福建省石獅七中學2022-2023學年數(shù)學八年級第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2022-2023學年八下數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列哪組條件能夠判定四邊形ABCD是平行四邊形？（）A．AB//CD，ADBC B．ABCD，ADBCC．AB，CD D．ABAD，CBCD2．下列各等式成立的是（）A． B．C． D．3．下列根式中，不能與合并的是()A． B． C． D．4．用配方法解方程變形后為A． B．C． D．5．下列式子是分式的是().A． B． C． D．6．下列事件中，屬于必然事件的是（）A．經(jīng)過路口，恰好遇到紅燈； B．四個人分成三組，三組中有一組必有2人；C．打開電視，正在播放動畫片； D．拋一枚硬幣，正面朝上；7．用配方法解一元二次方程，下列配方正確的是（）A． B． C． D．8．《國家寶藏》節(jié)目立足于中華文化寶庫資源，通過對文物的梳理與總結(jié)，演繹文物背后的故事與歷史，讓更多的觀眾走進博物館，讓一個個館藏文物鮮活起來．下面四幅圖是我國一些博物館的標志，其中是中心對稱圖形的是（）．A． B． C． D．9．9的算術(shù)平方根是（）A．﹣3 B．±3 C．3 D．10．甲、乙兩名運動員10次比賽成績?nèi)绫恚琒12，S22分別表示他們測試成績的方差，則有（）8分9分10分甲（頻數(shù)）424乙（頻數(shù)）343A．S12>S22 B．S12=S22 C．S12<S22 D．無法確定二、填空題(每小題3分,共24分)11．在直角坐標系中，直線與軸交于點，以為邊長作等邊，過點作平行于軸，交直線于點，以為邊長作等邊，過點作平行于軸，交直線于點，以為邊長作等邊，…，則等邊的邊長是______.12．若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是____________.13．二次函數(shù)的最大值是____________.14．已知關(guān)于x的分式方程有一個正數(shù)解，則k的取值范圍為________.15．如圖，□ABCD的對角線AC，BD相交于點O，若AO+BO=5，則AC+BD的長是________．16．二次根式中，字母的取值范圍是__________．17．如圖，在平面直角坐標系中，OAB是邊長為4的等邊三角形，OD是AB邊上的高，點P是OD上的一個動點，若點C的坐標是，則PA+PC的最小值是_________________.18．如圖，將矩形沿對角線折疊，使點翻折到點處，如果，那么______.三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝6，D是AB邊上任意一點，連接CD，以CD為直角邊向右作等腰直角△CDE，其中∠DCE＝90°，CD＝CE，連接BE．（1）求證：AD＝BE；（2）當△CDE的周長最小時，求CD的值；（3）求證：．20．（6分）如圖甲，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長．解題思路是：將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，如圖乙所示，連接PP′．（1）△P′PB是三角形，△PP′A是三角形，∠BPC＝°；（2）利用△BPC可以求出△ABC的邊長為．如圖丙，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且PA＝，BP＝，PC＝1；（3）求∠BPC度數(shù)的大?。唬?）求正方形ABCD的邊長．21．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D，F(xiàn)分別在AB，AC上，CF＝CB．連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE，連接EF．（1）求證：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD．求∠BDC的度數(shù)．22．（8分）如圖，△ABC的面積為63，D是BC上的一點，且BD：BC＝2：3，DE∥AC交AB于點E，延長DE到F，使FE：ED＝2：1．連結(jié)CF交AB點于G．(1)求△BDE的面積；(2)求的值；(3)求△ACG的面積．23．（8分）（1）計算：；（2）當時，求代數(shù)式的值24．（8分）已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù).（1）證明：直線與雙曲線沒有交點；（2）若將直線向上平移4個單位后與雙曲線恰好有且只有一個交點，求反比例函數(shù)的表達式和平移后的直線表達式；（3）將（2）小題平移后的直線代表的函數(shù)記為，根據(jù)圖象直接寫出：對于負實數(shù)，當取何值時25．（10分）孝感市委市政府為了貫徹落實國家的“精準扶貧”戰(zhàn)略部署，組織相關(guān)企業(yè)開展扶貧工作，博大公司為此制定了關(guān)于幫扶A、B兩貧困村的計劃．今年3月份決定從某地運送152箱魚苗到A、B兩村養(yǎng)殖，若用大小貨車共15輛，則恰好能一次性運完這批魚苗．已知這兩種大小貨車的載貨能力分別為12箱/輛和8箱/輛，其運往A、B兩村的運費如表：目的地費用車型A村（元/輛）B村（元/輛）大貨車800900小貨車400600（1）求這15輛車中大小貨車各多少輛？（2）現(xiàn)安排其中10輛貨車前往A村，其余貨車前往B村，設(shè)前往A村的大貨車為x輛，前往A、B兩村總運費為y元；①試求出y與x的函數(shù)解析式；②若運往A村的魚苗不少于108箱，請你寫出使總運費最少的貨車調(diào)配方案，并求出最少運費．26．（10分）在正方形中，是對角線上的點，連接、．（1）求證：；（2）如果，求的度數(shù)．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【解析】

