（全國用）2023版高考物理大一輪復習第五章機械能第2講機械能守恒定律

PAGE第2講機械能守恒定律一、機械能1．重力做功與重力勢能(1)重力做功的特點重力做功與路徑無關，只與初、末位置的高度差有關．(2)重力做功與重力勢能變化的關系①定性關系：重力對物體做正功，重力勢能就減少；重力對物體做負功，重力勢能就增加．②定量關系：物體從位置A到位置B時，重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少量，即WG＝－ΔEp.③重力勢能的變化量是絕對的，與參考面的選取無關．2．彈性勢能(1)定義發(fā)生彈性形變的物體的各局部之間，由于有彈力的相互作用而具有的勢能．(2)彈力做功與彈性勢能變化的關系①彈力做功與彈性勢能變化的關系類似于重力做功與重力勢能變化的關系．②對于彈性勢能，一般物體的彈性形變量越大，彈性勢能越大．[深度思考]同一根彈簧伸長量和壓縮量相同時，彈簧的彈性勢能相同嗎？答案相同．二、機械能守恒定律1．內容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內，動能與勢能可以互相轉化，而總的機械能保持不變．2．表達式：mgh1＋eq\f(1,2)mv12＝mgh2＋eq\f(1,2)mv22.3．機械能守恒的條件(1)系統(tǒng)只受重力或彈簧彈力的作用，不受其他外力．(2)系統(tǒng)除受重力或彈簧彈力作用外，還受其他內力和外力，但這些力對系統(tǒng)不做功．(3)系統(tǒng)內除重力或彈簧彈力做功外，還有其他內力和外力做功，但這些力做功的代數(shù)和為零．(4)系統(tǒng)跟外界沒有發(fā)生機械能的傳遞，系統(tǒng)內外也沒有機械能與其他形式的能發(fā)生轉化．[深度思考]處理連接體的機械能守恒問題時，一般應用哪個公式較方便？答案ΔEp＝－ΔEk.1．(粵教版必修2P82第2題)(多項選擇)忽略空氣阻力，以下物體運動過程中滿足機械能守恒的是()A．電梯勻速下降B．物體自由下落C．物體由光滑斜面頂端滑到斜面底端D．物體沿著斜面勻速下滑E．鉛球運發(fā)動拋出的鉛球從拋出到落地前答案BCE2.(人教版必修2P78第3題改編)(多項選擇)如圖1所示，在地面上以速度v0拋出質量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上．假設以地面為零勢能面，而且不計空氣阻力，那么以下說法中正確的選項是()圖1A．重力對物體做的功為mghB．物體在海平面上的勢能為mghC．物體在海平面上的動能為eq\f(1,2)mv02－mghD．物體在海平面上的機械能為eq\f(1,2)mv02答案AD3．(多項選擇)如圖2所示，以下關于機械能是否守恒的判斷正確的選項是()圖2A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，物體A機械能守恒B．乙圖中，物體A固定，物體B沿斜面勻速下滑，物體B的機械能守恒C．丙圖中，不計任何阻力和定滑輪質量時，A加速下落，B加速上升過程中，A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒D．丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運動時，小球的機械能守恒答案CD4．(人教版必修2P80第2題改編)如圖3所示是某公園設計的一種驚險刺激的娛樂設施．管道除D點右側水平局部粗糙外，其余局部均光滑．假設挑戰(zhàn)者自斜管上足夠高的位置滑下，將無能量損失的連續(xù)滑入第一個、第二個圓管軌道A、B內部(圓管A比圓管B高)．某次一挑戰(zhàn)者自斜管上某處滑下，經(jīng)過第一個圓管軌道A內部最高位置時，對管壁恰好無壓力．那么這名挑戰(zhàn)者()圖3A．經(jīng)過管道A最高點時的機械能大于經(jīng)過管道B最低點時的機械能B．