高中數(shù)學第1章三角函數(shù)121任意角的三角函數(shù)第1課時任意角的三角函數(shù)的定義數(shù)學教案

第1課時隨意角的三角函數(shù)的定義學習目標1.借助單位圓理解隨意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．(要點、難點)

核心修養(yǎng)1.借助單位圓給出隨意角三角函數(shù)的定義，培育了學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模掌握隨意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的核心修養(yǎng).在各象限的符號．(易錯點)3.掌握公式——并會應用．

2.經(jīng)過利用三角函數(shù)定義及符號特色求值，提高了學生直觀想象和數(shù)學運算的核心修養(yǎng)

.1．隨意角的三角函數(shù)的定義如圖，設

α是一個隨意角，它的終邊與單位圓交于點

P(x，y)前提正弦y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)余弦x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x定義ytanα，即tany正切x叫做α的正切，記作α＝x三角正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標或函數(shù)坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域三角函數(shù)定義域sinαRcosαRtanαx∈Rx≠kπ＋π，k∈Z2正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號圖示：口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4．引誘公式一思慮：終邊同樣的角的同名三角函數(shù)值必定相等嗎？提示：必定相等．1．若角α的終邊經(jīng)過點P(2，3)，則有( )A．sinα213B．cosα13＝13＝2C．sin313D．tan2α＝13α＝3C[這里x＝2，＝3，則r＝22＋32＝13，y∴sinα＝3132133，cosα＝，tanα＝，應選C.]131322．已知sinα＞0，cosα＜0，則角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角B[由正弦、余弦函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號知，角α是第二象限角．]3．sin253π＝．325ππ32[sin3π＝sin8π＋3＝sin3＝2.]4．角α終邊與單位圓訂交于點M3，1．，則cosα＋sinα的值為223＋1[cosα＝x＝3122，sinα＝y(tǒng)＝，2故cosα＋sinα＝3＋12.]三角函數(shù)的定義及應用[研究問題]1．一般地，設角α終邊上隨意一點的坐標為(x，y)，它與原點的距離為r，則sinα，cosα，tanα為什么值？yxy提示：sinα＝r，cosα＝r，tanα＝x.2．sinα，cosα，tanα的值能否隨P點在終邊上的地點的改變而改變？提示：sinα，cosα，tanα的值只與α的終邊地點相關，不隨P點在終邊上的位置的改變而改變．10【例1】(1)已知角θ的終邊上有一點P(x，3)(x＞0)，且cosθ＝10x，求sinθ，tanθ的值為；已知角α的終邊落在直線3x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．思路點撥：(1)依照余弦函數(shù)定義列方程求x→依照正弦、正切函數(shù)定義求sinθ和tanθ的值(2)判斷角α的終邊地點→分類議論求sinα，cosα，tanα1010，3[由三角函數(shù)定義知，xx10x.cosθ＝＝2＝10rx＋9∵x＞0，∴x＝1，∴r＝10.∴sinθ＝310，tanθ＝y(tǒng)＝3.]10x(2)[解]直線3x＋y＝0，即y＝－3x，經(jīng)過第二、四象限，在第二象限取直線上的點(－1，3)，則r＝2＋（2α＝31α（－1）3）＝2，因此sin，cosα＝－，tan22＝－3；在第四象限取直線上的點(1，－3)，則r＝12＋（－3）2＝2，因此sinα＝－3，cosα＝1，tanα＝－3.221．將本例(1)中條件“x＞0”改為“x＜0”，結果如何？[解]x10x得x＝－1.∵x＜0，由＝10x2＋910sinθ＝，tanθ＝－3.102．將本例(1)中條件“x＞0”改為“x≠0”，結果又如何？[解]