根據(jù)平行四邊形的判定進行判斷即可.【詳解】解：A選項為一組對邊平行，一組對邊相等，不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項錯誤；B選項為兩組對邊相等，可以判定四邊形為平行四邊形，故本選項正確；C選項為兩組鄰角相等，不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項錯誤；D選項為兩組鄰邊相等，不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項錯誤.故選B.【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定：1、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；3、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；4、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.2、C【解析】

根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐一進行判斷即可得答案．【詳解】A、，故此選項不成立；B、＝＝a+b，故此選項不成立；C、＝＝a+1，故此選項成立；D、＝＝﹣，故此選項不成立；故選：C．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變；熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3、C【解析】

解：A、，本選項不合題意；B、，本選項不合題意；C、，本選項合題意；D、，本選項不合題意；故選C．考點：同類二次根式．4、A【解析】

在本題中，把常數(shù)項-2移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)-4的一半的平方．【詳解】把方程x2-4x-2=0的常數(shù)項移到等號的右邊，得到x2-4x=2,方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得到x2-4x+4=2+4,配方得（x-2）2=1．故選A【點睛】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．5、B【解析】

判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【詳解】A、的分母中不含有字母，因此是整式，而不是分式．故本選項錯誤；B、分母中含有字母，因此是分式．故本選項正確；C、分母沒有字母是整式，故本選項錯誤；D、分母中沒有字母，故本選項錯誤；故選B．【點睛】本題考查的是分式的定義，在解答此題時要注意分式是形式定義，只要是分母中含有未知數(shù)的式子即為分式．6、B【解析】分析：必然事件就是一定能發(fā)生的事件，根據(jù)定義即可作出判斷．詳解：A、經(jīng)過路口，恰好遇到紅燈是隨機事件，選項錯誤；B、4個人分成三組，其中一組必有2人，是必然事件，選項正確；C、打開電視，正在播放動畫片是隨機事件，選項錯誤；D、拋一枚硬幣，正面朝上是隨機事件，選項錯誤．故選B．點睛：本題考查了必然事件的定義，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．7、A【解析】【分析】方程兩邊同時加1，可得，左邊是一個完全平方式.【詳解】方程兩邊同時加1，可得，即.故選：A【點睛】本題考核知識點：配方.解題關(guān)鍵點：理解配方的方法.8、A【解析】

根據(jù)中心對稱圖形的定義和圖案特點即可解答.【詳解】、是中心對稱圖形，故本選項正確；、不是中心對稱圖象，故本選項錯誤；、不是中心對稱圖象，故本選項錯誤；、不是中心對稱圖象，故本選項錯誤.故選：.【點睛】本題考查中心對稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.9、C【解析】試題分析：9的算術(shù)平方根是1．故選C．考點：算術(shù)平方根．10、A【解析】

根據(jù)題意以及圖表所示，先求出甲和乙成績的平均數(shù)，然后運用方差公式即可做出選擇．【詳解】由表可知，甲的成績平均數(shù)為，乙的成績的平均數(shù)為，所以甲的成績的方差為,乙的方差為，所以＞．故本題選擇A．【點睛】本題主要考查方差公式的運用，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，掌握方差公式即可求解．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【解析】

先從特殊得到一般探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問題即可；【詳解】∵直線l：y=x-與x軸交于點B1

