精選有限元法基礎(chǔ)熱傳導(dǎo)和熱應(yīng)力講義

（優(yōu)選）有限元法基礎(chǔ)熱傳導(dǎo)與熱應(yīng)力當(dāng)前1頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力

本章參考書(shū)孔祥謙.有限單元法在傳熱學(xué)中的應(yīng)用.第三版，科學(xué)出版社，1998王勖成.有限單元法.清華大學(xué)出版社，2003.第12章曾攀.有限元分析及應(yīng)用.清華大學(xué)出版社，2004.第8章

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11.傳熱分析與熱應(yīng)力

傳熱是廣泛存在的自然現(xiàn)象，只要有溫度差存在，就會(huì)有熱量的傳遞，只要有熱量的輸入和輸出，就會(huì)引起溫度的變化。傳熱分析的對(duì)象是固體、液體和氣體，其應(yīng)用包括熱量交換、化學(xué)反應(yīng)、材料相變、能量轉(zhuǎn)換等。溫度的變化和不均勻分布，引起結(jié)構(gòu)出現(xiàn)應(yīng)力變化，稱(chēng)為熱應(yīng)力。當(dāng)以應(yīng)力分析為目的時(shí)，為確定溫度場(chǎng)，需要對(duì)固體進(jìn)行傳熱計(jì)算，以便確定相關(guān)的熱應(yīng)力。

3當(dāng)前3頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力

11.1傳熱問(wèn)題的基本方程固體熱傳導(dǎo)的現(xiàn)象

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11傳熱分析與熱應(yīng)力

術(shù)語(yǔ)和單位

在國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)單位制中，傳熱分析的術(shù)語(yǔ)和單位

c比熱容[J/(kg·K)]T溫度（K或°C）Q熱流（W/m2）h對(duì)流換熱系數(shù)[W/(m2·K)]t時(shí)間（s）k導(dǎo)熱系數(shù)[W/(m·K)]]質(zhì)量密度（kg/m3）q單位體積熱生成率(W/m3)Stefan-Boltzman常數(shù)[=5.67×10-8W/(m2·K4)]5當(dāng)前5頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力

控制方程

對(duì)于微元dxdydz，生成的熱量為微元體內(nèi)的凈流出熱流量為由于熱量的儲(chǔ)存使內(nèi)能增加，即由能量守恒定律，在微元內(nèi)有

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11傳熱分析與熱應(yīng)力

由于方程不封閉，需補(bǔ)充條件。各向同性均勻材料的Fourier定律于是，有第一類(lèi)邊界條件：邊界上已知溫度T，即第二類(lèi)邊界條件：邊界上已知熱流密度，即第三類(lèi)邊界條件：已知與物體相接觸的流體介質(zhì)的溫度和換熱系數(shù)為已知，即

7當(dāng)前7頁(yè)，總共53頁(yè)。

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11.2變分原理與有限元

瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題變分泛函為

穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，溫度不隨時(shí)間變化泛函的變分取駐值，可得控制方程和第二類(lèi)和第三類(lèi)邊界條件

第一類(lèi)邊界條件應(yīng)強(qiáng)制滿(mǎn)足，稱(chēng)為本質(zhì)邊界條件；

第二、第三類(lèi)邊界條件是自然邊界條件。

8當(dāng)前8頁(yè)，總共53頁(yè)。

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有限元法

將物體離散為n個(gè)單元體，即，將單元內(nèi)的溫度場(chǎng)用節(jié)點(diǎn)上的溫度插值，有代入泛函，泛函稱(chēng)為

9當(dāng)前9頁(yè)，總共53頁(yè)。

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將單元矩陣組合后，得到物體的總體矩陣，對(duì)泛函變分取極值，即

