中考數(shù)學(xué)專(zhuān)練：10四邊形

中考數(shù)學(xué)專(zhuān)練：10四邊形一．選擇題（共12小題）1．（2022?牡丹江二模）如圖，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)C（4，3），將菱形ABCO繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（）A．（﹣3，8）或（3，﹣8） B．（﹣9，3）或（9，﹣3） C．（﹣3，9）或（3，﹣9） D．（﹣3，﹣9）或（﹣3，9）2．（2022?黑龍江模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，DE，DE與AC交于點(diǎn)G、以DE為邊作等邊三角形DEF，連接AF交DE于點(diǎn)N，交DC于點(diǎn)M．下列結(jié)論：①DE=72AB；②∠EAN＝45°；③AE=23CM；A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④3．（2022?建華區(qū)二模）如圖，矩形ABCD由6個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，連接小正方形的頂點(diǎn)E、C及D、F交于點(diǎn)O，則tan∠DOC的值為（）A．5 B．2 C．3 D．24．（2022?綏化一模）如圖，在一張矩形紙片ABCD中AB＝4，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，連接CE，CH．有以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，EF＝5．以上結(jié)論中，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2022?肇源縣二模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，CF與BD交于點(diǎn)E，連接AE，若∠BCF＝20°，則∠AEF的度數(shù)（）A．35° B．40° C．45° D．50°6．（2022?大慶三模）如圖，已知四邊形ABCD為正方形AB＝22，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．在下列結(jié)論中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG=2AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CFA．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④7．（2022?集賢縣模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=5，四邊形ABC1D1是平行四邊形，點(diǎn)D1在BC邊上且AD1＝AD，△ABD1的面積是矩形ABCD面積的13，則平行四邊形ABC1DA．2 B．3 C．25 D．358．（2022?大慶模擬）如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，DH⊥AE于點(diǎn)H，連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HEA．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)9．（2022?肇東市模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點(diǎn)，則PM的最小值為（）A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.410．（2022?雞冠區(qū)校級(jí)一模）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為8的正方形，點(diǎn)E在邊CD上，DE＝2；作EF∥BC．分別交AC、AB于點(diǎn)G、F，M、N分別是AG，BE的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．6 D．711．（2022?前進(jìn)區(qū)一模）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，則四邊形CODE的周長(zhǎng)是（）A．5 B．8 C．10 D．1212．（2022?大慶）如圖，將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)A落在E處．若∠1＝56°，∠2＝42°，則∠A的度數(shù)為（）A．108° B．109° C．110° D．111°二．填空題（共11小題）13．（2022?肇東市校級(jí)四模）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，則此多邊形一共有條對(duì)角線．14．（2022?牡丹江二模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE，AF⊥AE，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠EAF的平分線AG分別交直線BC，EF，CD于點(diǎn)G，M，N，連接FG，DM．則下列結(jié)論中：①CG＝FN；②∠ADM＝∠CDM；③若CE＝2BE，則tan∠CFG=34；④2AN?BE＝EF?CN，正確的有15．（2022?南崗區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AC為一邊作正方形ACDE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC交直線BC于點(diǎn)F，連接AF，則AF的長(zhǎng)為．16．（2022?南崗區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)E在BC上，連接AE，點(diǎn)F在AD上，∠AEB＝2∠AFE，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，若AF﹣BE＝2，EG＝1，則DF的長(zhǎng)為．17．（2022?香坊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，連結(jié)AE，tan∠DAE=12，點(diǎn)G為AD上一點(diǎn)，作GF⊥AE交BC于點(diǎn)F．垂足為H，且H為AE的中點(diǎn)，GF為45，則GE18．（2022?南崗區(qū)校級(jí)二模）在?ABCD中，∠A＝30°，AD＝23，BD=7，則?ABCD的面積為19．（2022?南崗區(qū)校級(jí)二模）如圖，矩形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，AE平分∠BAF，若AF＝5DF，F(xiàn)C＝3，則線段AE的長(zhǎng)為．20．（2022?哈爾濱）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在OB上，連接AE，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，連接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，則線段OF的長(zhǎng)為．