-新教材高中數(shù)學(xué)課時練習(xí)6等差數(shù)列習(xí)題課含解析新人教A版選擇性必修

PAGEPAGE9等差數(shù)列習(xí)題課(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1．等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，則a6的值為()A．10B．9C．8D．7【解析】選B.因?yàn)榈炔顢?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，所以a3＋a6＋a9＝27，所以3a6＝27，所以a6＝9.2．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，Sn是其前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝－15，a2＋a4＋a6＝－21，則eq\f(1,8)S3的值是()A．－5B．－eq\f(5,8)C．－eq\f(9,8)D．－eq\f(1,8)【解析】選C.由等差數(shù)列性質(zhì)知3a3＝－15，3a4＝－21，故a3＝－5，a4＝－7，則a2＝－3.則eq\f(1,8)S3＝eq\f(1,8)×eq\f(3（a1＋a3）,2)＝eq\f(3a2,8)＝－eq\f(9,8).3．在數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a1＝3，且對任意大于1的正整數(shù)n，點(diǎn)(eq\r(an)，eq\r(an－1))在直線x－y－eq\r(3)＝0上，則()A．a(chǎn)n＝3n B．a(chǎn)n＝eq\r(3n)C．a(chǎn)n＝n－eq\r(3) D．a(chǎn)n＝3n2【解析】選D.因?yàn)辄c(diǎn)(eq\r(an)，eq\r(an－1))在直線x－y－eq\r(3)＝0上，所以eq\r(an)－eq\r(an－1)＝eq\r(3)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\r(an)))是首項(xiàng)為eq\r(3)，公差為eq\r(3)的等差數(shù)列．所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\r(an)))的通項(xiàng)公式為eq\r(a)n＝eq\r(3)＋(n－1)·eq\r(3)＝eq\r(3)n.所以an＝3n2.4．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝2n－6，設(shè)bn＝|an|，則數(shù)列{bn}的前7項(xiàng)和為()A．14B．24C．26D．28【解析】選C.當(dāng)n≤3時，an≤0，bn＝|an|＝－an＝6－2n，即b1＝4，b2＝2，b3＝0.當(dāng)n>3時，an>0，bn＝|an|＝an＝2n－6，即b4＝2，b5＝4，b6＝6，b7＝8.所以數(shù)列{bn}的前7項(xiàng)和為4＋2＋0＋2＋4＋6＋8＝26.5．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前100項(xiàng)和為()A．eq\f(100,101)B．eq\f(99,101)C．eq\f(99,100)D．eq\f(101,100)【解析】選A.因?yàn)閍5＝5，S5＝15，所以eq\f(5（a1＋5）,2)＝15，所以a1＝1.所以d＝eq\f(a5－a1,5－1)＝1，所以an＝n.所以eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前100項(xiàng)的和為：T100＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)－\f(1,101)))＝1－eq\f(1,101)＝eq\f(100,101).6．(多選題)等差數(shù)列{an}中，eq\f(an,a2n)是一個與n無關(guān)的常數(shù)，則該常數(shù)的可能值為()A．1B．eq\f(1,2)C．2D．3【解析】選AB.本題考查等差數(shù)列．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則eq\f(an,a2n)＝eq\f(a1－d＋dn,a1－d＋2dn)為常數(shù)，則a1＝d或d＝0，eq\f(an,a2n)＝eq\f(1,2)或1.二、填空題(每小題5分，共10分)7．在等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，則a1a6【解析】因?yàn)閍2＝3，a3＋a4＝9，所以a2＋a3＋a4＝12，即3a3＝12，故a3＝4，a4＝5，所以an＝n＋1，所以a1a6答案：148．已知數(shù)列{an}滿足an＝11－2n，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝________．【解析】原式＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)－(a6＋a7＋a8)＝(9＋7＋5＋3＋1)－(－1－3－5)＝34.答案：34三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知數(shù)列{an}中，a7＝6，a10＝－3，Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn的最大值；(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a19|＋|a20|的值．【解析】(1)因?yàn)閍7＝6，a10＝－3，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋6d＝6,a1＋9d＝－3))，解得a1＝24，d＝－3，則an＝－3n＋27，數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為：Sn＝n×24＋eq\f(n（n－1）,2)×(－3)＝－eq\f(3,2)n2＋eq\f(51,2)n，注意到數(shù)列{an}單調(diào)遞減，且a8>0，a9＝0，所以Sn的最大值＝S8＝S9＝108.(2)因?yàn)閨a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a19|＋|a20|＝a1＋a2＋a3＋…＋a9－(a10＋a11＋…＋a20)，所以a1＋a2＋a3＋…＋a9－(a10＋a11＋…＋a20)＝2S9－S20，由于S9＝108，S20＝－90，即|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a19|＋|a20|＝306.10．已知Sn為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1∈(0，2)，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋3an＋2＝6Sn.