材料科學基礎輔導與習題-上交課件 06ch1

第一章晶體學基礎§1-1晶體與晶體學§1-2晶體點陣與空間點陣§1-3晶體的對稱性§1-4布拉菲點陣、晶胞與晶系§1-5晶向指數(shù)和晶面指數(shù)§1-6晶面間距、晶面夾角和晶帶定理§1-7晶體的極射投影1第一章參考書包永千，金屬學基礎，冶金工業(yè)出版社，1986石德珂，材料科學基礎，機械工業(yè)出版社，1999盧光熙等，金屬學教程，上?？茖W技術出版社，1985胡賡祥等，金屬學，上?？茖W技術出版社，1980鐘家湘等，金屬學教程，北京理工大學出版社，1995趙品等，材料科學基礎，哈爾濱工業(yè)大學出版社，1999

2CategoriesofcrystalsCrystalsareclassifiedingeneralcategories,suchasinsulators,metals,semiconductors,andmolecularsolids.Asinglecrystalofaninsulatorisusuallytransparentandresemblesapieceofglass.Metalsareshinyunlesstheyhaverusted.Semiconductorsaresometimesshinyandsometimestransparentbutareneverrusty.

3Crystals4Al2O3

Al2O3567Si6O18Si6O18

89101112§1-1晶體與晶體學一、晶體與非晶體

晶體:其原子排列是有序的,即原子按某種特定方式在三維空間內(nèi)周期性地規(guī)則重復排列(長程有序)Acrystalconsistsofidenticalstructuralunits,consistingofoneormoreatoms,whichareregularlyarrangedwithrespecttoeachotherinspace.

非晶體:其內(nèi)部原子排列是無序的(短程有序).13Long-andshort-rangeorderAsolidiscrystallineifithaslong-rangeorder.Oncethepositionsofanatomanditsneighboursareknownatonepoint,theplaceofeachatomisknownpreciselythroughoutthecrystal.Mostliquidslacklong-rangeorder,althoughmanyhaveshort-rangeorder.Shortrangeisdefinedasthefirst-orsecond-nearestneighboursofanatom.Inmanyliquidsthefirst-neighbour…14長程有序與短程有序

15各向異性與各向同性

類別彈性模量（MPa）抗拉強度（MPa）延伸率（％）最大最小最大最小最大最小Cu191000667003461285510α-Fe293000125000225158802016結晶（有固定熔點和體積突變）

與過冷的液體（無固定熔點和體積突變）

17有無銳利的衍射峰:(布拉格定律)2dsinθ=nλ

18晶體特征1)自范性:晶體具有自發(fā)地形成封閉的凸幾何多面體外形能力的性質,又稱為自限性.2)均一性:指晶體在任一部位上都具有相同性質的特征.3)各向異性:在晶體的不同方向上具有不同的性質.4)對稱性:指晶體的物理化學性質能夠在不同方向或位置上有規(guī)律地出現(xiàn),也稱周期性.5)最小內(nèi)能和最大穩(wěn)定性19晶體的周期性和對稱性

晶體的周期性：整個晶體可看作由結點沿三個不同的方向按一定間距重復出現(xiàn)形成的，結點間的距離稱為該方向上晶體的周期。同一晶體不同方向的周期不一定相同?？梢詮木w中取出一個單元，表示晶體結構的特征。取出的最小晶格單元稱為晶胞。晶胞是從晶體結構中取出來的反映晶體周期性和對稱性的重復單元。20§1-1晶體與晶體學二、晶體學

晶體學研究晶體的自然科學,研究晶體的成核與生長過程;研究晶體的外部形態(tài)和內(nèi)部結構;研究實際晶體結構與其物理性質的相互關系等.它與化學、固體物理學、冶金學、材料科學、分子生物學和固體電子學等學科關系十分密切.21§1-2晶體點陣與空間點陣一、結構基元二、等同點三、空間點陣與陣點四、空間格子與格點五、空間點陣+結構基元→晶體結構22一、結構基元是指通過一定結合鍵組成某一種晶體的分子、原子、離子、原子集團等。Theidenticalstructuralunits(orbaseofthecrystal)aretheatomsinsomespecificarrangementwhichareunambiguouslyplacedateverylatticepoint.23二、等同點

在晶體結構中占有相同幾何位置，且具有相同物質環(huán)境的點都稱其為等同點。在同一晶體中可以找出無窮多類等同點，但每一類等同點集合而成的圖形都呈現(xiàn)如右圖所示的相同圖形。

