納稅10%；（3）超過4000元的部

分納稅15%。已知張教授出版一部著作，納稅620元，則張教授的這筆稿費(fèi)是多少元？

A.9000B.8000

C.7000D.6000

［例2］（2021成都事業(yè)單位）某城市天然氣實行階梯收費(fèi)，第一階梯氣量為

0?500立方米/戶表（每年），氣價為1.89元/立方米；第二階梯氣量為501~700

立方米/戶表（每年）,氣價為2.27元/立方米；第三階梯氣量為701立方米/戶表

（每年），氣價為2.84元/立方米。如果某用戶兩年共繳天然氣費(fèi)3082元，問該用戶

兩年最多用了多少立方米天然氣？

A.1400B.1500

C.1600D.1700

三、函數(shù)最值

^0J

164

第一章數(shù)量關(guān)系

【例1】（2018聯(lián)考）某苗木公司準(zhǔn)備出售一批苗木，如果每株以4元出售，可賣

出20萬株，若苗木單價每提高0.4元，就會少賣10000株。問在最佳定價的情況下,

該公司最大收入是多少萬元？

A.60B.80

C.90D.100

【例2】（2020天津事業(yè)單位）某電腦商城出售10種價格檔位的電腦。最低價格

檔位的電腦每月可售出120臺，每臺可獲利160元。每提升一個價格檔位，則月銷量

就會減少10臺，但單臺利潤可增加40元。若某月該電腦商城只出售某一價格檔位的

電腦，問當(dāng)月可獲得的最大利潤是多少元？

A.24000B.25600

C.27040D.28000

°0思維導(dǎo)圖

利潤=售價-進(jìn)價

利潤率=利潤。進(jìn)價

常見公式折扣=折后價十標(biāo)i介

基礎(chǔ)總價=單價X數(shù)量

經(jīng)濟(jì)解題方法方程法、賦值法

經(jīng)濟(jì)利潤常見題型水電費(fèi)、出租車費(fèi)、稅費(fèi)等

問題分段T解題方法分段計算、匯總求和

計費(fèi)

單價和數(shù)量此消彼長

算與求最大利潤或總價

函數(shù)

最值方法兩點(diǎn)式

第七節(jié)最值問題

一、最不利構(gòu)造

165

第三篇數(shù)量關(guān)系與資料分析

［例1］（2020聯(lián)考）某會展中心布置會場，從花卉市場購買郁金香、月季花、牡

丹花三種花卉各20盆，每盆均用紙箱打包好裝車運(yùn)送至?xí)怪行?，再由工人搬運(yùn)至

布展區(qū)。問至少要搬出多少盆花卉才能保證搬出的鮮花中一定有郁金香？

A.20盆B.21盆

C.40盆D.41盆

【例2】（2017遼寧公安）某高校舉辦一次讀書會，共有37位同學(xué)報名參加，其

中中文、歷史、哲學(xué)專業(yè)各有10位同學(xué)報名參加此次讀書會，另外還有4位化學(xué)專

業(yè)學(xué)生和3位物理專業(yè)學(xué)生也報名參加此次讀書會，那么一次至少選出多少位學(xué)生,

將能保證選出的學(xué)生中至少有5位學(xué)生是同一專業(yè)的？

A.17B.20

C.19D.39

二、構(gòu)造數(shù)列

^0J

［例1］（2022上海）某單位進(jìn)行了一次績效考評打分，滿分為100分。有5位員

工的平均分為90分，而且他們的分?jǐn)?shù)各不相同，其中分?jǐn)?shù)最低的員工得分為77分,

那么排第二名的員工至少得多少分？（員工分?jǐn)?shù)取整數(shù)）

A.90B.92

C.94D.96

【例2】（2020聯(lián)考）從某物流園區(qū)開出6輛貨車，這6輛貨車的平均裝貨量為

62噸。已知每輛貨車載重量各不相同且均為整數(shù)，最重的裝載了71噸，最輕的裝載

了54噸。問這6輛貨車中裝貨第三重的卡車最少要裝多少噸？

A.59B.60

C.61D.62

【例3】（2021廣東）某街道服務(wù)中心的80名職工通過相互投票選出6名年度優(yōu)

