人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪課時作業(yè)：第七章第6節(jié)第一課時　證明平行和垂直

第6節(jié)立體幾何中的向量方法

第一課時證明平行和垂直

r課時作業(yè)靈活方4密致提卷

'選題明細(xì)表

應(yīng)用創(chuàng)

知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練

新練

平面的法向量、直線的方

1,2,3

向向量及其應(yīng)用

利用向量證明平行問題58

利用向量證明垂直問題4,610

平行與垂直關(guān)系中的探索

1216

性問題

綜合問題79,11,13,1415

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.直線1的一個方向向量為n=(l,3,a),平面a的一個法向量為

1<=(13,2,3),若1〃€1,則2,13應(yīng)滿足的關(guān)系式為(A)

A.3a+b+6=0B.a=3b

C.3a-b+6=0D.a=-3b

解析：因為l〃a,所以nJ_k,即n?k=b+6+3a=0,所以3a+b+6=0.

故選A.

2.若直線a與b的一個方向向量分別是a=(l,2,4),b=(-1,-2,m),若

a〃b,則m的值為(B)

A.4B.-4

C.-2D.2

解析：因為a〃b,所以a〃b,故m=-4.故選B.

3.已知平面a的一個法向量為a=（x,1,-2）,直線1的一個方向向量為

n=gy,-1）,若1J_a,則（D）

A.x+2y=~4B.x+y=3

C.x+2y=1D.x+y=|

解析：因為l_La,所以n〃a，即a=、n（入￡R）,

所以（x,1,-2）=人（py,-1）,

x=-k,{=2,

所以Jl=Ay,解得產(chǎn)=發(fā)

<-2=~A,J-5，

所以x+y=-,x+2y=2.故選D.

4.如圖，四邊形ABCD為正方形,PD_L平面ABCD,PD〃QA,QA=AB=ipD,則

平面PQC與平面DCQ的位置關(guān)系為（B）

A.平行

B.垂直

C.相交但不垂直

D.位置關(guān)系不確定

解析:如圖，以D為坐標(biāo)原點,線段DA的長為單位長度,射線DA為x軸

的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,

則D(0,0,0),Q(l,1,0),C(0,0,l),P(0,2,0),

則OQ=(1,l,0),DC=(0,0,l),PQ=(l,-l,0).

—>—>—>—?

因為PQ-DQ=Q,PQ?DC=Q,

所以PQLDQ,PQ±DC,

又DQADC=D,DQu平面DCQ,

DCu平面DCQ,

所以PQ_L平面DCQ.

又PQu平面PQC,

所以平面PQCJ_平面DCQ.故選B.

5.已知平面a內(nèi)的三點A(0,0,l),B(0,l,0),C(l,0,0),平面B的一個

法向量n=(-l,-l,-l),則不重合的兩個平面a與B的位置關(guān)系

是.

解析:設(shè)平面a的法向量為m=(x,y,z),

T

由m,AB=0,得x?0+y-z=0=?y=z,

由m,AC=0,得x-z=0nx=z,取x=l,

所以m=(l,1,1),m=-n,所以m//n,所以a〃B.

答案:平行

6.在正三棱柱ABC_A,B,C,中，側(cè)棱長為2,底面邊長為1,M為BC的中

-y—>

點，gN=入NC,且AB,±MN>則實數(shù)X的值為.

解析：如圖所示，取BC的中點P,連接MP,以M為坐標(biāo)原點，后,

M4Mp的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

因為底面邊長為1,側(cè)棱長為2,

所以A(0,鼻0),B,(-；,0,2),C(i0,0),

乙乙乙

C,(1,0,2),M(0,0,0),

設(shè)0,t)(tGR),

因為擊=人貌，

所以N(J,0,-1-),

乙ITA

所以43廣2),MN-(J,0,-1-).

又因為AB」MN,

所以-MN=Q,

所以一島

所以人=15.

答案：15

7.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中，PCJ_平面ABCD,PC=2,在四邊形

ABCD中，ZB=ZC=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上，PB=4PM,PB與平面

ABCD成30°的角.求證：

p

⑴CM〃平面PAD;

(2)平面PABJ_平面PAD.

證明：以C為坐標(biāo)原點,CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所

在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.

因為PC_L平面ABCD,

所以NPBC為PB與平面ABCD所成的角,

所以NPBC=30。.

因為PC=2,

所以凱=2遮,PB=4,

所以D(0,1,0),B(2V3,0,0),A(2也,4,0),P(0,0,2),M修,0,1),

所以而二(0,-1,2),DA=(2V3,3,0),

CM-(y,0,|).

(1)設(shè)n=(x,y,z)為平面PAD的法向量，

T

貝I」DP-n=O,

,DA?n=0,

取y=2,得n=(,2,1).

T反qT

因為n-CM=-再><三+2X0+lXm),所以n_LCM.

又CMC平面PAD,

所以CM〃平面PAD.