21．（2022?黑龍江）在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，點(diǎn)E在邊CD上，且CE＝4，點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若△APE是直角三角形，則BP的長(zhǎng)為．22．（2022?黑龍江）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分線，CE⊥AH于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP+PE的最小值是．23．（2022?齊齊哈爾）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，AB∥CD，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是．（只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可）三．解答題（共10小題）24．（2022?黑龍江模擬）綜合與實(shí)踐折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，AD都落在對(duì)角線AC上，展開(kāi)得折痕AE，AF，連接EF，如圖①．（1）∠EAF＝°，寫(xiě)出圖中兩個(gè)等腰三角形：（不需要添加字母）；轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖①中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．使它的兩邊分別交邊BC，CD于點(diǎn)P，Q，連接PQ，如圖②．（2）線段BP，PQ，DQ之間的數(shù)量關(guān)系為；剪一剪：將圖中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開(kāi)，如圖③．（3）求證：BM2+DN2＝MN2；（4）如圖④，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC，D是BC邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）連接AD．以A為頂點(diǎn)，AD為腰向兩側(cè)分別作頂角均為45°的等腰三角形AED和等腰三角形AFD，DE，DF分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，連接EF，分別交AB，AC于點(diǎn)P，Q．設(shè)AM＝a，AB＝b，則AD＝（用a，b表示）．25．（2022?哈爾濱模擬）在?ABCD中，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上，連接BF、DE、EF，EF交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，EG＝FH．（1）如圖1，求證：四邊形EBFD是平行四邊形；（2）如圖2，點(diǎn)A是BE的中點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出面積等于?ABCD面積的一半的兩個(gè)三角形和兩個(gè)四邊形．26．（2022?南崗區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，作EF⊥BC于F，延長(zhǎng)BC至G，使CG＝BF，連接CE、DE、DG．（1）如圖1，求證：四邊形CEDG是平行四邊形；（2）如圖2，連接EG交AC于點(diǎn)H，若EG⊥AB，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中所有長(zhǎng)度等于3CG的線段．27．（2022?南崗區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：四邊形ADCF是菱形．（2）連接CE，若CE＝EF，直接寫(xiě)出長(zhǎng)度等于2AE的線段．（不包括AD）28．（2022?南崗區(qū)校級(jí)二模）在?ABCD中，點(diǎn)E在CD邊上，點(diǎn)F在AB邊上，連接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如圖1，求證：DE＝BF；（2）如圖2，設(shè)AE交DF于點(diǎn)G，BE交CF于點(diǎn)H，連接GH，若E是CD邊的中點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中以GH為邊的所有平行四邊形．29．（2022?南崗區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BC上，連接EF，若DE＝CF．（1）求證：四邊形ABFE為菱形；（2）連接AF，若AF＝AB，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中所有30°的角．30．（2022?南崗區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F．（1）如圖1，求證：四邊形DBEF是菱形；（2）如圖2，連接BE，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中與∠ABE互余的所有角．31．（2022?前進(jìn)區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OC與x軸重合，OA與y軸重合，BC＝2，D是OC上一點(diǎn)，且OD，DC的長(zhǎng)是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的兩個(gè)根（OD＞DC）．（1）求線段OD，OC，AD的長(zhǎng)；（2）在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、B重合），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向勻速運(yùn)動(dòng)，到終點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，過(guò)P點(diǎn)作PE∥BD交AD于E，PF∥AD交BD于F，求四邊形DEPF的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．32．（2022?牡丹江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD，A在y軸的正半軸上，B，C在x軸上，AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的兩個(gè)根，且OB＞OC．