經(jīng)過管道A最低點時的動能大于經(jīng)過管道B最低點時的動能C．經(jīng)過管道B最高點時對管外側壁有壓力D．不能經(jīng)過管道B的最高點答案C命題點一機械能守恒的判斷1．做功判斷法：假設物體系統(tǒng)內只有重力和彈簧彈力做功，其他力均不做功或其他力做功的代數(shù)和為零，那么系統(tǒng)的機械能守恒．2．能量轉化判斷法：假設只有系統(tǒng)內物體間動能和重力勢能及彈性勢能的相互轉化，系統(tǒng)跟外界沒有發(fā)生機械能的傳遞，機械能也沒有轉變成其他形式的能(如沒有內能增加)，那么系統(tǒng)的機械能守恒．3．利用機械能的定義判斷：假設物體在水平面上勻速運動，那么其動能、勢能均不變，機械能守恒．假設一個物體沿斜面勻速下滑，那么其動能不變，重力勢能減少，機械能減少．例1(多項選擇)如圖4，輕彈簧豎立在地面上，正上方有一鋼球，從A處自由下落，落到B處時開始與彈簧接觸，此時向下壓縮彈簧．小球運動到C處時，彈簧對小球的彈力與小球的重力平衡．小球運動到D處時，到達最低點．不計空氣阻力，以下描述正確的有()圖4A．小球由A向B運動的過程中，處于完全失重狀態(tài)，小球的機械能減少B．小球由B向C運動的過程中，處于失重狀態(tài)，小球的機械能減少C．小球由B向C運動的過程中，處于超重狀態(tài)，小球的動能增加D．小球由C向D運動的過程中，處于超重狀態(tài)，小球的機械能減少關鍵位置C、D處受力特點．答案BD解析小球由A向B運動的過程中，做自由落體運動，加速度等于豎直向下的重力加速度g，處于完全失重狀態(tài)，此過程中只有重力做功，小球的機械能守恒，A錯誤；小球由B向C運動的過程中，重力大于彈簧的彈力，加速度向下，小球處于失重狀態(tài)，小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，彈簧的彈性勢能增加，小球的重力勢能減少，由于小球向下加速運動，小球的動能還是增大的，B正確，C錯誤；小球由C向D運動的過程中，彈簧的彈力大于小球的重力，加速度方向向上，處于超重狀態(tài)，彈簧繼續(xù)被壓縮，彈性勢能繼續(xù)增大，小球的機械能繼續(xù)減小，D正確．故答案為B、D.1．以下關于機械能守恒的說法中正確的選項是()A．做勻速運動的物體，其機械能一定守恒B．物體只受重力，機械能才守恒C．做勻速圓周運動的物體，其機械能一定守恒D．除重力做功外，其他力不做功，物體的機械能一定守恒答案D解析勻速運動所受合外力為零，但除重力外可能有其他力做功，如物體在阻力作用下勻速向下運動，其機械能減少，A錯．物體除受重力或彈力也可受其他力，只要其他力不做功或做功的代數(shù)和為零，機械能也守恒，B錯．勻速圓周運動物體的動能不變，但勢能可能變化，故C錯．由機械能守恒條件知，選項D正確．2.如圖5所示，固定的傾斜光滑桿上套有一個質量為m的圓環(huán)，圓環(huán)與一橡皮繩相連，橡皮繩的另一端固定在地面上的A點，橡皮繩豎直時處于原長h.讓圓環(huán)沿桿滑下，滑到桿的底端時速度為零．那么在圓環(huán)下滑過程中()圖5A．圓環(huán)機械能守恒B．橡皮繩的彈性勢能一直增大C．橡皮繩的彈性勢能增加了mghD．橡皮繩再次到達原長時圓環(huán)動能最大答案C解析圓環(huán)沿桿滑下，滑到桿的底端的過程中有兩個力對圓環(huán)做功，即環(huán)的重力和橡皮繩的拉力，所以圓環(huán)的機械能不守恒，如果把圓環(huán)和橡皮繩組成的系統(tǒng)作為研究對象，那么系統(tǒng)的機械能守恒，故A錯誤；橡皮繩的彈性勢能隨橡皮繩的形變量的變化而變化，由圖知橡皮繩先縮短后伸長，故橡皮繩的彈性勢能先不變再增大，故B錯誤；根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒，圓環(huán)的機械能減少了mgh，那么圓環(huán)的機械能的減少量等于橡皮繩的彈性勢能增大量，為mgh，故C正確；在圓環(huán)下滑過程中，橡皮繩再次到達原長時，該過程中動能一直增大，但不是最大，沿桿方向合力為零的時刻，圓環(huán)的動能最大，故D錯誤．