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,anan＋1)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若對任意n∈N*，t≤4Tn恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值．【解析】(1)①當(dāng)n＝1時，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋3a1＋2＝6S1＝6a1，即aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－3a1＋2＝0，又因?yàn)閍1∈(0，2)，解得a1＝1.②對任意n∈N*，由aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋3an＋2＝6Sn知aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))＋3an＋1＋2＝6Sn＋1，兩式相減，得aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋3(an＋1－an)＝6an＋1，即(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0，由an>0得an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3，所以{an}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.(2)由an＝3n－2得bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,（3n－2）（3n＋1）)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－2)－\f(1,3n＋1)))，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,7)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－2)－\f(1,3n＋1)))))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n＋1)))＝eq\f(n,3n＋1).因?yàn)門n＋1－Tn＝eq\f(n＋1,3（n＋1）＋1)－eq\f(n,3n＋1)＝eq\f(1,（3n＋1）（3n＋4）)>0，所以Tn＋1>Tn，即數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列，所以t≤4Tn，eq\f(t,4)≤Tn，eq\f(t,4)≤T1＝eq\f(1,4)，t≤1，所以實(shí)數(shù)t的最大值是1.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共20分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，Sn＝10，則n＝()A．90B．119C．120D．121【解析】選C.因?yàn)閍n＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，所以Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－\r(2)))＋…＋(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＝eq\r(n＋1)－1＝10，故n＋1＝121，故n＝120.2．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＜0，a8＋a9＞0，a8·a9＜0.則使Sn＞0的n的最小值為()A．8B．9C．15D．16【解析】選D.因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}，首項(xiàng)a1<0，a8＋a9>0，a8·a9<0，所以a8<0，a9>0，由Sn＝eq\f(1,2)n(a1＋an)，可得S15＝15a8<0，S16＝eq\f(16（a1＋a16）,2)＝8(a8＋a9)>0，所以使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最小自然數(shù)n的值為16.3．已知函數(shù)f(x)是(－1，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x－2)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和為()A．－200B．－100C．0D．－50【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－2)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是(－1，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，S100＝eq\f(100（a1＋a100）,2)＝50(a50＋a51)＝－100.4．(多選題)設(shè){an}(n∈N*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論正確的是()A．d＜0B．a(chǎn)7＝0C．S9＞S5D．S6與S7均為Sn的最大值【解析】選ABD.由S5＜S6得a1＋a2＋…＋a5＜a1＋a2＋…＋a5＋a6，即a6＞0，又因?yàn)镾6＝S7，所以a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7，所以a7＝0，故B正確；同理由S7＞S8，得a8＜0，因?yàn)閐＝a7－a6＜0，故A正確；而C選項(xiàng)S9＞S5，即a6＋a7＋a8＋a9＞0，可得2(a7＋a8)＞0，由結(jié)論a7＝0，a8＜0，顯然C選項(xiàng)是錯誤的．因?yàn)镾5＜S6，S6＝S7＞S8，所以S6與S7均為Sn的最大值，故D正確．二、填空題(每小題5分，共20分)5．在等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，Sn為其前n項(xiàng)的和，若S4＝12，S8＝40，則S16＝________.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S4＝4a1＋\f(4×3,2)d＝12,S8＝8a1＋\f(8×7,2)d＝40))，解得a1＝eq\f(3,2)，d＝1，所以S16＝16×eq\f(3,2)＋eq\f(16×15,2)×1＝144.答案：1446．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，滿足a2＋a8＝6，S5＝－5，則a6＝________，Sn的最小值為________．