（全國通用）2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何初步第3節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系教師用書文新人教A版

PAGEPAGE1第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系————————————————————————————————[考綱]1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題．1．平面的根本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．2．空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語言符號語言a，b是異面直線a?α3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．4．異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面．()(3)如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合．()(4)假設(shè)直線a不平行于平面α，且a?α，那么α內(nèi)的所有直線與a異面．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改編)如圖7-3-1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，那么異面直線B1C與EF所成的角的大小為()圖7-3-1A．30° B．45°C．60° D．90°C[連接B1D1，D1C，那么B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]3．在以下命題中，不是公理的是()A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行B．過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線A[A不是公理，是個常用的結(jié)論，需經(jīng)過推理論證；B，C，D是平面的根本性質(zhì)公理．]4．(2022·山東高考)直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，那么“直線a和直線b相交〞是“平面α和平面β相交〞的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[由題意知a?α，b?β，假設(shè)a，b相交，那么a，b有公共點，從而α，β有公共點，可得出α，β相交；反之，假設(shè)α，β相交，那么a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面．因此“直線a和直線b相交〞是“平面α和平面β相交〞的充分不必要條件．應(yīng)選A.]5．假設(shè)直線a⊥b，且直線a∥平面α，那么直線b與平面α的位置關(guān)系是________．b與α相交或b?α或b∥α平面的根本性質(zhì)如圖7-3-2，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．【導(dǎo)學(xué)號：31222249】圖7-3-2[證明](1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，∴EF∥BA1.2分又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面.5分(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，那么由P∈直線CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.8分同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點.12分[規(guī)律方法]1.證明線共面或點共面的常用方法：(1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面．(2)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)．(3)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．2．證明點共線問題的常用方法：(1)根本性質(zhì)法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據(jù)根本性質(zhì)3證明這些點都在這兩個平面的交線上．(2)納入直線法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上．[變式訓(xùn)練1]如圖7-3-3所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．圖7-3-3(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？[解](1)證明：由FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，得GH綊eq\f(1,2)AD.2分又BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC，∴四邊形BCHG是平行四邊形.5分(2)C，D，F(xiàn)，E四點共面，理由如下：由BE綊eq\f(1,2)AF，G為FA的中點知BE綊GF，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.8分由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點共面.12分空間直線的位置關(guān)系(1)(2022·廣東高考)假設(shè)直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，那么以下命題正確的選項是()【導(dǎo)學(xué)號：31222250】A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交(2)(2022·鄭州模擬)在圖7-3-4中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，那么表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號)．①②③④圖7-3-4(1)D(2)②④[(1)由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．(2)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面，所以在圖②④中，GH與MN異面．][規(guī)律方法]1.異面直線的判定方法：(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否認(rèn)假設(shè)，肯定兩條直線異面．(2)定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．2．點、線、面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識空間點、線、面的位置關(guān)系．[變式訓(xùn)練2](2022·煙臺質(zhì)檢)a，b，c表示不同的直線，M表示平面，給出四個命題：①假設(shè)a∥M，b∥M，那么a∥b或a，b相交或a，b異面；②假設(shè)b?M，a∥b，那么a∥M；③假設(shè)a⊥c，b⊥c，那么a∥b；④假設(shè)a⊥M，b⊥M，那么a∥b.其中正確的為()A．①④ B．②③C．③④ D．①②A[對于①，當(dāng)a∥M，b∥M時，那么a與b平行、相交或異面，①為真命題．②中，b?M，a∥b，那么a∥M或a?M，②為假命題．命題③中，a與b相交、平行或異面，③為假命題．由線面垂直的性質(zhì)，命題④為真命題，所以①④為真命題．]異面直線所成的角(1)如圖7-3-5，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，那么異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()圖7-3-5A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)(2)(2022·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，那么m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,3)(1)D(2)A[(1)連接BC1，易證BC1∥AD1，那么∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，那么A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).(2)設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可證CD1∥n.因此直線m與n所成的角與直線B1D1與CD1所成的角相等，即∠CD1B1為m，n所成的角．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為eq\f(\r(3),2).][規(guī)律方法]1.求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補(bǔ)形平移．