命題點二單個物體的機械能守恒機械能守恒定律的表達式例2(2022·全國Ⅲ卷·24)如圖6，在豎直平面內有由eq\f(1,4)圓弧AB和eq\f(1,2)圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點B平滑連接．AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為eq\f(R,2).一小球在A點正上方與A相距eq\f(R,4)處由靜止開始自由下落，經(jīng)A點沿圓弧軌道運動．圖6(1)求小球在B、A兩點的動能之比；(2)通過計算判斷小球能否沿軌道運動到C點．①光滑固定軌道；②由靜止開始自由下落．答案(1)5∶1(2)能，理由見解析解析(1)設小球的質量為m，小球在A點的動能為EkA，由機械能守恒得EkA＝mg·eq\f(R,4) ①設小球在B點的動能為EkB，同理有EkB＝mg·eq\f(5R,4) ②由①②式得eq\f(EkB,EkA)＝5 ③(2)假設小球能沿軌道運動到C點，小球在C點所受軌道的正壓力FN應滿足FN≥0 ④設小球在C點的速度大小為vC，由牛頓第二定律和向心加速度公式有FN＋mg＝meq\f(v\o\al(2,C),\f(R,2)) ⑤由④⑤式得mg≤meq\f(2v\o\al(2,C),R) ⑥vC≥eq\r(\f(Rg,2)) ⑦全程應用機械能守恒定律得mg·eq\f(R,4)＝eq\f(1,2)mvC′2 ⑧由⑦⑧式可知，vC＝vC′，即小球恰好可以沿軌道運動到C點．機械能守恒定律公式的選用技巧1．在處理單個物體機械能守恒問題時通常應用守恒觀點和轉化觀點，轉化觀點不用選取零勢能面．2．在處理連接體問題時，通常應用轉化觀點和轉移觀點，都不用選取零勢能面．3．(2022·新課標Ⅱ·15)取水平地面為重力勢能零點．一物塊從某一高度水平拋出，在拋出點其動能與重力勢能恰好相等．不計空氣阻力．該物塊落地時的速度方向與水平方向的夾角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3) D.eq\f(5π,12)答案B解析設物塊水平拋出的初速度為v0，高度為h，由題意知eq\f(1,2)mv02＝mgh，即v0＝eq\r(2gh).物塊在豎直方向上的運動是自由落體運動，落地時的豎直分速度vy＝eq\r(2gh)＝vx＝v0，那么該物塊落地時的速度方向與水平方向的夾角θ＝eq\f(π,4)，應選項B正確，選項A、C、D錯誤．4.(2022·安徽·15)如圖7所示，有一內壁光滑的閉合橢圓形管道，置于豎直平面內，MN是通過橢圓中心O點的水平線．一小球從M點出發(fā)，初速率為v0，沿管道MPN運動，到N點的速率為v1，所需時間為t1；假設該小球仍由M點以初速率v0出發(fā)，而沿管道MQN運動，到N點的速率為v2，所需時間為t2，那么()圖7A．v1＝v2，t1>t2 B．v1<v2，t1>t2C．v1＝v2，t1<t2 D．v1<v2，t1<t2答案A解析根據(jù)機械能守恒定律可知v1＝v2，再根據(jù)速率變化特點知，小球由M到P再到N，速率先減小至最小，再增大到原速率．小球由M到Q再到N，速率先增大至最大，再減小到原速率．由兩球運動速率特點以及兩條路徑的路程相等可畫出如下圖圖象，由圖象可知小球沿MQN路徑運動的平均速率大，所以t1>t2，應選項A正確．命題點三用機械能守恒定律解決連接體問題1．首先分析多個物體組成的系統(tǒng)所受的外力是否只有重力或彈力做功，內力是否造成了機械能與其他形式能的轉化，從而判斷系統(tǒng)機械能是否守恒．2．假設系統(tǒng)機械能守恒，那么機械能從一個物體轉移到另一個物體，ΔE1＝－ΔE2，一個物體機械能增加，那么一定有另一個物體機械能減少．