24金剛石金剛石中同是碳原子由于其幾何環(huán)境不同而產(chǎn)生的兩類等同點25三、空間點陣與陣點將晶體結構中某一類等同點挑選出來,它們有規(guī)則地、周期性重復排列所形成的空間幾何圖形即稱為空間點陣,簡稱點陣.構成空間點陣的每一個點稱之為結點或陣點.(a)(b)(c)(d)幾種晶體點陣的平面圖(a、b、c)和它們的空間點陣(d)26LatticeAnidealcrystalisarepetitionofidenticalstructuralunitsinthreedimensionalspace.Theperiodicityisdescribedbyamathematicallattice(whicharemathematicalpointsatspecificcoordinatesinspace),theidenticalstructuralunits(orbaseofthecrystal)aretheatomsinsomespecificarrangementwhichareunambiguouslyplacedateverylatticepoint.27空間點陣中的幾何要素①結點：空間點陣中的等同點；②行列：分布在同一直線上的結點構成一個行列；③面網(wǎng)：分布在同一平面上的結點構成一個面網(wǎng)。④初基格子：空間點陣中由八個結點連成的中空的平行六面體。28293031四、空間格子與格點一個空間點陣若用不在同一平面上的三個方向的平行直線束穿接起來,稱之為空間格子.空間格子中每個點稱之為格點.

32五、空間點陣+結構基元→晶體結構Notethatalatticeisnotacrystal,evensothetwowordsareoftenusedsynonymouslyincolloquiallanguage,especiallyinthecaseofelementalcrystalswherethebaseconsistsofoneatomonly.33AcrystalnowisobtainedbytakingaBravaislattice

andaddingabase!

Thebasecanjustbeoneatom(asinthecaseofmanyelementalcrystals,mostnoteworthythemetals),twoidenticalatoms(e.g.Si,Ge,C(diamond)),twodifferentatoms(NaCl,GaAs,...)threeatoms,...uptohugecomplexmoleculesasinthecaseofproteincrystals.34GaAsCrystalStructure

35Anarbitraryexampleisshownbelow

36§1-3晶體的對稱性一、對稱的概念二、宏觀對稱元素三、32種點群四、晶體的分類五、微觀對稱元素六、空間群七、對稱型的國際符號

37一、對稱的概念對稱是指物體相同部分作有規(guī)律的重復。38SymmetryaroundaPointinthePlaneReflectionandRotationSymmetryisthesetofmathematicalrulesthatdescribetheshapeofanobject.Thetwomostcommonkindsare:ReflectionorMirrorSymmetryRotationSymmetry39ReflectionorMirrorsymmetryTwohalvesofanobjectaremirrorimagesofeachother.Thefiguresbelowhavereflectionsymmetry.MirrorPlane

|

|

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(|)

Mirror

))]pqdb/

Mirror

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/|\

Plane----------------

Plane-------+-------

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))]bdqp\

\\]|[//

q|p

\\|//

=|=

|

MirrorPlane

40ThelettersAUVTYallhavereflectionsymmetryacrossaverticalplane.ThelettersDECBhavereflectionsymmetryacrossahorizontalplane.Itispossibletohavereflectionsymmetryinmorethanonedirection.ThelettersHIOXhavebothhorizontalandverticalmirrorsymmetry.Notethat:Objectscanhavemorethanonekindofsymmetry.Iftheydo,thesymmetrieshavetobeconsistent.Forexample,youcan'tcrossmirrorplanesatarbitraryangles.Symmetryoperationsactoneachotheraswellasonpatterns.Intheright-mostfigureabove,notethateachmirrorplaneisreflectedbytheother.Peopleandmostvertebratesbasicallyhavemirrorsymmetry(atleastexternally).Inbiologyitisoftencalledbilateralsymmetry.41RotationalSymmetryPartsofanobjectarerelatedbyrotation.Asageneralrule,youcanrotatesuchanobjectthroughacertainangleanditwillstillhavethesameappearance.Thefiguresbelowhaverotationalsymmetry:(a.)

(b.)

/

=====

/\

66///%///99

/

\

=====

__/___\

\

42N-foldsymmetryInFigurea.,thepartsarerelatedbyarotationaroundthecenterby180degrees.Thefigurelooksthesametwiceina360-degreerotation.Wesayithastwo-foldsymmetry.ThelettersZSandNalsohavetwo-foldsymmetry.Figureb.looksthesamethreetimesduringa360-degreerotationandissaidtohavethree-foldsymmetry.Somefigureshavefour-foldsymmetryandothershavesix-foldsymmetry.Anobjectissaidtohaven-foldsymmetryifitlooksthesameafterbeingrotated360/ndegrees.Thepointaroundwhichwerotatetheobjectiscalledasymmetryaxis.43SymmetryandtheRealWorldNotethat,becauseweareusingkeyboardcharacters,thefiguresarenotperfectlysymmetrical.Realobjectsneverare.Eveninacrystal,thereareimpurityatomsanddefectsthatspoiltheperfectsymmetry.Wesayanobjecthassymmetryifitdoesasawhole,apartfromminordefects.Forexample,wesaypeoplehavebilateralsymmetryeventhoughtheymayhaveamoleononesideoftheirfacebutnottheother.44二、宏觀對稱元素使物體的相等部分重復所進行的操作稱為對稱操作，對稱操作包括反映、旋轉、反演等。在進行對稱操作時，所借助的幾何要素稱為對稱要素，包括點、線、面。45（1）對稱面（用符號“m”表示