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；（2）若反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖象的一支經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3）平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)比為2：3的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出在第四象限內(nèi)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．33．（2022?黑龍江）在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中點(diǎn)，連接PG、PC．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)，寫(xiě)出PG與PC的數(shù)量關(guān)系．（不必證明）（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想，并給予證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段PC、PG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想（不必證明）．

2023年黑龍江省中考數(shù)學(xué)專(zhuān)練：10四邊形參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．（2022?牡丹江二模）如圖，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)C（4，3），將菱形ABCO繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（）A．（﹣3，8）或（3，﹣8） B．（﹣9，3）或（9，﹣3） C．（﹣3，9）或（3，﹣9） D．（﹣3，﹣9）或（﹣3，9）【解答】解：∵點(diǎn)C（4，3），∴OC=4∵四邊形ABCO是菱形，∴BC＝OC＝OA＝5，∴B（9，3），若將菱形ABCO繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（﹣3，9）；若將菱形ABCO繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（3，﹣9）．∴旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（﹣3，9）或（3，﹣9），故選：C．2．（2022?黑龍江模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，DE，DE與AC交于點(diǎn)G、以DE為邊作等邊三角形DEF，連接AF交DE于點(diǎn)N，交DC于點(diǎn)M．下列結(jié)論：①DE=72AB；②∠EAN＝45°；③AE=23CM；A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【解答】解：①∵四邊形ABD是菱形，∴AB＝AD＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∴AE2＝AB2﹣BE2＝AB2﹣（12BC）2＝AB2﹣（12AB）2=3∴DE=AE2+A②如圖，連接CF，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DC于點(diǎn)H，∵四邊形ABD是菱形，∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC，△ADC都是等邊三角形，AD∥BC，∵AE⊥BC，∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE＝30°，設(shè)BE＝CE＝a，則AB＝BC＝AC＝2a，∴AE=AB∵△DEF，△ADC都是等邊三角形，∴AD＝CD，ED＝FE＝DF，∠ADC＝∠EDF＝60°，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDF﹣∠EDC，∴∠ADE＝∠CDF，在△DAE和△DCF中，DA=DC∠ADE=∠CDF∴△DAE≌△DCF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°+30°＝90°，∴∠DCF＝90°，∴∠ACF＝∠ACD+∠DCF＝150°，∵AC≠CF，∴∠CAF≠∠CFA≠15°，∴∠EAN＝∠EAC+∠CAF≠45°，故②錯(cuò)誤；③∵AH⊥CD，AC＝AD，∴∠AHM＝∠FCM＝90°，CH＝DH＝a，∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，∴AM＝FM，在△AMH和△FMC中，∠AHM=∠FCM=90°∠AMH=∠FMC∴△AMH≌△FMC（AAS），∴HM＝CM=12∴3CM=32a=∴AE＝23CM，故③正確；④在△AHM與△FCM中，∠AHM=∠FCM=90°HM=CM∴△AHM≌△FCM（ASA），∴AM＝MF，∴M是AF的中點(diǎn)，故④正確．綜上所述：結(jié)論正確的序號(hào)有①③④．故選：D．3．（2022?建華區(qū)二模）如圖，矩形ABCD由6個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，連接小正方形的頂點(diǎn)E、C及D、F交于點(diǎn)O，則tan∠DOC的值為（）A．5 B．2 C．3 D．2【解答】解：如圖，連接EG，CG，∵EG2+CG2＝2+8＝10＝CE2，∴△CEG是直角三角形，∴∠CGE＝90°，∴tan∠GEC=CG由網(wǎng)格可知：EG∥FD，∴∠DOC＝∠GEC，∴tan∠DOC＝tan∠GEC＝2，故選：B．4．（2022?綏化一模）如圖，在一張矩形紙片ABCD中AB＝4，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，連接CE，CH．有以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，EF＝5．以上結(jié)論中，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：①∵FH與EG，EH與CF都是原來(lái)矩形ABCD的對(duì)邊AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四邊形CFHE是平行四邊形，由翻折的性質(zhì)得，CF＝FH，∴四邊形CFHE是菱形，故①正確；②∵四邊形CFHE是菱形，∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°時(shí)EC平分∠DCH，故②錯(cuò)誤；③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF＝x，則AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4，故③正確；④如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，則ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF=MF2+ME綜上所述，結(jié)論正確的有①③，共2個(gè)．故選：B．5．（2022?