【解析】依題意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋8d＝6，,5a1＋10d＝－5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝2，))所以a6＝－5＋10＝5，Sn＝－5n＋eq\f(n（n－1）,2)×2＝n2－6n，當(dāng)n＝3時，Sn的最小值為－9.答案：5－97．已知數(shù)列{an}中a1＝1，a2＝2，當(dāng)整數(shù)n>1時，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，則S15＝________．【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}中，當(dāng)整數(shù)n>1時，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立?Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2?an＋1－an＝2(n>1).所以當(dāng)n≥2時，{an}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．所以S15＝14a2＋eq\f(14×13,2)×2＋a1＝14×2＋eq\f(14×13,2)×2＋1＝211.答案：2118．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若1≤a1≤3，3≤a1＋S3≤6，則eq\f(a2,a1)的取值范圍是________．【解析】在等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＝2a2，所以S3＝a1＋a2＋a3＝3a2，又3≤a1＋S3≤6，所以3≤a1＋3a2≤6.由1≤a1≤3得eq\f(1,3)≤eq\f(1,a1)≤1.所以1≤eq\f(a1＋3a2,a1)≤6，即1≤1＋eq\f(3a2,a1)≤6，所以0≤eq\f(a2,a1)≤eq\f(5,3).即eq\f(a2,a1)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))三、解答題(每小題10分，共30分)9．已知數(shù)列{an}，an∈N*，Sn是其前n項(xiàng)和，Sn＝eq\f(1,8)(an＋2)2.(1)求證：{an}是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,2)an－30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值．【解析】(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝eq\f(1,8)(a1＋2)2，解得a1＝2.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,8)(an＋2)2－eq\f(1,8)(an－1＋2)2，即8an＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，整理得(an－2)2－(an－1＋2)2＝0，即(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.因?yàn)閍n∈N*，所以an＋an－1>0，所以an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4(n≥2).故數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，因?yàn)閎n＝eq\f(1,2)an－30，且由(1)知，an＝2＋(n－1)×4＝4n－2(n∈N*)，所以bn＝eq\f(1,2)(4n－2)－30＝2n－31.故數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列．令2n－31＝0，得n＝15eq\f(1,2).因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)n≤15時，bn<0；當(dāng)n≥16時，bn>0，即b1<b2<…<b15<0<b16<b17<….故當(dāng)n＝15時，Tn取得最小值，最小值為T15＝eq\f(－29－1,2)×15＝－225.10．已知等差數(shù)列{an}(n∈N*)滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝eq\f(1,aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))－1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)(n∈N*).(2)因?yàn)閍n＝2n＋1，所以aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))－1＝4n(n＋1)，所以bn＝eq\f(1,4n（n＋1）)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))).故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(n,4（n＋1）)，所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝eq\f(n,4n＋1)(n∈N*).【補(bǔ)償訓(xùn)練】數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Hn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Hn.【解析】(1)因?yàn)閍n＋2－2an＋1＋an＝0.所以an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.所以{an}是等差數(shù)列且a1＝8，a4＝2，所以d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.故an＝10－2n(n∈N*).(2)因?yàn)閍n＝10－2n，令an＝0，得n＝5.當(dāng)n>5時，an<0；當(dāng)n＝5時，an＝0；當(dāng)n<5時，an>0.設(shè)Sn＝a1＋a2＋…＋an.所以當(dāng)n>5時，Hn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝n2－9n＋40，當(dāng)n≤5時，Hn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.所以Hn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9n－n2，n≤5，,n2－9n＋40，n>5))(n∈N*).11．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(1,2－an)(n∈N*).(1)求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4