）

對稱面是通過晶體中心的一個假想平面，它將晶體平分為互為鏡像的兩個相等部分。對稱面的操作是對此平面的反映。4647（2）對稱軸(Ln)

對稱軸是通過晶體中心的一根假想直線，晶體圍繞此直線旋轉一定角度后，可使相等部分重復或者說使晶體復原。對稱軸的對稱操作是圍繞一根直線旋轉。旋轉一周重復的次數(shù)稱為周次（n），重復時所旋轉的最小角度稱為基轉角（），周次與基轉角之間的關系為n=360°/48

對稱軸的種類名稱符號基轉角（）軸次（n）作圖符號一次對稱二次對稱三次對稱四次對稱六次對稱L1L2L3L4L6360°180°120°90°60°1234649在晶體中，只可能出現(xiàn)軸次為一次、二次、三次、四次和六次的對稱軸，而不可能存在五次和高于六次的對稱軸。晶體對稱定律二維晶胞的密排圖形50證明51基轉角的可能值K>33210-1<-1COSα=(1-K)/2<-1-1-(1/2)01/21>1α無相當值180°120°90°60°0°360°無相當值52①1次對稱軸,習慣符號為L1,國際符號為1,n＝1,α＝360°,任何晶體旋轉360°以后等同部分會重復；②2次對稱軸，習慣符號為L2，國際符號為2，n＝2，α＝180°，晶體旋轉180°以后等同部分會重復，旋轉一周重復2次；③3次對稱軸，習慣符號為L3，國際符號為3，n＝3，α＝120°，晶體旋轉120°以后等同部分會重復，旋轉一周重復3次；④4次對稱軸，習慣符號為L4，國際符號為4，n＝4，α＝90°，晶體旋轉90°以后等同部分會重復，旋轉一周重復4次；⑤6次對稱軸，習慣符號為L6，國際符號為6，n＝1，α＝60°，晶體旋轉60°以后等同部分會重復，旋轉一周重復6次.53（3）對稱中心

對稱中心是晶體中心的一個假想點，任意通過此點的直線的等距離兩端，必定找到對應的點。對稱中心的對稱操作是對此點的反演。晶體中可以沒有對稱中心，或者有一個對稱中心。晶體中如果有對稱中心，晶體上的晶面必然都是兩兩平行（或兩兩反向平行）且相等。54對稱中心用符號“i”表示

55（4）旋轉反演軸(Lin)

旋轉反演軸是通過晶體中心的一根假想的直線，晶體圍繞此直線旋轉一定角度后，再對此直線上的一點反演，可使相等部分重復即晶體復原。旋轉反伸軸的對稱操作是圍繞一根直線旋轉和對此直線上一點反演。旋轉反伸軸的符號Lin，i代表反演，n代表軸次。n可以為1、2、3、4、6，相應的基轉角為360°、180°、120°、90°、60°，旋轉反演軸的作用如下圖所示：56Li1Li2Li357Li4Li658注意當已經(jīng)考慮了對稱面和反演對稱元素后，Li1

、Li2

、Li3

、Li6

次旋轉－反演對稱軸就不必再列為基本的對稱元素。原因如下：Li1次旋轉－反演對稱軸就是對稱中心，用i表示，即Li1＝i。Li2次旋轉－反演對稱軸就是垂直于該軸的對稱面，用m表示，即Li2＝m。Li3次旋轉－反演的效果和L3次轉軸加上對稱中心i的總效果一樣。Li6次旋轉－反演的效果和L3次轉軸加上垂直于該軸的對稱面的總效果一樣59小結綜上所述，晶體的宏觀對稱性中，只有以下八種最基本的對稱元素，即L1、L2、L3、L4、L6、i、m、Li4。60三、32種點群晶體的宏觀外形可以只有一種對稱元素獨立存在，也可以有若干對稱元素同時存在，由上面八種對稱元素的不同組合就可以組成形形色色晶體的各種宏觀對稱性，但是晶體除了對稱性以外，還必須具有周期性這樣一個特點，因此這些對稱元素的組合不能是任意的，必須遵循對稱元素的組合規(guī)律，使對稱元素之間相互制約而又相互協(xié)調，利用數(shù)學方法可以導出這八個宏觀對稱元素可能有的組合數(shù)為32種，構成了晶體32種宏觀對稱類型，即32種點群。之所以稱其為點群，是因為每種宏觀對稱類型中的各個對稱元素必須至少相交于一點，此點稱為點群中心。6162TheCrystallographicPointGroupsTriclinic,MonoclinicandOrthorhombicSymmetriesTrigonalSymmetriesHexagonalSymmetriesTetragonalSymmetriesIsometricSymmetries63Triclinic,MonoclinicandOrthorhombicSymmetries64TrigonalSymmetries65HexagonalSymmetries66TetragonalSymmetries67IsometricSymmetries68補充：對稱要素的組合（1）對稱要素的組合規(guī)律：定理一如果有一個對稱面P包含Ln，則必有n個對稱面包含Ln，且任意二相鄰P之間的交角δ等于360°/2n。即：逆定理如果兩個對稱面P以δ角相交，其交線必為一個n次對稱軸Ln，且n為：69定理二如果有一個二次對稱軸L2垂直Ln，則必有n個L2垂直Ln，且任意二相鄰L2之間的交角δ=360°/2n。即：逆定理