得有限元方程組[KT]稱(chēng)為熱傳導(dǎo)矩陣，[C]為熱容矩陣，{RT}為等效節(jié)點(diǎn)溫度載荷列陣。對(duì)穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，上述方程是線(xiàn)性的，熱傳導(dǎo)方程是對(duì)稱(chēng)正定的，求解類(lèi)方法似于結(jié)構(gòu)分析。對(duì)瞬態(tài)問(wèn)題，需采用有限差分法，將離散，或采用顯式時(shí)間積分，如中心差分，或采用隱式時(shí)間積分，如Newmark差分。

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對(duì)線(xiàn)性瞬態(tài)問(wèn)題，還可采用結(jié)構(gòu)分析中的模態(tài)迭加法

首先求特征問(wèn)題

每個(gè)特征向量{T}i相對(duì)于[C]正則化，即令

是模態(tài)矩陣，它的每一列是正則化的特征向量{T}i，于是可將節(jié)點(diǎn)溫度表示為廣義溫度{Z}的關(guān)系將其代入有限元方程，并左乘得到n個(gè)解耦的方程組積分上述方程組后，得{Z(t)}，由此可得到節(jié)點(diǎn){T(t)}。11當(dāng)前11頁(yè)，總共53頁(yè)。

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11.3熱輻射

考慮兩個(gè)無(wú)限大的平行平面，由于無(wú)限大，不用考慮邊界效應(yīng)。設(shè)每個(gè)平面都有均勻溫度，平面1的溫度為T(mén)1，平面2的溫度為T(mén)2，平面都是理想的黑體，因此每個(gè)平面都是理想的吸收體和輻射體，平面表面的熱流量為

是Stefan-Boltzman常數(shù)。由于實(shí)際的輻射面并非理想黑體，也不是無(wú)窮大的平面，也不一定平行，因此把面積為A1和溫度T1表面所接收的熱流量表示為

包含了各種因素引起的輻射折減，包括視圖因子和輻射率等。

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由于輻射面是有限的、非平行的，用視圖因子表示對(duì)于兩個(gè)無(wú)限大的平行面為1，對(duì)于兩個(gè)相互看不見(jiàn)的平面是013當(dāng)前13頁(yè)，總共53頁(yè)。

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與面積為A1交換輻射能的表面有多少個(gè)，就有多少個(gè)式子。如果A1不是很大，可認(rèn)為Q1在A1上是個(gè)常數(shù)，因此與對(duì)流邊界比較，該式與之相同。因此在有限元方程中將h項(xiàng)中換成就可用有限元分析輻射問(wèn)題。需注意，是與溫度有關(guān)的，故輻射問(wèn)題是高度非線(xiàn)性問(wèn)題。當(dāng)材料常數(shù)是溫度的函數(shù)，問(wèn)題也是非線(xiàn)性的。非線(xiàn)性方程可采用Newton-Raphson法求解，但有一些特殊的適合傳熱問(wèn)題的處理方法。為了避免輻射的強(qiáng)非線(xiàn)性，實(shí)際問(wèn)題的處理，有時(shí)將也處理為常數(shù)，如在熱鍛時(shí)的傳熱分析。

14當(dāng)前14頁(yè)，總共53頁(yè)。

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11.4伴有相變的導(dǎo)熱問(wèn)題特點(diǎn)：控制方程是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程，區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)隨時(shí)間移動(dòng)的兩相界面，在界面上放出或吸收潛熱。1891年J.Stefan關(guān)于地極冰層厚度的研究首次討論這一課題。當(dāng)越過(guò)相變區(qū)間時(shí)，熱流密度不連續(xù)，在數(shù)學(xué)上是一個(gè)強(qiáng)非線(xiàn)性問(wèn)題，計(jì)算發(fā)生困難。

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相變界面的兩邊各自滿(mǎn)足非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱控制方程，一般為了簡(jiǎn)單略去液相區(qū)的自然對(duì)流或強(qiáng)制對(duì)流等作用。在相變界面S(t)上，滿(mǎn)足溫度連續(xù)條件

