彈性力學(xué)的變分原理

第十一章彈性力學(xué)的變分原理一.內(nèi)容介紹由于偏微分方程邊值問(wèn)題的求解在數(shù)學(xué)上的困難，因此對(duì)于彈性力學(xué)問(wèn)變分原理就是一種最有成效的近似解法，就其本質(zhì)而言，是把彈性力學(xué)似解法的基礎(chǔ)，而且也是數(shù)值計(jì)算方法，例如有限元方法等的理論基礎(chǔ)。本章將系統(tǒng)地介紹最小勢(shì)能原理和最小余能原理，并且應(yīng)用變分原理求解彈性力學(xué)問(wèn)題。最后，將介紹有限元方法的基本概念。本章內(nèi)容要求學(xué)習(xí)變分法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，如果你沒(méi)有學(xué)過(guò)上述課程，請(qǐng)學(xué)習(xí)附錄3或者查閱參考資料。二.重點(diǎn)幾何可能的位移和靜力可能的應(yīng)力；彈性體的虛功原理；最小勢(shì)能原理及其應(yīng)用；最小余能原理及其應(yīng)用；有限元原理的基本概念。知識(shí)點(diǎn)靜力可能的應(yīng)力彈性體的功能關(guān)系功的互等定理彈性體的總勢(shì)能虛應(yīng)力應(yīng)變余能函數(shù)應(yīng)力變分方程有限元原理與變分原理有限元原理的基本概念有限元整體分析幾何可能的位移虛位移虛功原理最小勢(shì)能原理瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz）法伽遼金(Гапёркин）最小余能原理平面問(wèn)題最小余能近似解基于最小勢(shì)能原理的近似計(jì)算方法基于最小余能原理的近似計(jì)算方法有限元單元分析附錄3 變分原理泛函是指某一個(gè)量，它的值依賴(lài)于其它一個(gè)或者幾個(gè)函數(shù)。因此泛函也稱(chēng)為函數(shù)的函數(shù)。變分法的基本問(wèn)題是求解泛函的極值。對(duì)于彈性力學(xué)問(wèn)題，根據(jù)能量關(guān)系可以使偏微分方程的邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為者應(yīng)變分量是坐標(biāo)的函數(shù)。因此，應(yīng)變能就是泛函。在數(shù)學(xué)分析中，討論函數(shù)和函數(shù)的極值。變分法討論泛函的極值，是極值問(wèn)題的推廣。下面簡(jiǎn)單介紹復(fù)變函數(shù)的定義和基本性質(zhì)。如果需要深入探討復(fù)變函數(shù)問(wèn)題，請(qǐng)查閱參考資料。參考資料§1泛函和泛函的極值§2泛函極值的必要條件-歐拉方程§3自然邊界條件§4泛函變分的基本運(yùn)算法則§11.1彈性變形體的功能原理學(xué)習(xí)思路:首先建立靜力可能的應(yīng)力 和幾何可能的位移 概念；靜力可能的應(yīng)力 和幾何可能的位移 可以是同一彈性體中的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，二者彼此獨(dú)立而且無(wú)任何關(guān)系。建立彈性體的功能關(guān)系。功能關(guān)系可以描述為：對(duì)于彈性體，外力在任可能的位移對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量上所做的功。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：靜力可能的應(yīng)力；幾何可能的位移；彈性體的功能關(guān)系；真實(shí)應(yīng)力和位移分量表達(dá)的功能關(guān)系。SSSu給定，稱(chēng)為S。如圖所示。顯然S=S+Su假設(shè)有一組應(yīng)力分量 在彈性體內(nèi)部滿(mǎn)足平衡微分方程ij在面力已知的邊界S，滿(mǎn)足面力邊界條件這一組應(yīng)力分量稱(chēng)為靜力可能的應(yīng)力必然是靜力可能的應(yīng)力。為了區(qū)別于真實(shí)的應(yīng)力分量，我們用 表示靜力可能的應(yīng)力分量。ui

和與其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量

，它們?cè)趶椥泽w內(nèi)部滿(mǎn)足幾何方ij程在位移已知的邊界Su上，滿(mǎn)足位移邊界條件這一組位移稱(chēng)為幾何可能的位移。幾何可能的位移未必是真實(shí)的位移，因?yàn)檎鎸?shí)的位移還必須在彈性體內(nèi)部滿(mǎn)足位移表示的平衡微分方程；在面力已知的邊界S上，必須滿(mǎn)足以位移表示的面力邊界條件。但是，真實(shí)的位移必然是幾何可能的。為了區(qū)別于真實(shí)的位移，用 表示幾何可能的位移幾何可能的位移產(chǎn)生的應(yīng)變分量記作 。FbiFsi分別表示物體單位體積的體力和單位面積的面力（Su反力。則不難證明，有以下恒等式證明：由于 和 滿(mǎn)足幾何方程，而且應(yīng)力 是對(duì)稱(chēng)的，所以將上式代入等式的右邊，并且利用高斯積分公式，可得由于 滿(mǎn)足面力邊界條件，上式的第一個(gè)積分為由于 滿(mǎn)足平衡微分方程，所以第二個(gè)積分為為恒等式。公式 揭示了彈性體的功能關(guān)系。的功。這里需要強(qiáng)調(diào)指出的是：對(duì)于功能關(guān)系的證明，沒(méi)有涉及材料的性質(zhì)，條件。其次，功能關(guān)系中，靜力可能的應(yīng)力 、幾何可能的位移 以及其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量 ，可以是同一彈性體中的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，二者彼此獨(dú)立而且無(wú)任何關(guān)系。假如靜力可能的應(yīng)力