如果有相鄰的L2以δ角相交，則過兩個L2交點的公共垂線必為一個n次對稱軸Ln，且70定理三如果有一個偶次對稱軸Ln垂直對稱面P，其交點必為對稱中心C。逆定理一：如果有一個對稱面和對稱中心組合，必有一個垂直于對稱面的偶次對稱軸。逆定理二如果有一個偶次軸Ln和對稱中心C組合，必產(chǎn)生垂直該Ln的對稱面P。71定理四如果有一個二次對稱軸L2垂直Lin（或者有一個對稱面P包含Lin），當n為偶數(shù)時，則必有n/2個L2垂直Lin

和n/2個P包含Lin；當n為奇數(shù)時，則必有n個L2垂直Lin

和n個P包含Lin，而且對稱面P的法線與相鄰L2之間的交角δ均為360°/2n。逆定理如果有一個L2與一個P斜交，P的法線與L2的交角為δ，則包含P且垂直于L2的直線必為一個n反伸軸,n=360°/2δ72定理五如有兩個基

轉角分別為α和β

的對稱軸以δ角相

交,則過兩者之交點

必有另一個對稱軸

存在，后者之基轉

角ω及其與二原始

對稱軸之交角γ’和

γ”分別為：推論

n次對稱軸Ln與m次對稱軸Lm以δ角斜交時，則圍繞Ln必有共點且對稱分布的n個Lm，圍繞Lm必有共點且對稱分布的m個Ln，且任意二相鄰的Ln與Lm之間交角均等于δ。73NotationWe'renowreadytosetupsomenotationforsymmetryoperations:Simplerotationsymmetryissimplydescribedbyanumber:three-foldrotationissimplydescribedas3.A+hassymmetry4.Mirrorplanesaredescribedbym.Compoundsymmetriesaredescribedbyjoiningsymbols.Odd-foldrotationplusreflection,likethatofatriangle,is3m.ThestarsonanAmericanflaghavesymmetry5m.Whentherotationiseven-fold,wealsonotethesecondsetofmirrorplanesthatiscreated.Arhombus菱形hassymmetry2mm,asquarehas4mm,ahexagonorstarofDavidhas6mm.Allregularpolygonshavesymmetrynmifnisoddornmmifniseven.74One-foldSymmetry=NoSymmetrySomeobjectshavenosymmetryatall:acomputerkeyboard,aleftglove,thelettersGQdpJL.Ina360degreerotation,theobjectmatchesitsoriginalappearanceonlyonce,afterafull360degrees.Thus,wecansaytheobjecthasone-foldsymmetry.One-foldsymmetryisthesameasnosymmetryatall.75Summaryoftheone-dimensionalspacegroups1.p1pppppppppp

2.pmpppppppppp-----------------------------------------bbbbbbbbbb

3.p/mp|q|p|q|p|q|p|q|p|q764.pmmp|q|p|q|p|q|p|q|p|q----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+----b|d|b|d|b|d|b|d|b|d

5.p2p+d+p+d+p+d+p+d+p+d6.

pgpppppppppp---------------------------------------------------------bbbbbbbbbb

7.pmgp+d|q+b|p+d|q+b|p+d|q+b|p+d|q

77SymmetryElementsoftheTwo-DimensionalSpaceGroups78Three-DimensionalPointGroupsThereareseventypesofsymmetry.Recallthattherearealsosevenone-dimensionalstripspacegroups.Thenumbersevenisnocoincidence:thepolarsymmetriescanbeobtainedbywrappingthestripsymmetriesaroundacylinder.Thediagramsbelowshowthestrip,theresultwhenwrappedaroundacylinder,andasolidwiththeresultingsymmetry.798081四、晶體的分類晶類：晶體共有32種對稱型，把屬于同一對稱型的所有晶體歸為一類，稱為晶類，所以也有32個晶類。根據(jù)有無高次軸和高次軸的多少將32個晶類劃分為低、中、高三個晶族。低級晶族：對稱型中無高次軸為低級晶族。中級晶族：對稱型中只有一個高次軸為中級晶族。高級晶族：對稱型中高次軸多于一個為高級晶族。82根據(jù)有無L2或P，以及L2或P是否多于一個將低級晶族劃分為三個晶系：三斜晶系（無L2，無P），單斜晶系（L2或P不多于一個），斜方晶系（或稱正交晶系）（L2或P多于一個）。根據(jù)高次軸的軸次將中級晶族劃分為3個晶系：三方晶系（L3）、四方晶系（或正方晶系）（L4或L4i）和六方晶系（L6或L6i）。高級晶族不再進一步劃分，稱為等軸晶系或立方晶系。三個晶族、七個晶系、32個對稱型的具體組成見下表83848586五、微觀對稱元素宏觀對稱元素在晶體內(nèi)部結構中仍然存在。此外，由于介入平移操作又出現(xiàn)了一些新的對稱元素，一般將這些微觀特有的對稱元素稱為微觀對稱元素。微觀對稱元素主要分為以下三類。1．平移軸

