二階倒立擺實(shí)驗(yàn)報(bào)告

線性系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)報(bào)告院系：航天學(xué)院學(xué)號(hào)：2015年12月實(shí)驗(yàn)?zāi)康?）熟悉Matlab/Simulink仿真；2）掌握LQR控制器設(shè)計(jì)和調(diào)節(jié)；3）理解控制理論在實(shí)際中的應(yīng)用。倒立擺研究的意義是，作為一個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置，它形象直觀，簡(jiǎn)單，而且參數(shù)和形狀易于改變；但它又是一個(gè)高階次、多變量、非線性、強(qiáng)耦合、不確定的絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)的被控系統(tǒng)，必須采用十分有效的控制手段才能使之穩(wěn)定。因此，許多新的控制理論，都通過倒立擺試驗(yàn)對(duì)理論加以實(shí)物驗(yàn)證，然后在應(yīng)用到實(shí)際工程中去。因此，倒立擺成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題，是驗(yàn)證各種控制算法的一個(gè)優(yōu)秀平臺(tái)，故通過設(shè)計(jì)倒立擺的控制器，可以對(duì)控制學(xué)科中的控制理論有一個(gè)學(xué)習(xí)和實(shí)踐機(jī)會(huì)。實(shí)驗(yàn)容1）建立直線二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型對(duì)直線二級(jí)倒立擺進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，并將非線性數(shù)學(xué)模型在一定條件下化簡(jiǎn)成線性數(shù)學(xué)模型。對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建立模型存在一定的困難，但是經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。對(duì)于直線二級(jí)倒立擺，由于其復(fù)雜程度，在這里利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。由于模型的動(dòng)力學(xué)方程中存在三角函數(shù)，因此方程是非線性的，通過小角度線性化處理，將動(dòng)力學(xué)非線性方程變成線性方程，便于后續(xù)的工作的進(jìn)行。2）系統(tǒng)的MATLAB仿真依據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，通過MATLAB仿真得出系統(tǒng)的開環(huán)特性，采取相應(yīng)的控制策略，設(shè)計(jì)控制器，再加入到系統(tǒng)的閉環(huán)中，驗(yàn)證控制器的作用，并進(jìn)一步調(diào)試?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)過程中需要分析容主要包括得出原未加控制器時(shí)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布，系統(tǒng)的能觀性，能控性。3）LQR控制器設(shè)計(jì)與調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)利用線性二次型最優(yōu)（LQR）調(diào)節(jié)器MATLAB仿真設(shè)計(jì)的參數(shù)結(jié)果對(duì)平面二階倒立擺進(jìn)行實(shí)際控制實(shí)驗(yàn)，參數(shù)微調(diào)得到較好的控制效果，記錄實(shí)驗(yàn)曲線。4）改變控制對(duì)象的模型參數(shù)實(shí)驗(yàn)調(diào)整擺桿位置，將擺桿1朝下，擺桿2朝上修改模型參數(shù)、起擺條件和控制參數(shù)，重復(fù)3的容。實(shí)驗(yàn)步驟

1）倒立擺系統(tǒng)模型在忽略了空氣流動(dòng)，各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車、勻質(zhì)桿和質(zhì)量塊組成的系統(tǒng)，如圖1所示。車、勻質(zhì)桿和質(zhì)量塊組成的系統(tǒng)，如圖1所示。圖1直線兩級(jí)倒立擺物理模型下面利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。拉格朗日方程為:L(q,q)=T(q,q)一V(q,q)(2)dSL_SL_f

dtSqSqi(2)T_T+"Tm2+T3(3)TmlT'ml+T"mlm2+T”m2m2+T”m2(d(x-1sin0)'dt(d(1sin0)'-—mx2-mlX0cos0+】24——dt7J(7)T"m1(1Y-m120131172-6m.1202〃12+T"-一mx2-m1x0cos0+—m1202m1m1m12111113111(9)同樣可以求出(d(x-21sin0-1sin0)1'一一——1dt21(d(21cos0+1cos0)、+2m21—

dt~22-21。cos。-1。cos07(10)!(210,sin0,+10sin0)-m1322)=—m12026222(11)(x2-2x(210cos0+10cos02-T+T--1mm2m2221112241202+-1202+411120102s(0-0)]\11322121221/))(12)Tm3=2m3((d(x-21sin0))7\—i