能量守恒條件設(shè)L

[J/kg]為物質(zhì)的相變潛熱，則由于相變界面的移動(dòng)，給數(shù)值方法帶來(lái)困難。

16當(dāng)前16頁(yè)，總共53頁(yè)。

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焓法模型

采用焓（H＝cT）和溫度同時(shí)作為待求函數(shù)。由于相變界面上溫度隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)是間斷的，但焓隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)是連續(xù)的，因此用數(shù)值方法求解焓分布時(shí)不需跟蹤兩相界面，從而使液相區(qū)和固相區(qū)統(tǒng)一處理稱(chēng)為可能，焓場(chǎng)解出后，溫度場(chǎng)可容易得到。

17當(dāng)前17頁(yè)，總共53頁(yè)。

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焓表示的傳熱方程為

其中溫度與焓的關(guān)系為

18當(dāng)前18頁(yè)，總共53頁(yè)。

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有限元法中的處理（1）相變潛熱作為附加比熱

用加權(quán)余量法推導(dǎo)有限元方程，有使用T的插值的形函數(shù)作為權(quán)函數(shù)，可得Galerkin法的有限元方程。式中fs是固相率,為無(wú)因次量,,液相0,固相為1。

19當(dāng)前19頁(yè)，總共53頁(yè)。

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（2）相變潛熱作為源項(xiàng)

在前面的公式中，相變潛熱項(xiàng)

與內(nèi)熱源項(xiàng)作相同處理，得有限元方程

是與相變項(xiàng)有關(guān)的等效載荷。由于相變得復(fù)雜性，在實(shí)際數(shù)值模擬中，尤其在大型結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)，不考慮相變的兩相問(wèn)題，相變的影響只考慮潛熱，把它作為一個(gè)常熱源處理。

20當(dāng)前20頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力

11.5熱應(yīng)力（Thermalstress）大多數(shù)情況下，傳熱問(wèn)題所確定的溫度場(chǎng)將直接影響物體的熱應(yīng)力,而熱應(yīng)力對(duì)溫度場(chǎng)的耦合影響不大，因而可將物體的熱問(wèn)題看成是單向耦合過(guò)程。（一）熱應(yīng)力問(wèn)題中的物理方程熱膨脹系數(shù)（Thermalexpansioncoefficent）,為L(zhǎng)amé系數(shù)

21當(dāng)前21頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力

將熱應(yīng)變看作初始應(yīng)變，上式寫(xiě)為其中初應(yīng)變?yōu)椋仃囆问剑ǘ┨摴υ韽椥粤W(xué)問(wèn)題的虛功原理為內(nèi)力虛功等于外力虛功，即將物理方程代入，得

22當(dāng)前22頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力（三）有限元列式設(shè)單元節(jié)點(diǎn)列陣為假設(shè)單元內(nèi)位移由節(jié)點(diǎn)位移表示的插值函數(shù)為應(yīng)變可表示為虛位移與虛應(yīng)變?yōu)榇胩摴υ?，得其中組裝到總體矩陣后，由于的任意性，得到有限元方程

23當(dāng)前23頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力（三）求解熱應(yīng)力的方法在有限元分析程序中解熱應(yīng)力問(wèn)題有兩種方法，即直接法和間接法。直接法直接將傳熱分析和熱應(yīng)力耦合起來(lái)分析的方法。在求解時(shí)，直接將傳熱邊界條件、力學(xué)邊界條件施加在有限元模型上，以節(jié)點(diǎn)溫度和位移作為未知變量求解。在有限元商業(yè)軟件中，有多場(chǎng)耦合單元，如ANSYS中Solid5和Solid98有熱、電、磁、壓電和結(jié)構(gòu)的耦合場(chǎng)單元，每節(jié)點(diǎn)有6DOF，即溫度、電勢(shì)、磁場(chǎng)強(qiáng)度勢(shì)函數(shù)，3個(gè)方向位移。