2．滑移面

3．螺旋軸871．平移軸晶體最根本的特點是其內(nèi)部結構具有空間點陣的特征，即晶體內(nèi)部結構的周期性。若點陣沿著點陣中某一方向上任何兩點的矢量進行平移，點陣必然復原，由這種平移操作所組合的對稱群稱為平移群，可以用下式來表達：Tmnp＝ma＋nb＋pc

其中：m、n、p＝0、±1、±2……因此，如果說空間點陣是反映晶體內(nèi)部結構周期性的幾何形式，那么平移群的表達式則是反映晶體內(nèi)部結構周期性的代數(shù)形式。88點陣與相應平移群間的對應關系還體現(xiàn)在下列兩個重要的性質上：①連接點陣中任意兩點的矢量必屬于平移群T中的一個平移矢量；②屬于平移群T中的任何矢量必定通過點陣中的二個節(jié)點。所以不難得出：平移群矢量之組合仍屬于平移群。晶體的宏觀對稱性與微觀對稱性的區(qū)別就在于：宏觀對稱操作至少要求有一點不動，而微觀對稱操作要求全部點都動。因此，宏觀對稱性無法反映微觀對稱性中的平移部分。然而，當宏觀對稱元素一旦與平移結合起來即可形成新的微觀對稱元素。892．滑移面

滑動面是一復合的對稱要素。其輔助對稱要素有兩個：一個是假想的平面和平行此平面的某一直線方向。相應的對稱變換為：對于此平面的反映和沿此直線方向平移的聯(lián)合，其平移的距離等于該方向行列結點間距的一半。根據(jù)平移成分τ的方向和大小，滑動面一般有下列三種：軸滑移面；對角滑移面；金剛石滑移面。90軸滑移面用a、b、c各表示沿a、b、c方向平移對應軸一半a/2、b/2、c/2后又反演而得到重復的滑移機制，見如下各圖所示。91軸滑移面①=(1/2)a的滑移面，符號a滑移面

a92軸滑移面②=(1/2)b的滑移面，符號b滑移面

b93軸滑移面③=(1/2)c的滑移面，符號c滑移面

c94對角滑移面一律用n表示平移（a＋b)/2，(b＋c)/2，(a＋c)/2，(a＋b＋c)/2各種對角矢量的1/2平移，后再反演而重復的晶面，下圖列舉了n滑移面滑移了（a＋b)/2。

=1/2（a+b)或1/2(b+c)或1/2(c+a)或1/2(a+b+c)的滑移面，符號n95金剛石滑移面對滑移量為（a＋b)/4，(b＋c)/4，(a＋c)/4，(a＋b＋c)/4的滑移反映對稱面統(tǒng)稱為金剛石滑移對稱面，用d表示，下圖列舉了d滑移面滑移了（a＋b)/4。96=1/4(a+b)或1/4(b+c)或1/4(c+a)或1/4(a+b+c)的滑移面，符號d滑移面

d97在各種晶體結構中，由鏡面m和平移t結合而形成的滑移面的國際符號和滑移矢量等歸納在下表中。而反演、四次旋轉－反演軸在進行對稱操作時都要求有一點不動，所以只有平移一個周期才能使晶體規(guī)則復原，然而平移一個周期相當于不動，所以反演和四次旋轉－反演軸均不能與平移結合而形成新的微觀對稱元素。98993．螺旋軸

螺旋軸是一種復合的對稱要素。其輔助幾何要素為：一根假想的直線及與之平行的直線方向。相應的對稱變換為，圍繞此直線旋轉一定的角度和此直線方向平移的聯(lián)合。螺旋軸的周次n只能等于1、2、3、4、6，所包含的平移變換其平移距離應等于沿螺旋軸方向結點間距的s/n，s為小于n的自然數(shù)。螺旋軸的國際符號一般為ns100

旋轉軸根據(jù)其軸次和平移距離的大小的不同可分為21；31；32；41；42；43；61；62；63；64；65共11種螺旋軸。即當轉軸與平移組合后，可以形成11種新的微觀對稱元素。