由于

r＝

x2＋9，cos

xθ＝r，x因此x＝，10x2＋9又x≠0，因此x＝±1，因此r＝10.310當x＝1時，sinθ＝10，tanθ＝3，10當x＝－1時，sinθ＝10，tanθ＝－3.3．將本例(1)中“(，3)”改為“(，3x)”，且把“cosθ＝10x”去掉，結果又PxPx10如何？[解]∵x≠0，∴r＝x2＋（3x）2＝10|x|.當x＞0時，P在第一象限，θ為第一象限角，這時r＝10x，31010則sinθ＝10，cosθ＝10，tanθ＝3.當x＜0時，P在第三象限，θ為第三象限角，這時r＝－10x.則sin310θ＝－10，tanθ＝3.θ＝－10，cos104．將本例(2)的條件“3x＋＝0”改為“y＝2”其余條件不變，結果又如何？yx[解]當角的終邊在第一象限時，在角的終邊上取點P(1，2)，由r＝|OP|＝12＋22＝5，得sin225152α＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝2.55551當角的終邊在第三象限時，在角的終邊上取點Q(－1，－2)，由r＝||＝（－1）2＋（－2）2＝5，OQ－225－15得：sinα＝5＝－5，cosα＝5＝－5，2tanα＝＝2.－1由角α終邊上隨意一點的坐標求其三角函數(shù)值的步驟：已知角α的終邊在直線上時，常用的解題方法有以下兩種：①先利用直線與單位圓訂交，求出交點坐標，而后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應三角函數(shù)值．P(x，y)，P到原點的距離為r(r>0)．則siny②在α的終邊上任選一點α＝r，cosαxαα＝r.已知的終邊求的三角函數(shù)時，用這幾個公式更方便．(2)當角α的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，必定注意對字母正、負的鑒別，若正、負不決，則需分類議論．三角函數(shù)值符號的運用【例2】(1)已知點P(tanα，cosα)在第四象限，則角α終邊在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判斷以下各式的符號：①sin145°cos(－210°)；②sin3·cos4·tan5.思路點撥：(1)先判斷tanα，cosα的符號，再判斷角α終邊在第幾象限．先判斷已知角分別是第幾象限角，再確立各三角函數(shù)值的符號，最后判斷乘積的符號．tanα>0，(1)C[由于點P在第四象限，因此有由此可判斷角α終邊在第三象限．]cosα<0，[解]①∵145°是第二象限角．∴sin145°＞0.∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，cos(－210°)＜0，sin145°cos(－210°)＜0.π3π3π②∵2＜3＜π，π＜4＜2，2＜5＜2π，sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，sin3·cos4·tan5＞0.判斷三角函數(shù)值在各象限符號的攻略：基礎：正確確立三角函數(shù)值中各角所在象限；要點：正確記憶三角函數(shù)在各象限的符號；注意：用弧度制給出的角經(jīng)常不寫單位，不要誤以為角度致使象限判斷錯誤．提示：注意巧用口訣記憶三角函數(shù)值在各象限符號．1．已知角α的終邊過點(3a－9，a＋2)且cosα≤0，sinα＞0，則實數(shù)a的取值范圍是．[－2，3][由于cosα≤0，sinα＞0，因此角α的終邊在第二象限或y軸非負半軸上，由于α終邊過(3a－9，a＋2)，3a－9≤0，因此因此－2＜a≤3.]a＋2＞0，ααα2．設角α是第三象限角，且sin2＝－sin2，則角2是第象限角．四[角α是第三象限角，則角α2是第二、四象限角，ααα∵sin2＝－sin2，∴角2是第四象限角．]引誘公式一的應用【例3】求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；7π23π15π13π(2)sin3cos－6＋tan－4cos3.[解](1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°30°)tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋33＝.22ππππ(2)原式＝sin2π＋3cos－4π＋6＋tan－4π＋4·cos4π＋3ππππ3315＝sincos＋tancos＝×＋1×＝.36432224利用引誘公式一進行化簡求值的步驟(1)定形：將已知的隨意角寫成2kπ＋α的形式，此中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)轉變：依據(jù)引誘公式，轉變?yōu)榍蠼铅恋哪硞€三角函數(shù)值．求值：若角為特別角，可直接求出該角的三角函數(shù)值．3．化簡以下各式：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sin11π＋cos12π·tan4π.－65[解](1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°a2＋b2－2ab＝(a－b)2.1112(2)sin－6π＋cos5π·tan4ππ12π1sin－2π＋6＋cos5π·tan0＝sin6＋0＝2.1．經(jīng)過三角函數(shù)的定義的學習，為此后學習全部三角函數(shù)知識打下了基礎，要充分理解其內(nèi)涵，掌握住三角函數(shù)值只與角的終邊所在地點相關，與所選用的點在終邊上的地點無關這一要點點．2．三角函數(shù)的定義域是學習三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的基礎，經(jīng)過對角的會合與函數(shù)值之間的對應關系，加深對三角函數(shù)定義的理解．3．三角函數(shù)值在各象限的符號取決于終邊所在的地點，詳細說取決于x，y的符號，記憶時聯(lián)合三角函數(shù)定義式，也可用口訣只記正的：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．1．有以下說法：①終邊同樣的角的同名三角函數(shù)的值相等；②sinα是“sin”與“α”的乘積；③若sinα＞0，則α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且(，)是其終邊上一點，則cosα＝－x.Pxyx2＋y2此中正確的個數(shù)是( )A．0B．1C．2D．3πB[①正確；②錯誤；sinα是整體；③錯誤，如sin2＝1＞0；④錯誤，cosα＝xx2＋y2，故B選項正確．]2．若sinθ·cosθ＞0，則θ在( )A．第一或第四象限B．第一或第三象限C．第一或第二象限D．第二或第四象限B[由于sinθ·cosθ＞0，因此sinθ＜0，cosθ＜0或sinθ＞0，cosθ＞0，因此θ在第三象限或第一象限．]3．在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊對于x軸對稱，α1β若sin＝5，則sin＝．1[