24當(dāng)前24頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力間接法熱應(yīng)力問(wèn)題是一個(gè)單向耦合問(wèn)題，在多數(shù)情況下，溫度變化會(huì)產(chǎn)生熱應(yīng)變，但熱應(yīng)變部不引起溫度變化。這樣，可以將熱應(yīng)力問(wèn)題分成兩個(gè)過(guò)程來(lái)計(jì)算分析，即傳熱分析和熱應(yīng)力計(jì)算。首先通過(guò)傳熱分析獲得結(jié)構(gòu)的溫度場(chǎng)分布，然后在已知溫度分布的情況下求熱應(yīng)力。優(yōu)點(diǎn)：1）求解規(guī)模比直接法小，有更高的計(jì)算效率；

2）在瞬態(tài)問(wèn)題時(shí)，可先求解溫度場(chǎng)，然后在關(guān)心的時(shí)間點(diǎn)上求熱應(yīng)力，可節(jié)省大量的存儲(chǔ)空間，即使是非線(xiàn)性問(wèn)題也可這樣處理。

25當(dāng)前25頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力例穩(wěn)態(tài)溫度分析一圓柱型容器上，垂直接有一小管道，容器內(nèi)裝有450F的液體，小管內(nèi)有100F的流體。假設(shè)容器足夠長(zhǎng)，遠(yuǎn)端的溫度為450F。

26當(dāng)前26頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力例穩(wěn)態(tài)溫度長(zhǎng)分析（續(xù)）

網(wǎng)格圖溫度分布27當(dāng)前27頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力例穩(wěn)態(tài)溫度常分析（續(xù)）

28當(dāng)前28頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力例穩(wěn)態(tài)溫度長(zhǎng)分析（續(xù)）

等效應(yīng)力分布圖

29當(dāng)前29頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力例液－固相變分析

有厚度為a得液體，初始溫度為T(mén)0,在其上表面突加溫度Ts<T0，分析液體的溫度變化及相變情況，假設(shè)液體的其他邊界是絕熱的。30當(dāng)前30頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力例液－固相變分析（續(xù)）

相變潛熱（latentheat）的影響以焓的快速變化來(lái)反映。

焓（enthalpy）與溫度的變化曲線(xiàn)

31當(dāng)前31頁(yè)，總共53頁(yè)。例液－固相變分析（續(xù)）

經(jīng)計(jì)算分析，在789s－797s間液體開(kāi)始完全固化，即節(jié)點(diǎn)2開(kāi)始降溫至－1。

在501s時(shí)溫度沿厚度的分布各節(jié)點(diǎn)溫度隨時(shí)間的變化

11傳熱分析與熱應(yīng)力32當(dāng)前32頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力例熱處理分析

將工件放在一定介質(zhì)中加熱到適宜的溫度、并在此溫度中保持一定時(shí)間后、又以不同速度冷卻的一種工藝方法。熱處理不改變工件的形狀和整體化學(xué)成分，而是通過(guò)改變工件內(nèi)部的顯微組織，或改變工件的表面的化學(xué)成分，賦予或改變工件的使用性能。

特點(diǎn)：1）有熱傳導(dǎo)2）有相變3）熱－力耦合

33當(dāng)前33頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力例熱處理分析(續(xù))

淬火分析的網(wǎng)格和溫度分布

34當(dāng)前34頁(yè)，總共53頁(yè)。

2傳熱分析與熱應(yīng)力35當(dāng)前35頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力熱處理分析（續(xù)）

典型的導(dǎo)熱系數(shù)曲線(xiàn)

36當(dāng)前36頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力熱處理分析（續(xù)）

典型的質(zhì)量密度曲線(xiàn)

37當(dāng)前37頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力熱處理分析（續(xù)）

典型的比熱容曲線(xiàn)

38當(dāng)前38頁(yè)，總共53頁(yè)。

11傳熱分析與熱應(yīng)力熱處理分析（續(xù)）

典型的相變焓曲線(xiàn)

39當(dāng)前39頁(yè)，總