螺旋軸根據(jù)其旋轉方向可分為左旋、右旋和中性旋轉軸。左旋方向是指順時針旋轉，右旋是指逆時針旋轉，旋轉方向左右旋性質相同時為中性旋轉軸。螺旋軸的類型101各種旋轉對稱軸圖示1021034142431046162105636465106107六、空間群晶體外形的對稱分類用點群來說明，而晶體內(nèi)部結構――原子、離子、分子類別和排列的對稱性類別則用空間群來說明。這種微觀的對稱性不但包括了所有宏觀對稱元素而且又多出三類微觀對稱元素：平移、螺旋軸以及滑移面。導致這種差異的根本原因在于晶體內(nèi)部結構具有特有的平移對稱性。108把宏觀對稱元素的點群與微觀對稱元素的螺旋軸、滑移面結合作為一部分，將其與平移再組合而形成的對稱群，稱為空間群。很顯然，有宏觀對稱元素和微觀對稱元素在三維空間中可能的組合排列數(shù)很多，經(jīng)過熊夫利斯和費多羅夫的精確分析，晶體最多可能有230種空間群。但是，并非所有空間群都能找到與它相應的晶體結構。迄今為止，在測定的晶體中，大部分只屬于230種空間群中的100個空間群，將近80個空間群還未找到與其相應的實際晶體結構。實際上，重要的空間群只有30個，對金屬材料而言，比較重要的空間群只有15～16個。109七、對稱型的國際符號

（1）對稱型中對稱要素的國際符號對稱型國際符號所采用的對稱要素為對稱面、對稱軸和旋轉反演軸，對應符號分別為：對稱面：m；一次、二次、三次、四次和六次旋轉軸分別為：1、2、3、4、6；一次、二次、三次、四次和六次旋轉反演軸分別為：L1i

、L2i

、L3i

、L4i

、L6i

。由于L1i=C，L2i=P，在國際符號中用表示對稱中心C，用m表示L2i。110（2）對稱型國際符號的表示方法對稱型的國際符號不超過三位，書寫順序有嚴格規(guī)定，隨晶系的不同而不同，具體順序見下表。國際符號的書寫方法就是按表中要求的順序寫出各方向所含的對稱要素符號。對稱面的方向是其法線的方向。當軸向與對稱面法線處同一方向時用分式表示，軸次作分子，對稱面作分母，例如四次軸和對稱面法線方向一致，此方向的國際符號寫成4/m。111對稱型國際符號中三個位的取向

晶系第Ⅰ方向第Ⅱ方向第Ⅲ方向等軸c（a+b+c）（a+b）四方ca（a+b）三方、六方ca（2a+b）斜方abc單斜b三斜c112舉例：L44P--4mm

L4P1P2P3P4113§1-4布拉菲點陣、晶胞與晶系一、Bravaislattice

ThefourteenBravaislatticesdescribeallthedifferenttypesofthree-dimensionallatticesthatexist.Theunitcellsofeachoftheselatticesaredistinguishedbytheirpatternoflatticepoints.法國學者布拉菲(A.Bravais)根據(jù)晶體結構的最高點群對稱和平移群（所有平移軸的組合）對稱及晶體學晶胞選取原則，將所有晶體結構的空間點陣劃分成十四種類型的空間格子，稱14種空間格子或布拉菲點陣。

114115BravaisLatticesSymbolsP-Primitive:simpleunitcellF-Face-centered:additionalpointinthecenterofeachfaceI-Body-centered:additionalpointinthecenterofthecellC-Centered:additionalpointinthecenterofeachendR-Rhombohedral:Hexagonalclassonly116CrystalClassBravaisLatticesPointGroupsTriclinicP1,1*MonoclinicP,C2,m,2/mOrthorhombicP,C,F,I222,mm2,2/m2/m2/mTrigonalP,R3,3*,32,3m,3*2/mHexagonalP6,6*,6/m,622,6mm,6*m2,6/m2/m2/mTetragonalP,I4,4*,4/m,422,4mm,4*2m,4/m2/m2/mIsometricP,F,I23,2/m3*432,4*3m,4/m3*2/m117IsometricCellsTheFcellisveryimportantbecauseitisthepatternforcubicclosestpacking.ThereisnoCcellbecausesuchacellwouldnothavecubicsymmetry.118TetragonalCellsACcellwouldsimplybeaPcellwithasmallercross-section.AnFcellwouldreducetoanetworkofIcells.119HexagonalCellsTheRcellisuniquetohexagonalcrystals.Thetwointeriorpointsdividethelongdiagonalofthecellinthirds.ThisistheonlyBravaislatticewithmorethanoneinteriorpoint.Arhombohedroncanbethoughtofasacubedistortedalongoneofitsdiagonals.120121OrthorhombicCellsTheorthorhombicclassistheonlyonewithallfourtypesofBravaislattice122MonoclinicandTriclinicCellsMonoclinicForIcellscouldalsoberepresentedasCcells.AnyothertricliniccellcanalsoberepresentedasaPcell.123§1-4布拉菲點陣、晶胞與晶系二、晶胞（單胞）在空間點陣中取一個具有代表性的基本小單元(通常是一個平行六面體),整個點陣可看作是由這樣一個平行六面體在空間堆砌而成,此平行六面體稱為單胞.124125晶胞的選取在同一空間點陣中,可以選取多種不同形狀和大小的平行六面體作為單胞。126晶胞的選取固體物理選法選取空間點陣中體積最小的平行六面體作為單胞,它只反映其空間點陣的周期性,但不能反映其對稱性.如圖1-8所示127elementarycellandprimitiveunitcellForcertainapplications,aBravaislatticemaynotbethebestchoice.Whereas,forexample,itshowsbestthecubicsymmetryofthecubiclattices,itselementarycellisnotaprimitiveunitcellofthelattice,i.e.thereareunitcellswithasmallervolume(butwithoutthecubicsymmetry).Forothercases(especiallyifworkinginreciprocallattices)thechoiceofaWigner-Seitzcellmaybeappropriate,whichisobtainedbyintersectingalllinesfromonelatticepointtoneighboringpointsathalfthedistancewithplanesatrightanglestothelines128Wigner-SeitzcellThisisshownschematicallybelow:Thebluelinesconnectlatticepoints,theredlinesdenotetheintersectionatrightangles.Theresultinganditsuseinconstructingthelatticeareshowninyellow.