肇源縣二模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，CF與BD交于點(diǎn)E，連接AE，若∠BCF＝20°，則∠AEF的度數(shù)（）A．35° B．40° C．45° D．50°【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BC＝BA，∠ABE＝∠CBE＝45°，在△ABE和△CBE中，BA=BC∠ABE=∠CBE=45°∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴∠BAE＝∠BCE＝20°，∵∠ABC＝90°，∠BCF＝20°，∴∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF，＝180°﹣90°﹣20°＝70°，∵∠BFC＝∠BAE+∠AEF，∴∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE＝70°﹣20°＝50°，故選：D．6．（2022?大慶三模）如圖，已知四邊形ABCD為正方形AB＝22，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．在下列結(jié)論中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG=2AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CFA．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【解答】解：過(guò)E作EM⊥BC于M點(diǎn)，過(guò)E作EN⊥CD于N點(diǎn)，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四邊形EMCN為正方形，∵四邊形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠FMEEN=EM∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG為正方形；故①正確；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDG∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∵∠DCF＝90°，∴CG平分∠DCF，故③正確；∴AC＝AE+CE＝CE+CG=2AD，故②當(dāng)DE⊥AC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，∴CE不一定等于CF，故④錯(cuò)誤，故選：A．7．（2022?集賢縣模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=5，四邊形ABC1D1是平行四邊形，點(diǎn)D1在BC邊上且AD1＝AD，△ABD1的面積是矩形ABCD面積的13，則平行四邊形ABC1DA．2 B．3 C．25 D．35【解答】解：∵點(diǎn)D1在BC邊上，且△ABD1的面積是矩形ABCD面積的13∴12∴BD1=23又∵AD1＝AD，∴BD1=23AD設(shè)BD1＝2x，則AD1＝3x，在Rt△ABD1中，BD12+AB2＝AD12，∴（2x）2+（5）2＝（3x）2，解得：x＝±1（負(fù)值舍去），∴BD1＝2，AD1＝3，∵點(diǎn)D1在BC邊上，∴平行四邊形ABC1D1的面積＝2S△ABD1＝2×1故選：C．8．（2022?大慶模擬）如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，DH⊥AE于點(diǎn)H，連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HEA．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【解答】解：①設(shè)AB＝a，則AD=2a∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴BA＝BE．在Rt△ABE中，AE=2a∴AE＝AD，故①正確；②∵DH⊥AH，∠DAE＝45°，AD=2a∴DH＝AH＝a，∴DH＝DC，∴DE平分∠AEC，∴∠AED＝∠CED，故②正確；③∵AH＝AB＝a，∴∠ABH＝∠AHB，∵AB∥CD，∴∠ABF+∠DFB＝180°，又∠AHB+∠BHE＝180°，∴∠BHE＝∠HFD，∠HEB＝∠FDH＝45°，在△DHF和△EBH中，∠BHE=∠HFD∠HEB=∠FDH=45°∴△DHF≌△EBH（AAS），∴BH＝HF，故③正確；④∵△BHE≌△HFD，∴HE＝DF，HE＝AE﹣AH=2a﹣a∴CF＝a﹣（2a﹣a）＝2a?2a∵BC=2a，CF＝2a?2a，HE=2a∴BC﹣CF＝2HE，故④正確；綜上所述，正確的是①②③④共4個(gè)，故選：A．9．（2022?肇東市模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點(diǎn)，則PM的最小值為（）A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.4【解答】解：連接AP，如圖所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC=6∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四邊形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF與AP互相平分，∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，∴M為AP的中點(diǎn)，∴PM=12根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，即AP⊥BC時(shí)，AP最短，同樣PM也最短，∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP=AB×AC∴AP最短時(shí)，AP＝4.8，∴當(dāng)PM最短時(shí)，PM=12故選：D．10．（2022?雞冠區(qū)校級(jí)一模）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為8的正方形，點(diǎn)E在邊CD上，DE＝2；作EF∥BC．分別交AC、AB于點(diǎn)G、F，M、N分別是AG，BE的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°∵EF∥BC，∴∠BFE+∠ABC＝180°，∴∠BFE＝90°，∴四邊形BCEF為矩形，連接FM，F(xiàn)C，如圖：∵N是BE的中點(diǎn)，四邊形BCEF為矩形．∴點(diǎn)N為FC的中點(diǎn)，BE＝FC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，又∵∠AFG＝90°，∴△AFG為等腰直角三角形．∵M(jìn)是AG的中點(diǎn)，∴AM＝MG，∴FM⊥AG，∴△FMC為直角三角形，∵點(diǎn)N為FC的中點(diǎn)，∴MN=12∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為8的正方形，DE＝2，∴BC＝CD＝8，CE＝6，在Rt△BCE中，由勾股數(shù)可得BE＝10，∴FC＝10，∴MN=12故選：B．