∴B1（1，0），OB1=1，△OA1B1的邊長為1；

∵直線y=x-與x軸的夾角為30°，∠A1B1O=60°，

∴∠A1B1B2=90°，

∵∠A1B2B1=30°，

∴A1B2=2A1B1=2，△A2B3A3的邊長是2，

同法可得：A2B3=4，△A2B3A3的邊長是22；

由此可得，△AnBn+1An+1的邊長是2n，

∴△A2018B2019A2019的邊長是1．

故答案為1．【點睛】考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及等邊三角形的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找出規(guī)律，求得△AnBn+1An+1的邊長是2n．12、且.【解析】分析：根據(jù)分式有意義和二次根式有意義的條件解題.詳解：因為在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，所以x≥0且x－1≠0，則x≥0且x≠1.故答案為x≥0且x≠1.點睛：本題考查了分式和二次根式有意義的條件，分式有意義的條件是分母不等于0；二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)，代數(shù)式既有分式又有二次根式時，分式與二次根式都要有意義.13、-5【解析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵的a=-2<0,∴當x=1時，有最大值-5.故答案為-5.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值：二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當x=-時，y=；（2）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x=-時，y=．14、k<6且k≠1【解析】分析：根據(jù)解分式方程的步驟，可得分式方程的解，根據(jù)分式方程的解是正數(shù)，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．詳解：，方程兩邊都乘以（x-1），得x=2（x-1）+k，解得x=6-k≠1，關(guān)于x的方程程有一個正數(shù)解，∴x=6-k＞0，k＜6，且k≠1，∴k的取值范圍是k＜6且k≠1．故答案為k＜6且k≠1．點睛：本題主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知識，能根據(jù)已知和方程的解得出k的范圍是解此題的關(guān)鍵．15、1；【解析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：AO=OC，BO=OD，從而求得AC+BC的長．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OC=AO，OB=OD∵AO=BO=2∴OC+OD=2∴AC+BD=AO+BO+CO+DO=1故答案為：1．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是得出OC+OD=2．16、【解析】

二次根式有意義的條件就是被開方數(shù)是非負數(shù)，即可求解．【詳解】根據(jù)題意得：x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案為x≥1．【點睛】本題考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．17、【解析】

由題意知，點A與點B關(guān)于直線OD對稱，連接BC，則BC的長即為PC+AP的最小值，過點B作BN⊥y軸，垂足為N，過B作BM⊥x軸于M，求出BN、CN的長，然后利用勾股定理進行求解即可.【詳解】由題意知，點A與點B關(guān)于直線OD對稱，連接BC，則BC的長即為PC+AP的最小值，過點B作BN⊥y軸，垂足為N，過B作BM⊥x軸于M，則四邊形OMBN是矩形，∵△ABO是等邊三角形，∴OM=AO=×4=2，∴BN=OM=2，在Rt△OBM中，BM===2，∴ON=BM=2，∵C，∴CN=ON+OC=2+=3，在Rt△BNC中，BC=，即PC+AP的最小值為，故答案為.【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，最短路徑問題，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)等，正確添加輔助線，確定出最小值是解題的關(guān)鍵.18、【解析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理即可求解.【詳解】∵將矩形沿對角線折疊，使點翻折到點處，∴∠BCA=∠ECA，AE=AB=CD，EC=BC=AD，∵矩形ABCD的對邊AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠ECA=∠DAC，設(shè)AD與CE相交于F，則AF=CF，∴AD-AF=CE-CF,即DF=EF，∴又∠AFC=∠DFE，∴△ACF∽△DEF，∴設(shè)DF=x,則AF=FC=3x,在Rt△CDF中，CD=又BC=AD=AF+DF=4x，∴【點睛】此題主要考查相似三角形與矩形的應用，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理、矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì).三、解答題(共66分)19、（1）見解析；（1）；（3）見解析【解析】

（1）先判斷出∠ACD=∠BCE，得出△ADC≌△CBE（SAS），即可得出結(jié)論；

（1）先判斷出DE=CD，進而得出△CDE的周長為（1+）CD，進而判斷出當CD⊥AB時，CD最短，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出∠A=∠ABC=45°，進而判斷出∠DBE=90°，再用勾股定理得出BE1+DB1=DE1，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∠1＋∠3＝90°，∴∠1＝∠1．∵BC＝AC，CD＝CE，∴△CAD≌△CBE，∴AD＝BE．（1）∵∠DCE=90°，CD=CE．∴由勾股定理可得CD=．∴△CDE周長等于CD+CE+DE==．∴當CD最小時△CDE周長最?。纱咕€段最短得，當CD⊥AB時，△CDE的周長最?。連C＝AC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝6．此時AD＝CD＝．∴當CD時，△CDE的周長最?。?）由（1）易知AD＝BE，∠A＝∠CBA＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠CBE＋∠CBA＝90°．在Rt△DBE中：．在Rt△CDE中：．∴．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出CD⊥AB時，CD最短是解本題的關(guān)鍵．20、（1）等邊直角150°；（2）；（3）135°；（4）.【解析】