秀職工，每人都只投一票，最終A、B、C、D、E、F這6人當(dāng)選。已知A票數(shù)最多,

166

--------------------------------------------------------------第一章數(shù)量關(guān)系

共獲得20張選票；B、C兩人的票數(shù)相同，并列第2;D、E兩人票數(shù)也相同，并列第

3;F獲得10張選票，排在第4。那么B、C獲得的選票最多為多少張？

【例4】（2019江西法檢）某高校計劃招聘81名博士，擬分配到13個不同的院系,

假定院系A(chǔ)分得的博士人數(shù)比其他院系都多，那么院系A(chǔ)分得的博士人數(shù)至少有多

少名？

三、多集合反向構(gòu)造

[例1]（2021廣東選調(diào)）某單位在網(wǎng)上辦公系統(tǒng)傳閱了15份文件，甲閱讀了9

份，乙閱讀了12份，丙閱讀了10份，則甲、乙、丙三人共同閱讀過的文件至少有多

少份？

【例2】（2022江蘇）某機(jī)構(gòu)對全運(yùn)會收視情況進(jìn)行調(diào)查，在1000名受訪者中,

觀看過乒乓球比賽的占87%,觀看過跳水比賽的占75%,觀看過田徑比賽的占69%。

這1000名受訪者中，乒乓球、跳水和田徑比賽都觀看過的至少有：

A.310人B.440人

C.620人D.690人

[例3]（2021西安事業(yè)單位）某中學(xué)有68%的同學(xué)參加體育興趣小組、有75%

的同學(xué)參加語文興趣小組、有74%的同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，則該校學(xué)生中同時參

加這三個興趣小組的同學(xué)所占百分比至少是：

A.19%B.17%

167

第三篇數(shù)量關(guān)系與資料分析

C.21%D.15%

°0思維導(dǎo)圖

特征至少...保證...