129crystaltypesInpracticalwork,oneoftensreferstocrystaltypesinsteadoflatticesbyusingthenameofprominentcrystals,crystallographersormineralsetc.;e.g."diamondtype,Perovskites,"Zinkblende"structureandsoon.Afewexamplesaregivenbelows.130TheNaClStructure

Thelatticeisfacecenteredcubic

(fcc),withtwoatomsinthebase:oneat(0,0,0),theotheroneat(?,0,0)Manysaltsandoxideshavethisstructure,e.g.KCl,AgBr,KBr,PbS,...orMgO,FeO,...131TheCsClStructure

Thelatticeiscubicprimitivewithtwoatomsinthebaseat(0,0,0)and(?,?,?).Itisacommonerrortomistakeitforabcclattice.Intermetalliccompounds(notnecessarilyioniccrystals),butalsocommonsaltsassumethisstructure;e.g.CsCl,TlJ,...,orAlNi,CuZn

132TheZnS(orDiamond,orSphalerite)Structure

The"zincblende"latticeisfacecenteredcubic

(fcc)withtwoatomsinthebaseat(0,0,0)and(?,?,?).

ItisnotonlyanimportantlatticeforotherioniccrystalslikeZnS,whichgaveititsname,butalsothetypicallatticeofcovalentlybondedgroupIVsemiconductors(C(diamondform),Si,Ge)orIII-Vcompoundssemiconductors(GaAs,GaP,InSb,InP,..)TheZnSlatticeiseasilyconfusedwiththeZrO2latticebelow133

TheCaF2orZrO2StructureThelatticeisfacecenteredcubic

(fcc)withthreeatomsinthebase,onekind(thecations)at(0,0,0),andtheothertwo(anionsofthesamekind)at(?,?,?),and(?,?,?).Itisoftenjustcalledthe"fluoritestructure".134Perovskite鈣鈦礦

Structure

Thelatticeisessentiallycubicprimitive,butmaybedistortedtosomeextentandthenbecomesorthorhombicorworse.ItisalsoknownastheBaTiO3orCaTiO3latticeandhasthreedifferentatomsinthebase.IntheexampleitwouldbeBaat(0,0,0),Oat(?,?,,0)andTiat(?,?,?).Aparticularinterestingperovskite(athighpressures)isMgSiO3.Itisassumedtoformthebulkofthemantleoftheearth,soitisthemostabundantstuffonthisplanet,neglectingitsFe/Nicore.Themechanicalproperties(includingthemovementofdislocations)ofthis(andrelated)mineralsareessentialforgeotectonics-formingthecontinents,makingandquenchingvolcanoes,earthquakes-quiteinterestingstuff!135PerovskiteStructure

136Spinel尖晶石

Structure（1）Thespinelstructure(sometimescalledgarnet石榴石

structure)isnamedafterthemineralspinel(MgAl2O4);thegeneralcompositionisAB2O4.Itisessentiallycubic,withtheO-ionsformingafcclattice.Thecations(usuallymetals)occupy1/8ofthetetrahedralsitesand1/2oftheoctahedralsitesandthereare32

O-ionsintheunitcell.Thissoundscomplicated,butitisnotasbadasitcouldbe;lookatthedrawing.We"simply"havetwotypesofcubicbuildingunitsinsideabigfcc

O-ionlattice,fillingall8octants.Thespinelstructureisveryflexiblewithrespecttothecationsitcanincorporate;thereareover100knowncompounds.Inparticular,theAandBcationscanmix!Inotherwords,thecompositionwithrespecttooneunitcellcanbe137SpinelStructure138SpinelStructure(2)(A8)(B16)O32,orA8(B8A8)O32=A(AB)O4inregularchemicalspelling,or(A8/3B16/3)(A16/3B32/3)O32

andsoon,withtheatomsinthebracketsoccupyingtherespectivesiteatrandom.Afewexamples(inregularchemicalsymbols)Magnetite;Fe3+(Fe2+Fe3+)O4