11．（2022?前進(jìn)區(qū)一模）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，則四邊形CODE的周長(zhǎng)是（）A．5 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形CODE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OB＝OD，OC＝OA，∠ABC＝90°，∴OC＝OD，∴四邊形CODE是菱形∵AB＝4，BC＝3∴AC=AB∴OC=∴四邊形CODE的周長(zhǎng)＝4×5故選：C．12．（2022?大慶）如圖，將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)A落在E處．若∠1＝56°，∠2＝42°，則∠A的度數(shù)為（）A．108° B．109° C．110° D．111°【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，由折疊的性質(zhì)得：∠EBD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，∵∠1＝∠CDB+∠EBD＝56°，∴∠ABD＝∠CDB＝28°，∴∠A＝180°﹣∠2﹣∠ABD＝180°﹣42°﹣28°＝110°，故選：C．二．填空題（共11小題）13．（2022?肇東市校級(jí)四模）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，則此多邊形一共有20條對(duì)角線．【解答】解：根據(jù)題意，得（n﹣2）?180＝1080，解得n＝8．共有對(duì)角線12故答案為：20．14．（2022?牡丹江二模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE，AF⊥AE，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠EAF的平分線AG分別交直線BC，EF，CD于點(diǎn)G，M，N，連接FG，DM．則下列結(jié)論中：①CG＝FN；②∠ADM＝∠CDM；③若CE＝2BE，則tan∠CFG=34；④2AN?BE＝EF?CN，正確的有②③④【解答】解：如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠DAC＝45°，AC=2AD∵AE⊥AF，∴∠EAF＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，又∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∴△EAF是等腰直角三角形，∵AG平分∠EAF，∴∠AEF＝∠AFE＝∠EAG＝∠FAG＝45°，AG⊥EF，∴AM＝EM＝FM=22AE，∠DAC＝∠∴AEAM=2=AC∴△EAC∽△MAD，∴∠ADM＝∠ACB＝45°，∴∠ADM＝∠CDM＝45°，故②正確；∵AE＝AF，∠EAG＝∠FAG，AG＝AG，∴△EAG≌△FAG（SAS），∴FG＝EG，設(shè)BE＝x＝DF，∵CE＝2BE＝2x，∴CD＝BC＝3x，F(xiàn)C＝4x，∵FG2＝FC2+CG2，∴（2x+CG）2＝16x2+CG2，∴CG＝3x，∴tan∠CFG=CGCF=此時(shí)：AD＝CD＝CG＝3x，∵AD∥CG，∴ADCG∴DN＝CN＝1.5x，∴FN＝2.5x，∴FN≠CG，故①錯(cuò)誤；如圖，延長(zhǎng)AB至H，使BH＝BE，連接EH，∵BE＝BH，∠HBE＝90°，∴EH=2BE，∠H＝45°＝∠ACD∵∠EAG＝∠BAC＝45°，∴∠BAE＝∠CAN，∴△AEH∽△ANC，∴AEAN∴22∴2AN?BE＝CN?EF，故④正確；故答案為：②③④．15．（2022?南崗區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AC為一邊作正方形ACDE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC交直線BC于點(diǎn)F，連接AF，則AF的長(zhǎng)為65或17．【解答】解：如圖1，過(guò)A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM=12∴AM＝4，∵∠ACM+∠FCD＝90°，∠MAC+∠ACM＝90°，∴∠MAC＝∠FCD，在△AMC和△CFD中，∠CMA=∠DFC∠MAC=∠FCD∴△AMC≌△CFD（AAS），∴AM＝CF＝4，∴MF＝6÷2+4＝7，∴AF=AM如圖2，過(guò)A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM=12∴AM＝4，∵∠ACM+∠FCD＝90°，∠MAC+∠ACM＝90°，∴∠MAC＝∠FCD，在△AMC和△CFD中，∠CMA=∠DFC∠MAC=∠FCD∴△AMC≌△CFD（AAS），∴AM＝FC＝4，∴FM＝FC﹣MC＝1，∴AF=AM綜上所述，AF為65或17．故答案為：65或17．16．（2022?南崗區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)E在BC上，連接AE，點(diǎn)F在AD上，∠AEB＝2∠AFE，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，若AF﹣BE＝2，EG＝1，則DF的長(zhǎng)為3．【解答】解：如圖，作EJ平分∠AEB交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠J＝∠BEJ＝∠AEJ=12∠∴AE＝AJ，設(shè)BE＝x，作EH⊥AJ于點(diǎn)H，則∠EHJ＝∠EHF＝90°，∵AG⊥BC于點(diǎn)G，∴∠HAG＝∠AGC＝∠AGE＝90°，∴四邊形AGEH是矩形，∴AH＝EG＝1，∵∠AEB＝2∠AFE＝2∠CEF，∴∠CEF=12∠∴∠BEJ＝∠CEF，∵∠BEH＝∠GEH＝90°，∴∠HEJ+∠BEJ＝90°，∠HEF+∠CEF＝90°，∴∠HEJ＝∠HEF，在△EHJ和△EHF中，∠EHJ=∠EHFEH=EH∴△EHJ≌△EHF（ASA），∴HJ＝HF，由AF﹣BE＝2得AF＝BE+2＝x+2，∴AE＝AJ＝HJ+AH＝HF+AH＝AF+AH+AH＝x+4，∵∠ABC＝60°，BG＝BE+EG＝x+1，∴EH＝AG＝BG?tan60°=3（x∵AH2+EH2＝AE2，∴12+[3（x+1）]2＝（x+4）2，整理得x2﹣x﹣6＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2（不符合題意，舍去），∴BG＝4，AF＝5，∵∠BAG＝30°，∴AD＝AB＝2BG＝2×4＝8，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，∴DF的長(zhǎng)為3，故答案為：3．17．（2022?香坊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，連結(jié)AE，tan∠DAE=12，點(diǎn)G為AD上一點(diǎn)，作GF⊥AE交BC于點(diǎn)F．