例3如圖8所示，左側為一個半徑為R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O點為球心，碗的內外表及碗口光滑．右側是一個固定光滑斜面，斜面足夠長，傾角θ＝30°.一根不可伸長的不計質量的細繩跨在碗口及光滑斜面頂端的光滑定滑輪兩端上，繩的兩端分別系有可視為質點的小球m1和m2，且m1＞m2.開始時m1恰在碗口水平直徑右端A處，m2在斜面上且距離斜面頂端足夠遠，此時連接兩球的細繩與斜面平行且恰好伸直．當m1由靜止釋放運動到圓心O的正下方B點時細繩突然斷開，不計細繩斷開瞬間的能量損失．圖8(1)求小球m2沿斜面上升的最大距離s；(2)假設細繩斷開后小球m1沿碗的內側上升的最大高度為eq\f(R,2)，求eq\f(m1,m2).(結果保存兩位有效數(shù)字)當m1由靜止釋放運動到圓心O的正下方B點時細繩突然斷開．答案(1)eq\f(2\r(2)＋1m1,2m1＋m2)R(2)1.9解析(1)設重力加速度為g，小球m1到達最低點B時，m1、m2速度大小分別為v1、v2如下圖，由運動的合成與分解得v1＝eq\r(2)v2對m1、m2組成的系統(tǒng)由機械能守恒定律得m1gR－m2gh＝eq\f(1,2)m1v12＋eq\f(1,2)m2v22h＝eq\r(2)Rsin30°聯(lián)立以上三式得v1＝eq\r(2\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)，v2＝eq\r(\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)設細繩斷開后m2沿斜面上升的距離為s′，對m2由機械能守恒定律得m2gs′sin30°＝eq\f(1,2)m2v22小球m2沿斜面上升的最大距離s＝eq\r(2)R＋s′聯(lián)立以上兩式并代入v2得s＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)))R＝eq\f(2\r(2)＋1m1,2m1＋m2)R(2)對m1由機械能守恒定律得：eq\f(1,2)m1v12＝m1geq\f(R,2)代入v1得eq\f(m1,m2)＝eq\f(2\r(2)＋1,2)≈1.9.連接體機械能守恒問題的分析技巧1．對連接體，一般用“轉化法〞和“轉移法〞來判斷其機械能是否守恒．2．注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系．3．列機械能守恒方程時，可選用ΔEk＝－ΔEp的形式．5.如圖9，可視為質點的小球A、B用不可伸長的細軟輕線連接，跨過固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質量為B的兩倍．當B位于地面時，A恰與圓柱軸心等高．將A由靜止釋放，B上升的最大高度是()圖9A．2R B.eq\f(5R,3)C.eq\f(4R,3) D.eq\f(2R,3)答案C解析設A球剛落地時兩球速度大小為v，根據(jù)機械能守恒定律2mgR－mgR＝eq\f(1,2)(2m＋m)v2得v2＝eq\f(2,3)gR，B球繼續(xù)上升的高度h＝eq\f(v2,2g)＝eq\f(R,3)，B球上升的最大高度為h＋R＝eq\f(4,3)R.6．(多項選擇)(2022·新課標全國Ⅱ·21)如圖10，滑塊a、b的質量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上．a(chǎn)、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開始運動．不計摩擦，a、b可視為質點，重力加速度大小為g.那么()圖10A．a(chǎn)落地前，輕桿對b一直做正功B．a(chǎn)落地時速度大小為eq\r(2gh)C．a(chǎn)下落過程中，其加速度大小始終不大于gD．