⑵法一由(1)知,￡1=(0,4,0),PB=(2V3,0,-2),

設(shè)平面PAB的法向量m=(x0,y0,z0),

—>

則野?m=0,

PB,m=0,

出°2z。=0,

取Xo=l,得m=(l,0,V3),

又因為平面PAD的一個法向量n=(-2,1),

所以m?n=l義(-V3)+0X2+V3X1=0,

所以m±n,

所以平面PAB,平面PAD.

法二如圖，取AP的中點E,連接BE,

則E(6,2,1),BF=(-V3,2,1).

因為PB=AB,

所以BE_LPA.

又因為康?ZM=(-V3,2,1)?(2V3,3,0)=0,

—>—>

所以BE_LD4

所以BE_LDA.

又PAGDA=A,PA,DAu平面PAD,

所以BE_L平面PAD.

又因為BEu平面PAB,

所以平面PAB_L平面PAD.

B級綜合運用練

8.在正方體ABCD_ABCD中,棱長為a,M,N分別為A.B,AC的中點,則

MN與平面BBCG的位置關(guān)系是（B）

A.相交

B.平行

C.垂直

D.不能確定

解析：以C,為原點,CB,CD,C,C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，如圖,

所以N(Q,ma),M(a,-),

—

所以MN=(q,0,2.

而平面BiBCC的一個法向量為n=(0,1,0),

所以疝?n=0,即疝V_Ln.

又MNC平面BBCG,

所以MN與平面BBC。平行.故選B.

9.(多選題)如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把

△ABD與4ACD折成互相垂直的兩個平面后，下列結(jié)論正確的是

(BC)

A

T->

A.BD?AC^Q

B.ZBAC=60°

C.三棱錐D_ABC是正三棱錐

D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直

解析:平面ABD,平面ACD,由二面角定義知,BDLAD,平面ABDG平面

ACD=AD,BDc平面ABD,所以BD，平面ACD,所以BD_LAC,所以

—,—>

BD-4c=0,故A不正確；

AD=BD=CD,且NADB=NADC=NBDC,

所以AABD,AACD,ABCD是全等三角形，

所以AB=AC=BC,ZBAC=60°,故B正確;

可知AB=AC=BC,DA=DB=DC,

所以三棱錐D-ABC是正三棱錐,故C正確；

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

Xy

設(shè)DA=DB=DC=1,

則A(0,0,l),B(l,0,0),C(0,1,0),

可求出平面ADC的一個法向量是m=(l,0,0),平面ABC的一個法向量

是n2=(l,1,1),所以ni,n2=l+0+0=l#0,故D不正確.故選BC.

10.(2021?吉林四平高三檢測)已知平面a內(nèi)有一個點A(2,-1,2),a

的一個法向量為n=(3,1,2),則下列各點中，在平面a內(nèi)的是

(填序號).

①B(l,-1,1)@C(1,3,|)@(1,-3,|);@E(-1,3,-|).

解析:幾=(一1,0,—1),易=(―1,4,,

T7TT

4E=(-3,4,-1),因為AC?n=0,所以4CJ_n,故CWa.

答案:②

11.如圖,在四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,E,F,G

分別是ADi,DD,DC的中點.

(1)試用向量43,40,441表示4G;

⑵用向量方法證明：平面EFG〃平面ABC

⑴解:設(shè)AB=a,AD-b,AAr=c,

—?—>—>T

})\\\AG=AA1+A1D1+D1G

=c+b+-ZX:

2

=~a+b+c

2

1TTT

=-AB+AD+AA

21v2

故4G)4B+4D+44i.

->—>

⑵證明：4C=4B+3C=a+b,

TTTill-

EG=EOi+%G苫b+m=)C,

因為EG與AC無公共點，

所以EG〃AC,

因為EGQ平面ABCACu平面ABC,

所以EG〃平面ABC

又因為4Bi=4B+BBi=a+c,FG=FD1+D1G=1c+ia=i4F1,且FG與AB,

無公共點，

所以FG〃ABi,

因為FGQ平面ABC,ABc平面ABC,

所以FG〃平面ABC

又因為FGnEG=G,FGu平面EFG,

EGu平面EFG,

所以平面EFG〃平面ABC

12.直三棱柱ABC-ABG中，底面是以NABC為直角的等腰直角三角

形,AC=2a,BB尸3a,D是AC的中點，在線段AA】上是否存在點F,使CF

_L平面B,DF,若存在,求出AF的長,若不存在,請說明理由.

A

解:存在.以B為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz,

則C(0,V2a,0),B.(0,0,3a),D(亨a,ya,3a).

假設(shè)存在點F,使CFJ_平面BQF,

不妨設(shè)AF=b(0WbW3a),

貝ijF(V2a,0,b),CF=(Via,-V2a,b),

B[F=(V2a,0,b-3a),B；O=(ya,ya,0).

-,—>

2

因為CT?F1D-a-a+0=0,

-,—>—>—,

所以CFLBM恒成立.由名尸?CF=2a+b(b-3a)=2a2+b-3ab=0,

得b=a或b=2a.