垂足為H，且H為AE的中點(diǎn)，GF為45，則GE【解答】解：如圖，過(guò)F作FM⊥AD于M，∴∠FMG＝90°，在正方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝90°，∴四邊形ABFM為矩形，∴MF＝AB＝AD，∵GF⊥AE交BC于點(diǎn)F，∴∠MFG+∠AGF＝∠DAE+∠AGF＝90°，∴∠MFG＝∠DAE，∴△ADE≌△FMG（ASA），∴GF＝AE=45∵tan∠DAE=1∴AD＝2DE，在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴DE＝4，AD＝8，∵H為AE的中點(diǎn)，∴AG＝GE，∴設(shè)GE＝x，則AG＝x，GD＝8﹣x，在Rt△GED中，GE2＝GD2+DE2∴x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∴GE＝5．故答案為：5．18．（2022?南崗區(qū)校級(jí)二模）在?ABCD中，∠A＝30°，AD＝23，BD=7，則?ABCD的面積為53或3【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，B在E的右側(cè)，∵∠A＝30°，AD＝23，∴DE=3，AE在Rt△DEB中，BE=B∴AB＝AE+BE＝3+2＝5，∴?ABCD的面積＝AB?DE＝5×3=5B在E的左側(cè)，∵∠A＝30°，AD＝23，∴DE=3，AE在Rt△DEB中，BE=B∴AB＝AE﹣BE＝3﹣2＝1，∴?ABCD的面積＝AB?DE=3故答案為：53或3．19．（2022?南崗區(qū)校級(jí)二模）如圖，矩形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，AE平分∠BAF，若AF＝5DF，F(xiàn)C＝3，則線段AE的長(zhǎng)為3152【解答】解：如圖，延長(zhǎng)DC、AE交于點(diǎn)G，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝EC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAE＝∠G，在△ABE和GCE中，∠AEB=∠CEG∠BAE=∠G∴△ABE≌△GCE（AAS），∴AB＝CG，AE＝EG，∵AE是∠BAF的角平分線．∴∠BAE＝∠EAF，∴∠G＝∠EAF，∴AF＝FG，∴EF⊥AG，設(shè)DF＝x，則FG＝AF＝5DF＝5x，∴AB＝CD＝CG＝5x﹣3，∴CD＝DF+CF＝x+3，∴5x﹣3＝x+3，解得x＝1.5，∴AF＝5×1.5＝7.5，∴∠D＝90°，∴AD＝√7.52﹣1.52=7.52在Rt△ADG中，DG＝DF+FG＝1.5+AF＝1.5+7.5＝9，∴AG=(36)∴AE＝EG=12AG故答案為：31520．（2022?哈爾濱）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在OB上，連接AE，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，連接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，則線段OF的長(zhǎng)為25．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，∴AE=AO∴BE＝AE＝5，∴BO＝8，∴BC=BO2+CO∵點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，BO＝DO，∴OF=12BC＝2故答案為：25．21．（2022?黑龍江）在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，點(diǎn)E在邊CD上，且CE＝4，點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若△APE是直角三角形，則BP的長(zhǎng)為313或154【解答】解：若△APE是直角三角形，有以下三種情況：①如圖1，∠AEP＝90°，∴∠AED+∠CEP＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴∠CEP+∠CPE＝90°，∴∠AED＝∠CPE，∴△ADE∽△ECP，∴ADCE=DE∴CP=5∵BC＝AD＝12，∴BP＝12?5②如圖2，∠PAE＝90°，∵∠DAE+∠BAE＝∠BAE+∠BAP＝90°，∴∠DAE＝∠BAP，∵∠D＝∠ABP＝90°，∴△ADE∽△ABP，∴ADAB=DE∴BP=15③如圖3，∠APE＝90°，設(shè)BP＝x，則PC＝12﹣x，同理得：△ABP∽△PCE，∴ABPC=BP∴x1＝x2＝6，∴BP＝6，綜上，BP的長(zhǎng)是313或15故答案為：313或1522．（2022?黑龍江）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分線，CE⊥AH于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP+PE的最小值是326【解答】解：連接OE，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為F，并延長(zhǎng)到點(diǎn)O′，使O′F＝OF，連接O′E交直線AB于點(diǎn)P，連接OP，∴AP是OO′的垂直平分線，∴OP＝O′P，∴OP+PE＝O′P+PE＝O′E，此時(shí)，OP+PE的值最小，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝3，∠BAC=12∠BAD，OA＝OC=12AC，OD＝OB=∵∠BAD＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴BD＝AD＝3，∴OD=12BD∴AO=A∴AC＝2OA＝33，∵CE⊥AH，∴∠AEC＝90°，∴OE＝OA=12AC∴∠OAE＝∠OEA，∵AE平分∠CAB，∴∠OAE＝∠EAB，∴∠OEA＝∠EAB，∴OE∥AB，∴∠EOF＝∠AFO＝90°，在Rt△AOF中，∠OAB=12∠∴OF=12OA∴OO′＝2OF=3在Rt△EOO′中，O′E=E∴OP+PE=3∴OP+PE的最小值為32故答案為：3223．（2022?齊齊哈爾）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，AB∥CD，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是AB＝CD（答案不唯一）．（只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可）【解答】解：添加的條件是AB＝CD，理由如下：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故答案為：AB＝CD（答案不唯一）．三．解答題（共10小題）24．（2022?黑龍江模擬）綜合與實(shí)踐折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，AD都落在對(duì)角線AC上，展開(kāi)得折痕AE，AF，連接EF，如圖①．