a(chǎn)落地前，當a的機械能最小時，b對地面的壓力大小為mg答案BD解析滑塊b的初速度為零，末速度也為零，所以輕桿對b先做正功，后做負功，選項A錯誤；以滑塊a、b及輕桿為研究對象，系統(tǒng)的機械能守恒，當a剛落地時，b的速度為零，那么mgh＝eq\f(1,2)mva2＋0，即va＝eq\r(2gh)，選項B正確；a、b的先后受力分析如圖甲、乙所示．由a的受力情況可知，a下落過程中，其加速度大小先小于g后大于g，選項C錯誤；當a落地前b的加速度為零(即輕桿對b的作用力為零)時，b的機械能最大，a的機械能最小，這時b受重力、支持力，且FNb＝mg，由牛頓第三定律可知，b對地面的壓力大小為mg，選項D正確．命題點四含彈簧類機械能守恒問題1．由于彈簧的形變會具有彈性勢能，系統(tǒng)的總動能將發(fā)生變化，假設系統(tǒng)所受的外力和除彈簧彈力以外的內力不做功，系統(tǒng)機械能守恒．2．在相互作用過程特征方面，彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(或壓縮至最短)時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大．3．如果系統(tǒng)每個物體除彈簧彈力外所受合力為零，當彈簧為自然長度時，系統(tǒng)內彈簧某一端的物體具有最大速度(如繃緊的彈簧由靜止釋放)．例4(2022·全國Ⅱ·25)輕質彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為l.現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖11所示．物塊P與AB間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5.用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后放開，P開始沿軌道運動，重力加速度大小為g.圖11(1)假設P的質量為m，求P到達B點時速度的大小，以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點之間的距離；(2)假設P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質量的取值范圍．①當彈簧壓縮到最短時，彈簧長度為l；②用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度l.答案(1)eq\r(6gl)2eq\r(2)l(2)eq\f(5,3)m≤M<eq\f(5,2)m解析(1)依題意，當彈簧豎直放置，長度被壓縮至l時，質量為5m的物體的動能為零，其重力勢能轉化為彈簧的彈性勢能．由機械能守恒定律知，彈簧長度為l時的彈性勢能為Ep＝5mgl ①設P到達B點時的速度大小為vB，由能量守恒定律得Ep＝eq\f(1,2)mvB2＋μmg(5l－l) ②聯(lián)立①②式，并代入題給數(shù)據(jù)得vB＝eq\r(6gl) ③假設P能沿圓軌道運動到D點，其到達D點時的向心力不能小于重力，即P此時的速度大小v應滿足eq\f(mv2,l)－mg≥0 ④設P滑到D點時的速度為vD，由機械能守恒定律得eq\f(1,2)mvB2＝eq\f(1,2)mvD2＋mg·2l ⑤聯(lián)立③⑤式得vD＝eq\r(2gl) ⑥vD滿足④式要求，故P能運動到D點，并從D點以速度vD水平射出．設P落回到軌道AB所需的時間為t，由運動學公式得2l＝eq\f(1,2)gt2 ⑦P落回到AB上的位置與B點之間的距離為s＝vDt ⑧聯(lián)立⑥⑦⑧式得s＝2eq\r(2)l ⑨(2)設P的質量為M，為使P能滑上圓軌道，它到達B點時的速度不能小于零．由①②式可知5mgl>μMg·4l ⑩要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道的上升高度不能超過半圓軌道的中點C.