和幾何可能的應(yīng)變分量

滿(mǎn)足材料本構(gòu)方程時(shí)，則對(duì)應(yīng)的靜力可能的應(yīng)力

和幾何可能的位移

以及其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量均成為真實(shí)的應(yīng)力，位移和應(yīng)變分量。對(duì)于真實(shí)的應(yīng)力，位移和應(yīng)變分量，功能關(guān)系為加到最后的數(shù)值的，因此應(yīng)變能關(guān)系式中有1/2加載限制。功能關(guān)系是彈性力學(xué)中的一個(gè)普遍的能量關(guān)系，這一原理將用于推導(dǎo)其它的彈性力學(xué)變分原理。§11.2變形體的虛功原理學(xué)習(xí)思路:本節(jié)討論的重點(diǎn)是彈性體的虛功原理。首先定義虛位移概念，通過(guò)將幾何可能的位移定義為真實(shí)位移與虛位移產(chǎn)生的虛應(yīng)變，記作。根據(jù)彈性體的功能關(guān)系，可以得到虛功方程表達(dá)式W=U。這就是虛功原理。虛功原理等價(jià)于平衡微分方程和面力邊界條件，它滿(mǎn)足了靜力平衡的要求。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：虛位移與虛應(yīng)變；虛功原理；虛功原理的意義。為虛功。設(shè)幾何可能的位移為ui

為真實(shí)位移，ui

稱(chēng)為虛位移。虛位移是位移邊界條件所容許的位移的微小改變量。由于幾何可能的位移在邊界Su

上，應(yīng)該滿(mǎn)足位移邊界條件，因此,邊界S，有u

u=0i將幾何可能位移公式代入幾何方程顯然，上式右邊的第一項(xiàng)是真實(shí)應(yīng)變，而第二項(xiàng)是虛位移所產(chǎn)生的虛應(yīng)ij

。因此，上式可以寫(xiě)作幾何可能的位移對(duì)應(yīng)的應(yīng)變可以用真實(shí)應(yīng)變與虛位移所產(chǎn)生的虛應(yīng)變之和表如果用虛位移表達(dá)的幾何可能位移 、和真實(shí)應(yīng)力作為靜力可能應(yīng)力代入功能關(guān)系表達(dá)式 ，注意到真實(shí)應(yīng)u力和位移是滿(mǎn)足功能關(guān)系的，因此可以得到用虛位移ui

和虛應(yīng)變ij

表達(dá)的虛功方程Su

上，虛位移是恒等于S上完成。就力學(xué)意義而言，虛功原理表達(dá)式的等號(hào)的左邊為外力在虛位移中所做W能，稱(chēng)為虛應(yīng)變能U。即W=U根據(jù)上述分析，可以得出結(jié)論：如果彈性體是處于靜力平衡狀態(tài)的，對(duì)于滿(mǎn)足變形連續(xù)條件的虛位移及其虛應(yīng)變而言，外力在虛位移上所做的虛功，等于真實(shí)應(yīng)力分量在對(duì)應(yīng)的虛應(yīng)變上所做的虛功，即虛應(yīng)變能。這就是虛功原理。對(duì)于虛功方程寫(xiě)作

，其右邊的積分可以上式在推導(dǎo)中應(yīng)用了在位移邊界Su

上＝0的邊界條件。現(xiàn)在將上式uiu回代到虛功方程，整理可得因?yàn)樘撐灰苪i是任意的，因此上式的成立，要求在彈性體內(nèi)在位移已知邊界Su上,有顯然，虛功原理等價(jià)于平衡微分方程和面力邊界條件，它滿(mǎn)足了靜力平§11.3功的互等定理學(xué)習(xí)思路:本節(jié)討論功的互等定理。定理的證明比較簡(jiǎn)單，將功能方程應(yīng)用于同一能原理的另一種應(yīng)用形式。外力在第一種狀態(tài)對(duì)應(yīng)的位移上所做的功。題。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：功的互等定理；功的互等定理的應(yīng)用。如果將功能方程種不同的受力和變形狀態(tài)，則可以得到功的互等定理。

應(yīng)用于同一彈性體的兩假設(shè)第一種狀態(tài)的體力為

，在面力邊界S上的面力為 ，在位S的位移為

，彈性體內(nèi)部的應(yīng)力，應(yīng)變和位移分別為u；第二種狀態(tài)的體力，面力，應(yīng)力，應(yīng)變和位移分別為 ， ,。由于兩種狀態(tài)的應(yīng)力和應(yīng)變分量都是真實(shí)解，所以它們當(dāng)然也就是靜力可能的和幾何可能的?，F(xiàn)在把第一種狀態(tài)的應(yīng)力作為靜力可能的應(yīng)力，而把第二種狀態(tài)的位移方程，有同理，把第二種狀態(tài)的應(yīng)力取為靜力可能的應(yīng)力，而把第一種