2．求異面直線所成角的三個步驟：(1)作：通過作平行線，得到相交直線的夾角．(2)證：證明相交直線夾角為異面直線所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，那么它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，那么它的補(bǔ)角才是要求的角．[變式訓(xùn)練3]如圖7-3-6，圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．圖7-3-6eq\r(2)[取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD，那么因為C是圓柱下底面弧AB的中點，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD.因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).][思想與方法]1．主要題型的解題方法(1)要證明“線共面〞或“點共面〞可先由局部直線或點確定一個平面，再證其余直線或點也在這個平面內(nèi)(即“納入法〞)．(2)要證明“點共線〞可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3可知這些點在交線上．2．判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．3．求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角，表達(dá)了轉(zhuǎn)化與化歸思想．[易錯與防范]1．異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，不能錯誤地理解為不在某一個平面內(nèi)的兩條直線就是異面直線．2．直線與平面的位置關(guān)系在判斷時最易無視“線在面內(nèi)〞．3．兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易無視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．課時分層訓(xùn)練(四十)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系A(chǔ)組根底達(dá)標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．(2022·湖北高考)l1，l2表示空間中的兩條直線，假設(shè)p：l1，l2是異面直線，q：l1，l2不相交，那么()A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件A[假設(shè)l1，l2異面，那么l1，l2一定不相交；假設(shè)l1，l2不相交，那么l1，l2是平行直線或異面直線，故p?q，qD?/p，故p是q的充分不必要條件．]2．給出以下說法：①梯形的四個頂點共面；②三條平行直線共面；③有三個公共點的兩個平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定3個平面．其中正確的序號是()A．① B．①④C．②③ D．③④A[顯然命題①正確．由三棱柱的三條平行棱不共面知，②錯．命題③中，兩個平面重合或相交，③錯．三條直線兩兩相交，可確定1個或3個平面，那么命題④不正確．]3．(2022·鄭州聯(lián)考)直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，那么直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行B．相交或異面C．平行或異面D．相交、平行或異面D[依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．]4．假設(shè)空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，那么以下結(jié)論一定正確的選項是()【導(dǎo)學(xué)號：31222251】A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定D[如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.假設(shè)l4＝AA1，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時l1∥l4，可以排除選項A和C.假設(shè)取C1D為l4，那么l1與l4相交；假設(shè)取BA為l4，那么l1與l4異面；取C1D1為l4，那么l1與l4相交且垂直．因此l1與l4的位置關(guān)系不能確定．]5．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,7)B[連接DF，那么AE∥DF，∴∠D1FD為異面直線AE與D1F所成的角．設(shè)正方體棱長為a，那么D1D＝a，DF＝eq\f(\r(5),2)a，D1F＝eq\f(\r(5),2)a，∴cos∠D1FD＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2－a2,2·\f(\r(5),2)a·\f(\r(5),2)a)＝eq\f(3,5).]二、填空題6.如圖7-3-7所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：圖7-3-7①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線MN與AC所成的角為60°.其中正確的結(jié)論為________．(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)③④[由題圖可知AM與CC1是異面直線，AM與BN是異面直線，BN與MB1為異面直線．因為D1C∥MN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，且角為60°.]7.(2022·佛山模擬)如圖7-3-8所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，那么異面直線AB1與BD所成的角為________．圖7-3-860°[取A1C1的中點E，連接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即為所求，設(shè)AB＝1，那么A1A＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(3)，B1E＝eq\f(\r(3),2)，AE＝eq\f(3,2)，故∠AB1E＝60°.]8．如圖7-3-9，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，那么直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________.【導(dǎo)學(xué)號：31222252】圖7-3-94[取CD的中點為G(圖略)，由題意知平面EFG與正方體的左、右側(cè)面所在平面重合或平行，從而EF與正方體的左、右側(cè)面所在的平面平行或EF在平面內(nèi)，所以直線EF與正方體的前、后側(cè)面及上、下底面所在平面相交．故直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.]三、解答題9.如圖7-3-10所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點．問：圖7-3-10(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由．[解](1)AM，CN不是異面直線．理由：連接MN，A1C1，AC.因為M，N分別是A1B1，B1C1的中點，所以MN∥A1C1.2分又因為A1A綊C1C，所以A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.5分(2)直線D1B和CC1是異面直線.6分理由：因為ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面．假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，那么存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，所以D1，B，C，C1∈α，10分這與B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假設(shè)不成立，即D1B和CC1是異面直線.12分10．如圖7-3-11所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：圖7-3-11(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．[解](1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).5分(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，那么ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補(bǔ)角).8分在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1．(2022·南昌二模)設(shè)α為平面，a，b為兩條不同的直線，那么以下表達(dá)正確的選項是()A．假設(shè)