由機械能守恒定律有eq\f(1,2)MvB′2≤Mgl ?Ep＝eq\f(1,2)MvB′2＋μMg·4l ?聯(lián)立①⑩??式得eq\f(5,3)m≤M<eq\f(5,2)m.7．(多項選擇)(2022·全國Ⅱ·21)如圖12，小球套在光滑的豎直桿上，輕彈簧一端固定于O點，另一端與小球相連．現(xiàn)將小球從M點由靜止釋放，它在下降的過程中經(jīng)過了N點．在M、N兩點處，彈簧對小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<eq\f(π,2).在小球從M點運動到N點的過程中()圖12A．彈力對小球先做正功后做負功B．有兩個時刻小球的加速度等于重力加速度C．彈簧長度最短時，彈力對小球做功的功率為零D．小球到達N點時的動能等于其在M、N兩點的重力勢能差答案BCD解析因M和N兩點處彈簧對小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<eq\f(π,2)，知M處的彈簧處于壓縮狀態(tài)，N處的彈簧處于伸長狀態(tài)，那么彈簧的彈力對小球先做負功后做正功再做負功，選項A錯誤；當彈簧水平時，豎直方向的力只有重力，加速度為g；當彈簧處于原長位置時，小球只受重力，加速度為g，那么有兩個時刻的加速度大小等于g，選項B正確；彈簧長度最短時，即彈簧水平，彈力方向與速度方向垂直，彈力對小球做功的功率為零，選項C正確；由動能定理得，WF＋WG＝ΔEk，因M和N兩點處彈簧對小球的彈力大小相等，彈性勢能相等，那么由彈力做功特點知WF＝0，即WG＝ΔEk，選項D正確．8．(2022·天津理綜·5)如圖13所示，固定的豎直光滑長桿上套有質量為m的小圓環(huán)，圓環(huán)與水平狀態(tài)的輕質彈簧一端連接，彈簧的另一端連接在墻上，且處于原長狀態(tài)．現(xiàn)讓圓環(huán)由靜止開始下滑，彈簧原長為L，圓環(huán)下滑到最大距離時彈簧的長度變?yōu)?L(未超過彈性限度)，那么在圓環(huán)下滑到最大距離的過程中()圖13A．圓環(huán)的機械能守恒B．彈簧彈性勢能變化了eq\r(3)mgLC．圓環(huán)下滑到最大距離時，所受合力為零D．圓環(huán)重力勢能與彈簧彈性勢能之和保持不變答案B解析圓環(huán)在下落過程中彈簧的彈性勢能增加，由能量守恒定律可知圓環(huán)的機械能減少，而圓環(huán)與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，故A、D錯誤；圓環(huán)下滑到最大距離時速度為零，但是加速度不為零，即合外力不為零，故C錯誤；圓環(huán)重力勢能減少了eq\r(3)mgL，由能量守恒定律知彈簧彈性勢能增加了eq\r(3)mgL，故B正確．9．如圖14所示，半徑為R的光滑半圓形軌道CDE在豎直平面內與光滑水平軌道AC相切于C點，水平軌道AC上有一輕質彈簧，彈簧左端連接在固定的擋板上，彈簧自由端B與軌道最低點C的距離為4R，現(xiàn)用一個小球壓縮彈簧(不拴接)，當彈簧的壓縮量為l時，釋放小球，小球在運動過程中恰好通過半圓形軌道的最高點E；之后再次從B點用該小球壓縮彈簧，釋放后小球經(jīng)過BCDE軌道拋出后恰好落在B點，彈簧壓縮時彈性勢能與壓縮量的二次方成正比，彈簧始終處在彈性限度內，求第二次壓縮時彈簧的壓縮量．圖14答案eq\f(2\r(10),5)l解析設第一次壓縮量為l時，彈簧的彈性勢能為Ep.