（1）將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2），連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，（2）過點B作BM⊥AP′，交AP′的延長線于點M，進而求出等邊△ABC的邊長為，問題得到解決．（3）求出，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AP′P＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；（4）過點B作BF⊥AE，交AE的延長線于點F，求出FE＝BF＝1，AF＝2，關(guān)鍵勾股定理即可求出AB．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得出△ABP′，∴∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPP′是等邊三角形，∴∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2+PP′2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，則△PP′A是直角三角形；∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；（2）過點B作BM⊥AP′，交AP′的延長線于點M，∴由勾股定理得：∴由勾股定理得：故答案為（1）等邊；直角；150；；（3）將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB，與（1）類似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴，由勾股定理得：EP＝2，∵∴AE2+PE2＝AP2，∴∠AEP＝90°，∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；（4）過點B作BF⊥AE，交AE的延長線于點F；∴∠FEB＝45°，∴FE＝BF＝1，∴AF＝2；∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝；∴∠BPC＝135°，正方形邊長為．答：（3）∠BPC的度數(shù)是135°；（4）正方形ABCD的邊長是．【點睛】本題主要考查對勾股定理及逆定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，正確作輔助線并能根據(jù)性質(zhì)進行證明是解此題的關(guān)鍵．21、（1）證明見解析；（2）90°.【解析】試題分析：（1）、根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)可得：CD=CE,∠DCE=90°，根據(jù)∠ACB=90°得出∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE，結(jié)合已知條件得出三角形全等；（2）、根據(jù)全等得出∠BDC=∠E,∠BCD=∠FCE,從而得出∠DCE=90°，然后根據(jù)EF∥CD得出∠BDC=90°．試題解析：（1）、∵將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE,∴CD=CE,∠DCE=90°,∵∠ACB=90°,∴∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE,在△BCD和△FCE中,CB＝CF∵BCD＝∠FCE，CD＝CE，CB=CF，∠BCD=∠FCE∴△BCD≌△FCE（SAS）．（2）、由（1）可知△BCD≌△FCE,∴∠BDC=∠E,∠BCD=∠FCE,∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°,∵EF∥CD,∴∠E=180°-∠DCE=90°,∴∠BDC=90°．考點：（1）、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)；（2）、三角形全等的證明與性質(zhì).22、（1）△BDE的面積是28；（2）；（3）9【解析】

（1）因為DE∥AC，所以△BDE∽△BCA，由相似三角形的性質(zhì)：面積比等于相似比的平方可得到△BDE的面積；（2）若要求的值，可由相似三角形的性質(zhì)分別得到AC和DE的數(shù)量關(guān)系、EF和DE的數(shù)量關(guān)系即可；（3）由（1）可知△BDE的面積是28，因為BD：BC=2：3，所以BD：CD=2：1，又因為三角形BDE和三角形CDE中BD和CD邊上的高相等，所以S=14，進而求出四邊形ACDE的面積是35和S=21，利用相似三角【詳解】(1)∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴，∵BD:BC=2:3，∴，∵△ABC的面積為63，∴△BDE的面積是28；(2)∵DE∥AC，∴,∴AC=ED，∵FE:ED=2:1，∴EF=2ED，∴；(3)∵△BDE的面積是28，∴S=14，∴四邊形ACDE的面積是35，∴S=21，∵DE∥AC，∴△GEF∽△GAC，∴，∴S=×21=9.【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，解題關(guān)鍵在于得到△BDE∽△BCA23、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)題意先化簡二次根式，再計算乘法，最后合并同類二次根式即可得；（2）由題意分別將x、y的值代入原式=（x+y）（x-y）+xy計算即可求出答案．【詳解】解：當時，可得.【點睛】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運算順序和運算法則．24、（1）方程組無解即沒有公共解，也就是兩函數(shù)圖象沒有交點（交點即公共點）；（2）當時，當時，；（3）當或時滿足.【解析】

（1）將和這兩函數(shù)看成兩個不定方程，聯(lián)立方程組，整理后得方程，再利用根的判別式得出這個方程無解，所以兩函數(shù)圖象沒有交點；（2）向上平移4個單位后，聯(lián)立方程組，整理后得方程，因為直線與雙曲線有且只有一個交點，所以方程有且只有一個解，利用根的判別式得出K的值，從而得到函數(shù)表達式；（3）取時，作出函數(shù)圖象，觀察圖象可得到結(jié)論.【詳解】（1）證明：將和這兩函數(shù)看成兩個不定方程，聯(lián)立方程組得：兩邊同時乘得，整理后得利用計算驗證得：∵所以方程組無解即沒有公共解，也就是兩函數(shù)圖象沒有交點（交點即公共點）（2）向上平移4個單位后，這時剛好與雙曲線有且只有一個交點.聯(lián)立方程組得：兩邊同時乘得，整理后得因為直線與雙曲線有且只有一個交點，∴方程有且只有一個解，即：，將方程對應的值代入判別式得