點線面的位置關系梳理

點、線、面的位置關梳理許蘇華空間中最基本的幾個元素分別就是點（直線平面曲線空間曲線（平面、空間曲面.這里主要研究點、直線、平面之間的位置關.其中點是沒有大小有位置可分割的圖形線是向兩端無限延伸的沒有寬度的；平面是向四周無限延伸的，而且是沒有厚度的一般我們不考慮點與點線與直線面與平面重合這種特殊情況點、直線、平面之間的所有位置關系如下表所示：點

點相離

直線在直線上或在直線外

平面在平面內(nèi)或在平面外直線——

相交（垂直平行或異面（垂直）

相交（垂直平行或在平面內(nèi)平面————

相交（垂直平行此表中的直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的平行和垂直是我們重點要研究的特殊位置關系.根據(jù)公共點的個數(shù)，可以給這些位置關系下定義相交直線，在同一個平面內(nèi)，有且僅有一個公共點；平行直線，在同一平面內(nèi)，它們沒有公共點；異面直線，不同在任何一個平面內(nèi)，它們也沒有公共.直線與平面相交，有且僅有一個公共點；直線與平面平行，則沒有公共點；直線在平面內(nèi)，有無數(shù)個公共.兩個平面平行，沒有公共點；兩個平面相交，有一條公共直線，即有無數(shù)個公共點.如果兩條直線平行或相交兩條直線也叫共面直線若兩條直線平行們規(guī)定它們的夾角0o

；若兩條直線異面平移其中條或兩條直線都平移，使

它們相交，平移后的兩條直線的所成的角稱之為異面直線所成的.間中兩條直線所形成夾角的取值范圍[

o

,90

o

].如果直線與平面平行，或者直線在平面內(nèi)，我們規(guī)定直線與平面所成的角是o直線與平面垂相交的一種特殊情況與平面所成的角o；如果直線與平面相交但是不與該平面垂直這條直線叫做這個平面的斜線斜線與平面的交點叫做斜足過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線該垂線與平面的交點叫做垂足過垂足與斜足的直線叫做斜線在平面上的射影斜線與射影所成的角做斜線與平面所成的角.因此直線與平面所成角的范圍也[

o

,90

o

]兩個平面之間也能形成角，那怎么度量呢？這里要引入二面角的概念從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，該圖形叫做二面.條直線叫做二面角的棱這兩個半平面叫做二面角的面.若棱為AB面分別、、分別有一點P、Q此二面角記作二面AB面角PAB.果棱記l此二面角也可記作二面面角P如果在二面角的棱上任取一O以為垂足，分別在半平作垂直于l射線ODCOD叫做二面角的平面角.二面角的平面角是多少度說這個二面角是多少度，可見二面角的取值范圍是

o

,180

o

].當兩個半平面重合時，對應著二面角

o

；當兩個半平面互相垂直，對應著二面角

，該二面角叫做直二面角；當兩個半平面拼成一個平面時，對應著二面角為范圍與兩個向量之間夾角范圍是一樣的.

o

.二面角的取值數(shù)學中的公理、原理，通常是一件基本事實，是一個顯而易見的簡單結(jié)論，或是一個不需要證明的主觀真理.而數(shù)學中定理、推論、公式，都是需要通過演繹等邏輯推理方法嚴格證明的此，在我們學習過程中，遇到公理、原理，我們要舉例子、弄明白、想透徹、理解領悟即可；如果是定理、公式，那我們一定

要嘗試證明、或者學習別人的證明方法，最終自己要證明出來，讓定理、公式真正屬于你自己的定理、公式，最后你才有資格，才能心安理得、光明正大地靈活使用它們.（一）與平面有關的幾個公理和推論：公理1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面公理2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)么這條直線在這個平面內(nèi)簡言之，公理1就是“共線的三點確定一個平面”.公理2用來判斷直線是否在平面內(nèi).由公理和公理2，再結(jié)合兩點確定一條直線”，可以推出下列三個常用的推論：推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點么它們有且只有一條過該點的公共直線.（二）與平行有關的公理與定理：1．直線與直線平行公理4平行與同一個條直線的兩條直線平行簡言之，空間中直線平行具有傳遞性由平行四邊形的判定定理以及全等三角形的判定定理再由全等三角形的性質(zhì)可以證明下面這個定理：定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行那么這兩個角相等或互補2.直線與平面平行利用推論3和公理4，直線與平面平行的定義，可證明線與平平行的判定定理：

定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.主要利用直線與平面平行的定義，即沒有公共點，可以證直線與面平行的性質(zhì)理定理一條直線與一個平面平行果過該直線的平面與此平面相交么該直線與交線平行.簡言之線面平行的判定定理：“若線線平行則線面平行”線面平行的性質(zhì)定理：“若線面平行，則線線平行”.3.平面與平面平行可由推論2，平面與平面相交的定義，以及反證法，可證明面與面平行的判定理定理如果平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行那么這兩個平面平行依然主要利用有無公共點，可以證明平面與平面平行的質(zhì)定理：定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.簡言之面面平行的判定定理：“若線面平行則面面平行”面面平行的性質(zhì)定理：“若面面平行，則線線平行”.（三）與垂直有關的定義與定理：1．直線與直線垂直如果兩條異面直線所成的角是直角那么我們就說這兩條異面直線互相垂直除了異面垂直，當然還有初中就已經(jīng)學習過的相交垂.因此兩條直線垂直，它們有可能是相交的，也可能是異面的.2.直線與平面垂直定義如果一條直線與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么該直線與此平面互相垂直.

過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.無法驗證一條直線與一個平面內(nèi)的所有直線都垂直因此根據(jù)定義判斷直線與平面垂直的方法行不通.利用推論2，可證明直線與平面垂的判定定理：定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.利用反證法，以及過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條”，可以證明直線與面垂直的性定理定理垂直于同一個平面的兩條直線平行.簡言之，線面垂直的判定定理：“若線線直，則線面垂直”；線面垂直的性質(zhì)定理：“若線面垂直，則線線平行”.3.平面與平面垂直定義一般地兩個平面相交如果它們所成的二面角是直二面角就說這兩個平面互相垂直.由上述兩個平面互相垂直的定義，可證明面與平垂直的定定理：定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直主要由線面垂直的判定定理，可以證明面與平垂直的質(zhì)定定理兩個平面垂直如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.簡言之，面面垂直的判定定理：“若線面直，則面面垂直”；面面垂直的性質(zhì)定理：“若面面垂直，則線面垂