（1）∠EAF＝45°，寫(xiě)出圖中兩個(gè)等腰三角形：△AEF，△EFC，△ABC，△ADC（不需要添加字母）；轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖①中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．使它的兩邊分別交邊BC，CD于點(diǎn)P，Q，連接PQ，如圖②．（2）線段BP，PQ，DQ之間的數(shù)量關(guān)系為PQ＝BP+DQ；剪一剪：將圖中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開(kāi)，如圖③．（3）求證：BM2+DN2＝MN2；（4）如圖④，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC，D是BC邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）連接AD．以A為頂點(diǎn)，AD為腰向兩側(cè)分別作頂角均為45°的等腰三角形AED和等腰三角形AFD，DE，DF分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，連接EF，分別交AB，AC于點(diǎn)P，Q．設(shè)AM＝a，AB＝b，則AD＝ab（用a，b表示）．【解答】（1）解：如圖①中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，∴△ABC，△ADC都是等腰三角形，∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，∴∠EAF=12（∠BAC+∠∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∵CB＝CD，∴CE＝CF，∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，故答案為：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC；（2）解：結(jié)論：PQ＝BP+DQ，理由：如圖②中，延長(zhǎng)CB到T，使得BT＝DQ．∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，∴△ADQ≌△ABT（SAS），∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，∵∠PAQ＝45°，∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，∵AP＝AP，∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PQ＝PT，∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，∴PQ＝BP+DQ．故答案為：PQ＝BP+DQ；（3）證明：如圖③中，將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABR，連接RM．∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∵∠DAN＝∠BAR，∴∠BAM+∠BAR＝45°，∴∠MAR＝∠MAN＝45°，∵AR＝AN，AM＝AM，∴△AMR≌△AMN（SAS），∴RM＝MN，∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，∴∠RBM＝90°，∴RM2＝BR2+BM2，∵DN＝BR，MN＝RM，∴BM2+DN2＝MN2；（4）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝45°，∴∠ABC＝∠ADE＝67.5°，又∵∠DAB＝∠DAM，∴△DAM∽△BAD，∴ADAB∴AD?AD＝AM?AB＝ab，∴AD=ab故答案為：ab．25．（2022?哈爾濱模擬）在?ABCD中，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上，連接BF、DE、EF，EF交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，EG＝FH．（1）如圖1，求證：四邊形EBFD是平行四邊形；（2）如圖2，點(diǎn)A是BE的中點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出面積等于?ABCD面積的一半的兩個(gè)三角形和兩個(gè)四邊形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠CDA，AB∥CD，∴∠BEH＝∠DFG，∵EG＝FH，∴EG+GH＝FH+GH，即EH＝FG，在△BEH和△DFG中，∠EBH=∠FDG∠BEH=∠DFG∴△BEH≌△DFG（AAS），∴BE＝DF，又∵BE∥DF，∴四邊形EBFD是平行四邊形；（2）解：如圖，連接BD，交EF于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△ABD＝S△CBD=12S平行四邊形由（1）可知，四邊形EBFD是平行四邊形，∴BE＝DF，OB＝OD，OE＝OF，∵點(diǎn)A是BE的中點(diǎn)，∴AB＝AE，S△ADE＝S△ABD=12S平行四邊形∵AB＝CD，∴AE＝CF，∴CD＝CF，∴S△BCF＝S△CBD=12S平行四邊形∵EG＝FH，∴OG＝OH，在△ODG和△OBH中，OG=OH∠DOG=∠BOH∴△ODG≌△OBH（SAS），∴S△ODG＝S△OBH，∴S四邊形ABHG＝S四邊形CDGH=12S平行四邊形綜上所述，面積等于?ABCD面積的一半的兩個(gè)三角形為△ADE和△BCF，兩個(gè)四邊形為四邊形ABHG和四邊形CDGH．26．（2022?南崗區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，作EF⊥BC于F，延長(zhǎng)BC至G，使CG＝BF，連接CE、DE、DG．（1）如圖1，求證：四邊形CEDG是平行四邊形；（2）如圖2，連接EG交AC于點(diǎn)H，若EG⊥AB，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中所有長(zhǎng)度等于3CG的線段．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，AE＝EB，∴EC＝EA＝EB，∵EF⊥BC，∴CF＝FB，∵AD＝DC，AE＝EB，∴DE∥BC，DE=12BC＝∵CG＝BF，∴DE＝CG，DE∥CG，∴四邊形四邊形CEDG是平行四邊形；（2）解：如圖2中，∵四邊形四邊形CEDG是平行四邊形，∴DH＝CH，GH＝HE，設(shè)DH＝CH＝a，則AD＝CD＝2a，∵∠A＝∠A，∠AEH＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△AEH，∴AEAH∴AE2＝AD?AH＝2a?3a＝6a2，∴AE=6a在Rt△AEH中，HE=AH∴GH＝HE=3a∴CG=GH∴AE=3CG∵AE＝EB＝CE＝GD，∴所有長(zhǎng)度等于3CG的線段是AE、EB、EC、GD．27．（2022?南崗區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：四邊形ADCF是菱形．（2）連接CE，若CE＝EF，直接寫(xiě)出長(zhǎng)度等于2AE的線段．