釋放小球后彈簧的彈性勢能轉化為小球的動能，設小球離開彈簧時速度為v1由機械能守恒定律得Ep＝eq\f(1,2)mv12設小球在最高點E時的速度為v2，由臨界條件可知mg＝meq\f(v\o\al(2,2),R)，v2＝eq\r(gR)由機械能守恒定律可得eq\f(1,2)mv12＝mg·2R＋eq\f(1,2)mv22以上幾式聯(lián)立解得Ep＝eq\f(5,2)mgR設第二次壓縮時彈簧的壓縮量為x，此時彈簧的彈性勢能為Ep′小球通過最高點E時的速度為v3，由機械能守恒定律可得：Ep′＝mg·2R＋eq\f(1,2)mv32小球從E點開始做平拋運動，由平拋運動規(guī)律得4R＝v3t,2R＝eq\f(1,2)gt2，解得v3＝2eq\r(gR)，故Ep′＝4mgR由條件可得eq\f(Ep′,Ep)＝eq\f(x2,l2)，代入數(shù)據(jù)解得x＝eq\f(2\r(10),5)l.機械能守恒中的輕桿模型1．模型構建：輕桿兩端(或兩處)各固定一個物體，整個系統(tǒng)一起沿斜面運動或繞某點轉動，該系統(tǒng)即為機械能守恒中的輕桿模型．2．模型特點：(1)忽略空氣阻力和各種摩擦．(2)平動時兩物體線速度相等，轉動時兩物體角速度相等．(3)桿對物體的作用力并不總是指向桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒．(4)對于桿和物體組成的系統(tǒng)，沒有外力對系統(tǒng)做功，系統(tǒng)的總機械能守恒．3．注意問題：(1)明確輕桿轉軸的位置，從而確定兩物體的線速度是否相等．(2)桿對物體的作用力方向不再沿著桿，故單個物體的機械能不守恒．(3)桿對物體做正功，使其機械能增加，同時桿對另一物體做負功，使其機械能減少，系統(tǒng)的機械能守恒．典例如圖15所示，在長為L的輕桿中點A和端點B處各固定一質量為m的球，桿可繞無摩擦的軸O轉動，使桿從水平位置無初速度釋放擺下．求當桿轉到豎直位置時，輕桿對A、B兩球分別做了多少功？圖15【思維流程】答案－0.2mgL0.2mgL解析A、B和桿組成的系統(tǒng)機械能守恒，以B的最低點為零重力勢能參考平面，可得2mgL＝eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)mvB2＋eq\f(1,2)mgL.又因A球與B球在各個時刻對應的角速度相同，故vB＝2vA由以上兩式得vA＝eq\r(\f(3gL,5))，vB＝eq\r(\f(12gL,5))根據(jù)動能定理，對于A球有WA＋mgeq\f(L,2)＝eq\f(1,2)mvA2－0，所以WA＝－0.2mgL對于B球有WB＋mgL＝eq\f(1,2)mvB2－0，所以WB＝0.2mgL.題組1單物體機械能守恒的判斷和應用1．在如圖1所示的物理過程示意圖中，甲圖為一端固定有小球的輕桿，從右偏上30°角釋放后繞光滑支點擺動；乙圖為末端固定有小球的輕質直角架，釋放后繞通過直角頂點的固定軸O無摩擦轉動；丙圖為置于光滑水平面上的A、B兩小車，B靜止，A獲得一向右的初速度后向右運動，某時刻連接兩車的細繩繃緊，然后帶動B車運動；丁圖為置于光滑水平面上的帶有豎直支架的小車，把用細繩懸掛的小球從圖示位置釋放，小球開始擺動．那么關于這幾個物理過程(空氣阻力忽略不計)，以下判斷中正確的選項是()圖1A．甲圖中小球機械能守恒B．乙圖中小球A的機械能守恒C．丙圖中兩車組成的系統(tǒng)機械能守恒D．丁圖中小球的機械能守恒答案A解析甲圖過程中輕桿對小球不做功，小球的機械能守恒；乙圖過程中A、B兩球通過桿相互影響(例如開始時A球帶動B球轉動)，輕桿對A的彈力不沿桿的方向，會對小球做功，所以每個小球的機械能不守恒，但把兩個小球作為一個系統(tǒng)時機械能守恒；丙圖中繩子繃緊的過程雖然只有彈力作為內力做功，但彈力突變有內能轉化，機械能不守恒；丁圖過程中細繩也會拉動小車運動，取地面為參考系，小球的軌跡不是圓弧，細繩會對小球做功，小球的機械能不守恒，把小球和小車當作一個系統(tǒng)，機械能才守恒．2．如圖2甲所示，豎直平面內的光滑軌道由傾斜直軌道AB和圓軌道BCD組成，AB和BCD相切于B點，CD連線是圓軌道豎直方向的直徑(C、D為圓軌道的最低點和最高點)，∠BOC＝30°.