2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第4節(jié)相關(guān)性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例課時分層訓(xùn)練文北師大版

PAGEPAGE1課時分層訓(xùn)練(五十一)相關(guān)性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例A組根底達標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：①y與x負相關(guān)且y＝2.347x－6.423；②y與x負相關(guān)且y＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關(guān)且y＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號是()A．①② B．②③C．③④ D．①④D[由正負相關(guān)性的定義知①④一定不正確．]2．兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)系數(shù)r如下，其中擬合效果最好的模型是()A．模型1的相關(guān)系數(shù)r為0.98B．模型2的相關(guān)系數(shù)r為0.80C．模型3的相關(guān)系數(shù)r為0.50D．模型4的相關(guān)系數(shù)r為0.25A[相關(guān)系數(shù)r越大，擬合效果越好，因此模型1擬合效果最好．]3．第31屆夏季奧林匹克運動會，中國獲26金，18銀，26銅共70枚獎牌居獎牌榜第二，并打破3次世界記錄．由此許多人認為中國進入了世界體育強國之列，也有許多人持反對意見．有網(wǎng)友為此進行了調(diào)查，在參加調(diào)查的2548名男性公民中有1560名持反對意見，2452名女性公民中有1200人持反對意見，在運用這些數(shù)據(jù)說明中國的獎牌數(shù)是否與中國進入體育強國有無關(guān)系時，用什么方法最有說服力()【導(dǎo)學(xué)號：66482441】A．平均數(shù)與方差 B．回歸直線方程C．獨立性檢驗 D．概率C[由于參加討論的公民按性別被分成了兩組，而且每一組又被分成了兩種情況：認為有關(guān)與無關(guān)，故該資料取自完全隨機統(tǒng)計，符合2×2列聯(lián)表的要求．故用獨立性檢驗最有說服力．]4．(2022·福建高考)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A．11.4萬元 B．11.8萬元C．12.0萬元 D．12.2萬元B[由題意知，eq\x\to(x)＝eq\f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8，∴a＝8－0.76×10＝0.4，∴當(dāng)x＝15時，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬元)．]5．通過隨機詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，算得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(χ2≥x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)〞B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)〞C．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)〞D．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)〞C[根據(jù)獨立性檢驗的定義，由χ2≈7.8＞6.635，可知我們在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，即有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)〞．]二、填空題6．(2022·西安質(zhì)檢)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程y＝0.67x＋54.9.零件數(shù)x(個)1020304050加工時間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________.【導(dǎo)學(xué)號：66482442】68[由eq\x\to(x)＝30，得eq\x\to(y)＝0.67×30＋54.9＝75.設(shè)表中的“模糊數(shù)字〞為a，那么62＋a＋75＋81＋89＝75×5，即a＝68.]7．為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科總計男131023女72027總計203050P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844.那么認為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性為________．5%[∵χ2≈4.844，根據(jù)假設(shè)檢驗的根本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系〞成立，并且這種判斷出錯的可能性約為5%.]8．(2022·長沙雅禮中學(xué)質(zhì)檢)某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程y＝bx＋a中的b＝－2，預(yù)測當(dāng)氣溫為－4℃時，用電量為________度．68[根據(jù)題意知eq\x\to(x)＝eq\f(18＋13＋10＋－1,4)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(24＋34＋38＋64,4)＝40，因為回歸直線過樣本點的中心，所以a＝40－(－2)×10＝60，所以當(dāng)x＝－4時，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用電量為68度．]三、解答題9．(2022·石家莊質(zhì)檢)微信是現(xiàn)代生活進行信息交流的重要工具，據(jù)統(tǒng)計，某公司200名員工中90%的人使用微信，其中每天使用微信時間在一小時以內(nèi)的有60人，其余的員工每天使用微信的時間在一小時以上，假設(shè)將員工分成青年(年齡小于40歲)和中年(年齡不小于40歲)兩個階段，那么使用微信的人中75%是青年人．假設(shè)規(guī)定：每天使用微信時間在一小時以上為經(jīng)常使用微信，那么經(jīng)常使用微信的員工中eq\f(2,3)是青年人．(1)假設(shè)要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系，列出2×2列聯(lián)表：青年人中年人總計經(jīng)常使用微信不經(jīng)常使用微信總計(2)由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)判斷，是否有99.9%的把握認為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)〞？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(χ2≥x0)0.0100.001x06.63510.828[解](1)由可得，該公司員工中使用微信的有200×90%＝180(人)，經(jīng)常使用微信的有180－60＝120(人)，其中青年人有120×eq\f(2,3)＝80(人)，使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)，所以2×2列聯(lián)表：青年人中年人總計經(jīng)常使用微信8040120不經(jīng)常使用微信55560總計135451805分(2)將列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式可得：χ2＝eq\f(180×80×5－55×402,120×60×135×45)≈13.333，由于13.333＞10.828，所以有99.9%的把握認為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)〞.12分10．為了研究某種細菌在特定環(huán)境下隨時間變化的繁殖情況，得如下試驗數(shù)據(jù)：天數(shù)t(天)34567繁殖個數(shù)y(千個)2.5344.56(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，預(yù)測t＝8時的細菌繁殖個數(shù)．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：b＝eq\f(\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t).[解](1)由表中數(shù)據(jù)計算得，eq\x\to(t)＝5，eq\x\to(y)＝4，eq\o(∑,\s\up12(n))eq\o(,\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝8.5，eq\o(∑,\s\up12(n))eq\o(,\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))2＝10，2分b＝eq\f(\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2)＝0.85，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t)＝4－0.85×5＝－0.25.所以回歸方程為y＝0.85t－0.25.5分(2)將t＝8代入(1)的回歸方程中得y＝0.85×8－0.25＝6.55.10分故預(yù)測t＝8時，細菌繁殖個數(shù)為6.55千個.12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回歸方程為y＝bx＋a，那么()A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＜0，b＜0B[作出散點圖如下：觀察圖像可知，回歸直線y＝bx＋a的斜率b＜0，當(dāng)x＝0時，y＝a＞0.故a＞0，b＜0.]2．(2022·贛中南五校聯(lián)考)心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間想象能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從所在學(xué)校中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30女20)，給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進行解答．選題情況如下表：(單位：人)幾何題代數(shù)題總計男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計302050根據(jù)上述數(shù)據(jù)，推斷視覺和空間想象能力與性別有關(guān)系，那么這種推斷犯錯誤的概率不超過________．附表：P(χ2≥x)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.025[由列聯(lián)表計算χ2的值χ2＝eq\f(50×22×12－8×82,30×20×20×30)≈5.556＞5.024，∴推斷犯錯誤的概率不超過0.025.]3．(2022·全國卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．圖9-4-5(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果答復(fù)以下問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為β＝eq\f(\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ui－\x\to(u)2)，α＝eq\x\to(v)－βeq\x\to(u).[解](1)由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型.4分(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程．由于d＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，c＝eq\x\to(y)－deq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y＝100.6＋68w，因此y關(guān)于