X最不利構(gòu)造H方法最不利的情況數(shù)+i

特征排名第N的……最多/少

最值問題-朗構(gòu)造數(shù)列「構(gòu)造一個名次

求誰設(shè)誰

-----------方法

反向推其他

加和求解

_________________特征都……至少……

多集合反向構(gòu)造H方法反向一加和一作差

168

第一章數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系方法精講4

學(xué)習(xí)任務(wù)：

1.課程內(nèi)容：排列組合與概率問題、容斥原理問題

2.授課時長:3小時

3.對應(yīng)講義：169頁?174頁

4.重點(diǎn)內(nèi)容：

(1)掌握常用的排列組合公式，理解分類討論與分步計算的區(qū)別，正難反易則從

反面求解

(2)掌握兩種經(jīng)典方法(捆綁法、插空法)的適用范圍和操作步驟

(3)掌握?？嫉母怕蕟栴}的兩種題型——給情況求概率、給概率求概率

(4)掌握兩集合容斥原理公式、三集合容斥原理的標(biāo)準(zhǔn)型和非標(biāo)準(zhǔn)型公式

(5)掌握畫圖法在容斥原理問題中的運(yùn)用

.______________________________________J

第八節(jié)排列組合與概率問題

一、排列組合問題

(-)基礎(chǔ)概念

【例1】(2019廣東)小李今天上午有a、b、c、d這4項工作要完成，下午有e、

f、g這3項工作要完成，每半天內(nèi)各項工作的順序可以隨意調(diào)整，問他今天有多少種

完成工作的順序？

A.30B.60

C.72D.144

169

第三篇數(shù)量關(guān)系與資料分析--------------------------------------------------

【例2】（2020上海）小王等6名學(xué)生參與了某展覽會志愿者活動。他們被安排到

兩個不同的會場服務(wù)。如果要求每個會場都至少有2名志愿者，問對小王等人共有多

少種不同的安排方式？

A.20B.30

C.50D.360

【例3】（2021聯(lián)考）某高校開設(shè)A類選修課四門，B類選修課三門。小劉從中共

選取四門課程，若要求兩類課程各至少選一門，則選法有：

A.18種B.22種

C.26種D.34種

（二）經(jīng)典題型

<A

【例1"2019聯(lián)考）小王在商店消費(fèi)了90元，口袋里只有1張50元、4張20

元、8張10元的鈔票，他共有兒種付款方式，可以使店家不用找零錢？

A.5B.6

C.7D.8

［例2］（2020唐山事業(yè)單位）現(xiàn)有七年級的學(xué)生1名，八年級的學(xué)生4名，九年

級的學(xué)生5名，需讓他們排一排拍一張合照，要求同一年級的學(xué)生要挨在一起站，且

七年級的學(xué)生不站兩邊，問有多少種不同的排法？

A.3760B.4760

C.5760D.6760

【例3】（2020新疆）某美術(shù)館計劃展出12幅不同的畫，其中有3幅油畫、4幅

國畫、5幅水彩畫，排成一行陳列，要求同一種類的畫必須連在一起，并且油畫不放

在兩端，問有多少種不同的陳列方式？

A.不到1萬種B.1萬?2萬種之間

C.2萬?3萬種之間D.超過3萬種

170

第一章數(shù)量關(guān)系

【例4】（2020聯(lián)考）某學(xué)習(xí)平臺的學(xué)習(xí)內(nèi)容由觀看視頻、閱讀文章、收藏分享、

論壇交流、考試答題五個部分組成。某學(xué)員要先后學(xué)完這五個部分，若觀看視頻和閱

讀文章不能連續(xù)進(jìn)行，該學(xué)員學(xué)習(xí)順序的選擇有：

A.24種B.72種

C.96種D.120種

二、概率問題

^0y

［例1］（2022江蘇）“雙減”政策實施后，某小學(xué)下午5：30放學(xué)，小李5：00下

班去接孩子回家，當(dāng)不堵車時，5：30之前到校；當(dāng)堵車時，5：30之前到校的概率為

0.6o若5：00—5：30堵車的概率為0.3,則小李5：30之前到校的概率是：

A.0.78B.0.80

C.0.88D.0.91

［例2］（2021山東）進(jìn)入某比賽四強(qiáng)的選手通過抽簽方式隨機(jī)分成2組進(jìn)行半決

賽，已知小王在面對任何對手時獲勝的概率都是60%,小張在面對任何對手時獲勝的

概率都是40%0則小王和小張均在半決賽中獲勝的概率為：

【例3】（2018吉林）某倉庫存放三個廠家生產(chǎn)的同一品牌洗衣液，其中甲廠生產(chǎn)

的占20%,乙廠生產(chǎn)的占30%,剩余為丙廠生產(chǎn)的，且三個廠家的次品率分別為1%、

2%、1%,則從倉庫中隨機(jī)取出一件是次品的概率為：

A.1.6%B.1.3%

C.1%D.2%

［例4］（2021聯(lián)考）兩個大人帶四個孩子去坐只有六個位置的圓形旋轉(zhuǎn)木馬，那

么兩個大人不相鄰的概率為：

171

第三篇數(shù)量關(guān)系與資料分析

A」

B.-

55

D.2

C.-

33

°0思維導(dǎo)圖

分類用加法（要么……要么……）

分步用乘法（既……又……）

基礎(chǔ)概念有序用排列（不可互換）

無序用組合（可以互換）

情況數(shù)少枚舉法依照次序

廠排列組合-經(jīng)典題型必須相鄰捆綁法先捆再排

不能相鄰插空法先排再插

排列組合與正難反易：總情況數(shù)-反面情況數(shù)

概率問題

給情況求概率：滿足要求的情況數(shù)+所有的情況數(shù)

給概率求概率：分類用加法，分步用乘法

匚概率

正難反易：1-反面情況概率一

第九節(jié)容斥原理問題

<A

【例1】（2020福建）學(xué)校有300個學(xué)生選擇參加地理興趣小組、生物興趣小組或

者兩個小組同時參加，如果80%學(xué)生參加地理興趣小組，50%學(xué)生參加生物興趣小

組。問同時參加地理和生物興趣小組的學(xué)生人數(shù)是多少？

A.240B.150

C.90D.60

【例2】（2021四川下）為實現(xiàn)產(chǎn)業(yè)振興，農(nóng)科院對某縣的所有自然村進(jìn)行了調(diào)研,

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，適合種植A作物的白然村占白，適合種植B作物的白然村有25個，同時

適合種植兩種作物的自然村占總數(shù)的上，則在該縣，不適合種植兩種作物的自然村

172

第一章數(shù)量關(guān)系

至少有多少個？

A.57B.67

C.114D.134

【例3】（2020新疆）某單位共有240名員工，其中訂閱A期刊的有125人,訂閱

B期刊的有126人,訂閱C期刊的有135人，訂閱A、B期刊的有57人，訂閱A、C

期刊的有73人，訂閱3種期刊的有31人，此外，還有17人沒有訂閱這三種期刊中

的任何一種。問訂閱B、C期刊的有多少人？

A.57B.64

C.69D.78

［例4】（2021福建事業(yè)單位）為了解某校乒乓球、籃球、排球三種球類的運(yùn)動情

況，采訪了某班的同學(xué)，了解到會打乒乓球的32人，會打籃球的25人，會打排球的

23人，只會打兩種球類的18人，三種球類都會打的8