（不包括AD）【解答】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BDE，又∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，∠FAE=∠BDEAE=DE∴△AEF≌△DEB（ASA），∴AF＝BD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，又∵∠CAB＝90°，AD是BC邊上的中點(diǎn)，∴AD=12BC＝DC＝∴?ADCF是菱形；（2）解：長(zhǎng)度等于2AE的線段為CD、CF、AF、BD（不包括AD），理由如下：由（1）得：四邊形ADCF是菱形，AD=12BC＝DC＝∴AD＝AF＝CF＝CD，∴CD＝CF＝AF＝BD＝AD＝2AE．28．（2022?南崗區(qū)校級(jí)二模）在?ABCD中，點(diǎn)E在CD邊上，點(diǎn)F在AB邊上，連接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如圖1，求證：DE＝BF；（2）如圖2，設(shè)AE交DF于點(diǎn)G，BE交CF于點(diǎn)H，連接GH，若E是CD邊的中點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中以GH為邊的所有平行四邊形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBFAD=BC∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF；（2）解：∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，∴以GH為邊的平行四邊形有平行四邊形GHFA、平行四邊形GHBF、平行四邊形GHED、平行四邊形GHCE．29．（2022?南崗區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BC上，連接EF，若DE＝CF．（1）求證：四邊形ABFE為菱形；（2）連接AF，若AF＝AB，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中所有30°的角．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝CF，∴AE＝BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴四邊形ABFE是菱形；（2）∵四邊形ABFE是菱形，∴AB＝BF，又∵AF＝AB，∴AB＝BF＝AF，∴△ABF是等邊三角形，∴∠ABF＝60°，∵四邊形ABFE是菱形，∴∠ABF＝∠AEF＝60°，∠ABE＝∠FBE＝∠AEB＝∠BEF＝30°．30．（2022?南崗區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F．（1）如圖1，求證：四邊形DBEF是菱形；（2）如圖2，連接BE，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中與∠ABE互余的所有角．【解答】（1）證明：如圖，連接BE，∵AB＝BC，E是AC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BF，∵EF∥BD，∴四邊形BDEF是平行四邊形，在Rt△ABE中，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴DE=12AB＝∴四邊形BDEF是菱形；（2）解：圖中與∠ABE互余的所有角為：∠A，∠AED，∠C，∠FEC．理由如下：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，由（1）知：DE∥BF，EF∥BD，∴∠AED＝∠C，∠FEC＝∠A，∴∠A＝∠AED＝∠C＝∠FEC，∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE＝90°，∴與∠ABE互余的所有角有∠A，∠AED，∠C，∠FEC．31．（2022?前進(jìn)區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OC與x軸重合，OA與y軸重合，BC＝2，D是OC上一點(diǎn)，且OD，DC的長(zhǎng)是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的兩個(gè)根（OD＞DC）．（1）求線段OD，OC，AD的長(zhǎng)；（2）在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、B重合），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向勻速運(yùn)動(dòng)，到終點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，過(guò)P點(diǎn)作PE∥BD交AD于E，PF∥AD交BD于F，求四邊形DEPF的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵OD，DC的長(zhǎng)是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的兩個(gè)根（OD＞DC）．∴OD＝4，CD＝1，∴OC＝5，AD=OD2+AO（2）∵PE∥BD，PF∥AD，∴四邊形PEDF是平行四邊形，∵BD=CD∴BD2+AD2＝5+20＝25，∵AB2＝25，∴BD2+AD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴四邊形PEDF是矩形，∵sin∠BAC=PE∴PEt∴PE=55∵PF∥AD，∴∠BPF＝∠BAD，∴cos∠BPF＝cos∠BAD=PF∴PF5?t∴PF=255∴S＝PE?PF=55t×2∴S=?25t2+2（3）存在點(diǎn)Q，使以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，設(shè)P（t，2），∴PD2＝（4﹣t）2+22，當(dāng)PD，AP為邊，∵四邊形APDQ是菱形，∴PD＝AP，則t2＝（4﹣t）2+22，解得：t=5∴AP=5∴DQ＝AP=5∴點(diǎn)Q（32當(dāng)AD，AP為邊，∵四邊形APQD是菱形，∴PD＝AP，∴25=t∴AP＝25，∴DQ＝AP＝25，∴DQ＝AP＝25，∴點(diǎn)Q（4+25，0），綜上所述：點(diǎn)Q（4+25，0）或（3232．（2022?牡丹江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD，A在y軸的正半軸上，B，C在x軸上，AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的兩個(gè)根，且OB＞OC．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；（2）若反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖象的一支經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3）平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，