Spinel;Mg2+(Al23+)O4

Chromite;Fe3+(Cr23+)O4

Jacobsite;Fe3+(Mn2+Fe3+)O4

Thespinelstructureisalsointerestingbecauseitmaycontainvacanciesasregularpartofthecrystal.Forexample,ifmagnetiteisslowlyoxidizedbylyingaroundacoupleofbillionyears,orwhenrockscool,Fe2+willturnintoFe3+(oxidation,inchemicalterms,meansyoutakeelectronsaway).IfallFe2+isconvertedintoFe3+,chargebalancerequiresanetformulaofFe21,67O32perunitcellandthismeansthat2,33sitesmustbevacant-wehavewhatiscalledadefectspinel.Inaway,thecompositionisnowFe21,67Vac2,33O3;havinglotsofvacanciesasanintegralpartofthestructure.139晶胞的選取晶體學選法①要能充分反映整個空間點陣的周期性和對稱性；②在滿足①的基礎上，單胞要具有盡可能多的直角；③在滿足①、②的基礎上，所選取單胞的體積最小。140對稱性，直角，體積最小141晶胞的選取簡單單胞與復合單胞

簡單單胞:即只在平行六面體的8個頂點上有結點,且它們又分屬于8個相鄰單胞,故一個簡單單胞只含有一個結點。

復合單胞:除在平行六面體頂點位置含有結點之外，尚在體心、面心、底心等位置上存在結點。142三、晶胞參數(shù)（點陣常數(shù)）

晶胞的形狀和大小可以用6個參數(shù)來表示，此即晶格特征參數(shù)，簡稱晶胞參數(shù)。它們是3條棱邊的長度a、b、c和3條棱邊的夾角、、，如圖所示。143Allpossiblelatticescanbedescribedbyasetofthreelinearlyindependentvectorsa1,a2,anda3,theunitvectorsofthelattice.EachlatticepointthancanbereachedbyatranslationvectorTofthelatticegivenbyWithu,v,w=integersT

=

(u·a1,v·a1,w·a3)144四、CrystalsystemEverycrystalbelongstooneofsevencrystalsystems.Eachsystemisdefinedintermsoftherelativelengthsoftheunitvectorsa,bandcofthelatticeunitcell,aswellastheanglesbetweenthevectors(seecrystalaxes).Thesevencrystalsystemsarecubic,tetragonal,orthorhombic,trigonal,hexagonal,monoclinicandtriclinic.145四

七大晶系14614

Bravais

latticesItisconvenient,toclassifylatticesaccordingtosomebasicsymmetrygroups.Thisyieldsthe14

Bravais

lattices,whicharecommonlyusedtodescribelatticetypes.Theirbasicfeaturesareshownbelow(Forsakeofclarity,thelatticepointsareshownaslittlespheresandoccasionallyonly"visible"latticepointsareshown.Thesearenotatoms,however!)147Tricline簡單三斜C=PI=PF=Pa1a2

a3

a

b

g

900148Monoclinic簡單單斜底心單斜

I=CF=Ca1a2

a3

=b

=900g

900MonoclinebasefacecenteredMonoclineprimitive149Orthorhombica1a2

a3,α=b

=

g

=900OrthorhombicprimitiveOrthorhombicbodycenteredOrthorhombicbasefacecentered

Orthorhombicfacecentered150Rhombohedrala1=a2=a3,α=b

=

g

900三方菱面體C:與本晶系對稱不符I=PF=P151Hexagonal(elementarycellcontinuedtoshowhex.symmetry)a1=a2a3,α=b

=900,

g

=1200簡單六方C、I、F不符六方對稱152Tetragonala1=a2a3,α=b

=

g

=900TetragonalprimitiveTetragonalbodycentered簡單四方C=P體心四方F=I153Cubica1=a2=a3,α=b

=

g

=900cubicprimitivecubicbodycentered(bcc)

cubicfacecentered(fcc)C：與本晶系對稱不符154三斜：F=P155單斜：C=P156單斜：I=C157四方：C=P158四方：F=I159三方：I=P160三方：F=P161面心正方和體心正方點陣的關系底心正方和簡單正方點陣的關系162§1-5晶向指數(shù)和晶面指數(shù)晶面與晶向在晶體中存在著一系列的原子列或原子平面，晶體中原子組成的平面叫晶面，原子列表示的方向稱為晶向。163MillerIndicesMillerindicesareanotationfordescribingdirectionsandlabellingplanesinlatticesandcrystals.Thebasisfordeterminingtheindexistheunitcell.Itisimportanttobeclearabouttheunitcellbeingused.Adirectionisexpressedintermsofitsratioofunitvectorsintheform[uvw]whereu,vandwareintegers.Afamilyof

crystallographicallyequivalentdirectionsisexpressedas<uvw>.AMillerindex