可視為質點的小滑塊從軌道AB上高H處的某點由靜止滑下，用力傳感器測出小滑塊經(jīng)過圓軌道最高點D時對軌道的壓力為F，并得到如圖乙所示的壓力F與高度H的關系圖象，取g＝10m/s2.求：圖2(1)小滑塊的質量和圓軌道的半徑；(2)是否存在某個H值，使得小滑塊經(jīng)過最高點D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的點．假設存在，請求出H值；假設不存在，請說明理由．答案(1)0.1kg0.2m(2)存在0.6m解析(1)設小滑塊的質量為m，圓軌道的半徑為Rmg(H－2R)＝eq\f(1,2)mvD2，F(xiàn)＋mg＝eq\f(mv\o\al(2,D),R)得：F＝eq\f(2mgH－2R,R)－mg取點(0.50m,0)和(1.00m,5.0N)代入上式得：m＝0.1kg，R＝0.2m(2)假設小滑塊經(jīng)過最高點D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的E點(如下圖)由幾何關系可得OE＝eq\f(R,sin30°)設小滑塊經(jīng)過最高點D時的速度為vD由題意可知，小滑塊從D運動到E，水平方向的位移為OE，豎直方向上的位移為R，那么OE＝vDt，R＝eq\f(1,2)gt2得到：vD＝2m/s而小滑塊過D點的臨界速度vD′＝eq\r(gR)＝eq\r(2)m/s由于vD＞vD′，所以存在一個H值，使得小滑塊經(jīng)過最高點D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的點mg(H－2R)＝eq\f(1,2)mvD2得到：H＝0.6m.題組2連接體的機械能守恒問題3.如圖3所示，在傾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有兩個質量分別為1kg和2kg的可視為質點的小球A和B，兩球之間用一根長L＝0.2m的輕桿相連，小球B距水平面的高度h＝0.1m．兩球由靜止開始下滑到光滑地面上，不計球與地面碰撞時的機械能損失，g取10m/s2.那么以下說法中正確的選項是()圖3A．整個下滑過程中A球機械能守恒B．整個下滑過程中B球機械能守恒C．整個下滑過程中A球機械能的增加量為eq\f(2,3)JD．整個下滑過程中B球機械能的增加量為eq\f(2,3)J答案D解析在下滑的整個過程中，只有重力對系統(tǒng)做功，系統(tǒng)的機械能守恒，但在B球沿水平面滑行，而A沿斜面滑行時，桿的彈力對A、B球做功，所以A、B球各自機械能不守恒，故A、B錯誤；根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒得：mAg(h＋Lsinθ)＋mBgh＝eq\f(1,2)(mA＋mB)v2，解得：v＝eq\f(2,3)eq\r(6)m/s，系統(tǒng)下滑的整個過程中B球機械能的增加量為eq\f(1,2)mBv2－mBgh＝eq\f(2,3)J，故D正確；A球的機械能減少量為eq\f(2,3)J，C錯誤．4．如圖4所示，傾角為α的斜面A被固定在水平面上，細線的一端固定于墻面，另一端跨過斜面頂端的小滑輪與物塊B相連，B靜止在斜面上．滑輪左側的細線水平，右側的細線與斜面平行．A、B的質量均為m，撤去固定A的裝置后，A、B均做直線運動，不計一切摩擦，重力加速度為g.求：圖4(1)A固定不動時，A對B支持力的大小N；(2)A滑動的位移為x時，B的位移大小s；(3)A滑動的位移為x時的速度大小vA.答案(1)mgcosα(2)eq\r(21－cosα)·x(3)eq\r(\f(2gxsinα,3－2cosα))解析(1)支持力的大小N＝mgcosα(2)如下圖，根據(jù)幾何關系sx＝x·(1－cosα)，sy＝x·sinα且s＝eq\r(s\o\al(2,x)＋s\o\al(2,y))解得s＝eq\r(21－cosα)·x(3)B的下降高度sy＝x·sinα根據(jù)機械能守恒定律mgsy＝eq\f(1,2)mvA2＋eq