所以當(dāng)AF=a或AF=2a時,CF_L平面BQF.

13.如圖，正方形ABCD和正方形CDEF所在平面的二面角是60°,M為

BC中點.

⑴求證：EC〃平面AMF;

⑵求AF與平面EMC所成角的正弦值.

(1)證明：由題意可知DCIDA,過點D作z軸垂直底面ABCD,

則Z軸垂直DC和DA,以DA所在直線為X軸,DC所在直線為y軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)邊長DA=2a.

因為四邊形ABCD和CDEF都是正方形，所以DC_LDA,DC±DE,

所以NADE為正方形ABCD和CDEF所成的二面角，

所以NADE=60。.

D(0,0,0),C(0,2a,0),B(2a,2a,0),A(2a,0,0),F(a,2a,V3a),

E(a,0,V3a),M(a,2a,0),

貝廨=(-a,2a,-Via),AM=(-a,2a,0),MF=(0,0,V3a),

設(shè)平面AMF的一個法向量為m(x,y,z),

則［薪?m=0,(-ax+2ay=0,

取y=l,則x=2,z=0,

所以m=(2,1,0),

—>

有EC,m=0,

又EC。平面AMF,

所以EC〃平面AMF.

(2)解：由(1)知局=(0,2a,-V3a),CM=(a,0,0),AF=(-a,2a,V3a),

設(shè)平面EMC的一個法向量為n(xbyi,z,),

EM?n=0,=0,

CM-n=O*=O,

取Zi=V3,則yi=|,Xi=0,

所以n=(0,I，V3),

\cos<AF,n>|-華”|病一|二手，

AF\?|n|苧.2y[2a7

所以AF與平面EMC所成角的正弦值為手.

14.如圖,已知多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形,AB=2,AD=4,EF

〃AD,且EF=2,AF=BF=DE=V6,M,N分別為FB,BC的中點.

⑴證明:AF_L平面DMN;

⑵求直線DN與平面EFBC所成角的正弦值.

⑴證明：以A為原點,AB,AD所在直線分別為x軸,y軸,過點A作Z軸

垂直于平面ABCD,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),

N(2,2,0),

取AB中點S,連接FS,由于AF=BF,

所以SF_LAB,

因為AB_LAD,EF〃AD,

所以AB_LEF,

由于EFnSF=F,EF,SFu平面EFS,ABQ平面EFS,

所以AB_L平面EFS,

所以點F的橫坐標(biāo)為1,

又因為四邊形ADEF為等腰梯形，故點F的縱坐標(biāo)為1,

因為AF=BF=V6,AB=2,

所以SF=V5,

所以點F的豎坐標(biāo)為2,即F(l,1,2),

所以M(|,g,1),

TT47T

所以力尸=(1,l),DN=(2,—2,0),

設(shè)平面DMN的一個法向量為n=(x(),yo,z0),

n,DM=0,

所以

n?DN=0,

即gg+Zo=/0,

Do=

取x°=l,則n=(l,l,2),因為n=4F,

所以n〃4F,

所以AF_L平面DMN.

(2)解：因為DN=(2,-2,0),BC=(0,4,0),BF=(-l,1,2),

設(shè)平面BCEF的一個法向量為m=(xbybz>),

m?BC=0,，

所以Ji=0

元

jn,BF=0,1=yi+2z~

取Zi=l,則mW,0,1).

設(shè)直線DN與平面EFBC所成角為0,

則sin9=|cos<m,DN>\=-^.

所以直線DN與平面EFBC所成角的正弦值為唱.

C級應(yīng)用創(chuàng)新練

15.在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PAJ_底面ABCD,點E,F分別是

PB,PD的中點，PA=AB=1,BC=2,用向量方法證明：

⑴EF〃平面ABCD;

⑵平面PAD_L平面PDC.

證明：⑴以點A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP

所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1).因為點E,F分

別是PB,PD的中點,則F(0,1,§,E(i0,|),

得ri嗎一1,0),易=(一1,2,0),所以還忖薪,即EF//BD.

又BDu平面ABCD,EFC平面ABCD,

所以EF〃平面ABCD.

(2)由(1)可知藁=(0,2,-1),(0,0,1),

AD=(Q,2,0),DC=(l,0,0),

—>—>

因為4P?OC=(0,0,1)?(1,0,0)=0,

AD?ZX：=(0,2,0)?(1,0,0)=0,

—>—>T—>

所以4PJ_DC,ADLDC,

即APIDC,AD±DC.

又APGAD=A,APu平面PAD,

ADu平面PAD,

所以DC_L平面PAD.

因為DCu平面PDC,

所以平面PAD_L平面PDC.

16.(2021?湖南長沙高三階段檢測)如圖,在三棱柱ABC-A1B,C1中，四

邊形AACC是邊長為4的正方形，平面ABC,平面AACC,AB=3,BC=5.

(1)求證:AAi_L平面ABC;

(2)求平面A