dt(d(21cos0))4—

dt/7(13)-2mx2一2m1x0cos0+2m1202因此，可以得到系統(tǒng)的總動(dòng)能為:T=T+T+T+TMm1m2m312s=—Mx2+mx2一mlX。cos9+—ml2。22111113111+—m(x2-2x(219cos9+19cos9))221112221+—m22X22412。2+412。2+41199os(。-。)]、11322121221J(14)1+—mx2一2m1X9cos9+2m1292233111311系統(tǒng)的總勢(shì)能為:■=匕1+，2+t3=mg1cos9+2mg1cos9+mg1113112(21cos9+1cos9)從而拉格朗日算子:12=—Mx2+mx2一m1x9cos9+—m2111113]1+—m2:1+—m22+—mx2一2m1x9cos9+2m1292一mg1cos9233111311111-2mg1cos9一mg(21cos9+1*cos9)311211221292111113111L一2x(219cos9+19cos9))2111222'41292+41292+41199os(9-9)]I11322121221J由于因?yàn)樵趶V義坐標(biāo)91?92上均無外力作用，有以下等式成立:一竺=0dtI69J8911d(dLdt屆2展開（17），（18）式，分別得到（19），（20）式(15)(16)(17)(18)(19)6ml02sin(0-0)+4(m+3(m+m))/0-3(-2ml0cos(0-0)+(m+2(m+m))(gsin0+xcos0))=0..TOC\o"1-5"\h\z222121231122221-3gsin0-6l02sin(0-0)+4l0+6l0cos(0-0)-3xcos0=0(20)211122211212將(19),(20)式對(duì)0?0求解代數(shù)方程，得到以下兩式120=(3(-2gmsin0-4gmsin0(19)+(m+2(m+m))(gsin0+xcos0))=0..11121312212(21)士6mlcos(0-0)sin(0-0)02+4mlsin(0-0)02-2mxcos0(21)21121212212211-4mxcos0-4mxcos0+3mxcos(0-0)cos0))/21312122?-(2l(-4m-12m-12m+9mcos2(0-0)))八40=-(-m(m+3(m+m))l2l(-3gsin0-6l02sin(0-0)-3xcos0)29212312211122+—m12lcos(0-0)(6ml02sin(0-0)-3(m+2(m+m))(gsin0+xcos0)))/16~93212122221212311m(m+3(m+m))l22+4m222cos2(0-016~921231221212(22)表示成以下形式：0=f(x,0,0,x,0,0,x)(23)112120=f(x,0,0,x,0,0,x)(24)21212取平衡位置時(shí)各變量的初值為零，.??A=(x,0,0,x,0,0,x)=(0,0,0,0,0,0,0)=0(25)1212將（23）式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并線性化，令:17K=8f118xA=086I1A=03(—2gm-2(—4m-i—4gm23m2——4gm)3—12m3)l1(27)8f——1.1-9mgd(28)862■頃=02(—4m—3m—1212m3)l1K148f=―18xA=0=0(29)K158f=—1-861A=0=0(30)K168f=——1-862L=0=0(31)(26)=0K12K133(—2m一4m)—m(32)+~2dxA=02(—4m—3m—12m)l帶入（21）式，得到線性化之后的公式6=K6+K6+K12113217(33)將（24）式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開,?.并線性化，2286A=021=f|8xA=02g(m+2(m2286A=021=f|8xA=02g(m+2(m+m))4ml—22?(m+3(m+m))l(34)(35)234g(m+3(m+m))1633~3(4ml——(m+3(m+m))l)(36)k8fK=—2-=0(37)248xA=0Kf[K=—2-=0(38)2586A=02212321K=也|27dxA=0帶入(22)K=也|27dxA=0帶入(22)式,??得到即:4，c，、2(m+2(m+m))-^(m+3(m+m)4ml—3(m+3(m+m))l=K6+K6+Kx221232276=K6+K6+Kx121132176=K6+K6+KX22123227(39)(40)(41)(42)(43)(45)x=x1x=621x=6<32x=x4x=651x=6.t62由(33),(41),(42)式得到狀態(tài)空間方程如下:

X000100X011X000010X0?22X.3?000001X3+0u(46)X000000X144X0KK000XK.51213517X_0KK000_XK1-*6J222361-27」其中直線兩級(jí)倒立擺系統(tǒng)參數(shù)為:M小車質(zhì)量2.32kgm1擺桿1質(zhì)量0.04kgm2擺桿2質(zhì)量0.132kgm3質(zhì)量塊質(zhì)量0.208kg01擺桿1與垂直向上方向的夾角02擺桿2與垂直向上方向的夾角l1擺桿1到轉(zhuǎn)動(dòng)中心質(zhì)心的距離0.09ml2擺桿1到轉(zhuǎn)動(dòng)中心質(zhì)心的距離0.27mF作用在系統(tǒng)上的外力由以上方程，將以下參數(shù)代入M=1.32m=0.04

1m=0.132

2(47)<m=0.208

g=9.8(47)l=0.09、I=0.27求出各個(gè)K值：K=77.0642K=-21.1927K17=5.7012K=77.0642K=-21.1927K17=5.7012K=-38.5321K=37.8186K27=-0.0728(48)A=0001.000000000000001.00000000得到狀態(tài)矩陣為:01.0000086.6907-21.617200-40.311239.45000B=0001.00006.6402-0.0877C=10000100001000010000000000000000001001D=[000000000001001根據(jù)建模結(jié)果仔細(xì)計(jì)算并尋找合適的理論控制器參數(shù)。設(shè)R=1,Q=diag([200300300000])，利用matlab提供的lqr函數(shù)，可求得：K=14.1421103.1881-174.169115.26823.0199-28.2451進(jìn)入matlabcommand窗口，鍵入仿真文件，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)利用固高公司提供的Simulink方框圖，輸入控制參數(shù)k，進(jìn)行實(shí)物仿真，并通過調(diào)整Q的值來調(diào)整k的值，以達(dá)到控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求。通過調(diào)節(jié)參數(shù)請(qǐng)仔細(xì)觀察思考控制器參數(shù)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。找到幾組合適的控制器參數(shù)作為實(shí)際控制的參數(shù)。倒立擺系統(tǒng)實(shí)物調(diào)試具體步驟如下：將小車推到導(dǎo)軌的中央，并且使擺桿處于自由下垂的靜止?fàn)顟B(tài)，給小車的驅(qū)動(dòng)器的電源接通電源，進(jìn)入MATLAB的SIUMLINK中，調(diào)出實(shí)物仿真文件，填入設(shè)計(jì)的控制器參數(shù)(0,pi,pi)，編譯，連接實(shí)物，雙手將倒立擺豎直的緩慢的立起，倒立擺進(jìn)入到與豎直方向夾角小于10度的圍，控制器啟動(dòng)，觀察控制器的控制效果。成功后，從新設(shè)計(jì)控制器，并使參考位置為設(shè)為(0,0,pi)，重復(fù)(0,pi,pi)試驗(yàn)過程。將保存的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出圖形，分析實(shí)際控制效果與仿真曲線的區(qū)別。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和曲線實(shí)驗(yàn)一中，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為：Q=diag([200300300000])14.1421103.1881-174.169115.26823.0199-28.2451實(shí)驗(yàn)仿真曲線為：

圖2參考位置為設(shè)為(0,pi,pi)仿真圖實(shí)驗(yàn)實(shí)物曲線為:圖3參考位置為設(shè)為(0，pi，pi)實(shí)驗(yàn)曲線實(shí)驗(yàn)二數(shù)據(jù)為：k=-14.1421-55.3918121.8639-13.4838-5.822720.6980Q二diag([200300100000])實(shí)驗(yàn)二數(shù)據(jù)為：Q二diag([200300300000])K=-14.1421-56.2117124.5101-13.6940-5.880221.0735實(shí)驗(yàn)仿真曲線為：圖4參考位置為設(shè)為(0，0，pi)仿真圖實(shí)物仿真曲線為：TOC\o"1-5"\h\z-2:5-\-J-\I-3X,iiiiQ102QM如50bmiiis圖5參考位置為設(shè)為（0,0,pi）實(shí)驗(yàn)曲線實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析從仿真和實(shí)驗(yàn)曲線來看兩個(gè)實(shí)驗(yàn)都達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)。兩實(shí)驗(yàn)的仿真曲線都約在2.5S左右達(dá)到平衡位置，而實(shí)際結(jié)果來看，第一個(gè)實(shí)驗(yàn)在12S左右才達(dá)到平衡，第二個(gè)實(shí)驗(yàn)相對(duì)較好，擺桿在5S左右達(dá)到平衡，但是小車位置確一直在滑動(dòng)。設(shè)備實(shí)際運(yùn)行結(jié)果沒有仿真結(jié)果好，這說明模