四川省成都市雙流區(qū)3年（2019-2021）九年級（上）期末數(shù)學試卷匯編-03解答題

四川省成都市雙流區(qū)3年（2019-2021）九年級（上）期末數(shù)學

試卷匯編-03解答題

一.解一元二次方程-直接開平方法（共1小題）

1.（2021秋?雙流區(qū)期末）（1）計算：（』）一1-（-1）2022+（1--rr）o-V9：

3

（2）解方程：（x+1）2=3（x+1）.

二.解一元二次方程-公式法（共1小題）

2.（2020秋?雙流區(qū)期末）（1）計算：（工）一2-J§cos30°+（1-n）°-河；

2

（2）解方程：x（2r-5）=4x-10.

三.解一元二次方程-因式分解法（共1小題）

3.（2019秋?雙流區(qū)期末）（1）計算：（』）-1-173-2|-3tan30°+（2。紗+口）0；

22019

（2）解方程：（x+8）（x+1）=-12.

四.一元二次方程的應用（共1小題）

4.（2021秋?雙流區(qū)期末）某超市經(jīng)銷一種商品，每件成本為50元.經(jīng)市場調(diào)研，當該商

品每件的銷售價為60元時，每個月可銷售300件，若每件的銷售價每增加1元，則每個

月的銷售量將減少10件，設該商品每件的銷售價為x元，每個月的銷售量為y件.

（1）求y與x的函數(shù)表達式；

（2）若超市某月銷售該商品共獲得利潤4000元，求這個月該商品每件的銷售價為多少

元？

五.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共3小題）

5.（2021秋?雙流區(qū)期末）如圖，平面直角坐標系中，直線yi=fcv+6分別與x,y軸相交于

點A,B,與雙曲線"=如分別交于點C,。（點C在第一象限，點。在第三象限），作

x

CEJ_x軸于點E.己知。4=4,OE=OB=2.

（1）求直線A8和反比例函數(shù)的表達式；

（2）在），軸上是否存在一點P,使S“BP=SACEO?若存在，請求出。的坐標；若不存在,

請說明理由.

6.(2020秋?雙流區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=ax-3a(aW0)與x軸、>?

軸分別相交于A、B兩點，與雙曲線y=K(%>0)的一個交點為C,且BC=LAC.

x2

(1)求點A的坐標；

(2)當S&AOC=3時，求。和&的值.

7.(2019秋?雙流區(qū)期末)已知一次函數(shù)yi=2x+m的圖象與反比例函數(shù)”=目的圖象交于

x

A,8兩點，且點4的橫坐標為1.

(1)求一次函數(shù)的表達式；

(2)若反比例函數(shù)在第一象限的圖象上有一點C到y(tǒng)軸的距離為3,求△ABC的面積.

8.(2021秋?雙流區(qū)期末)如圖，過A(2,0),8(0,2)的直線y=-x+2與雙曲線尸區(qū)

4x

(x>0)交于P(1,3),Q(3,1)兩點，連接。。.點C是線段04上一點(不與

2222

O,A重合），C￡>_LAB于。，DELOB于E.設CA=a.

（1）求AQ的長；

（2）當a為何值時，CE=AC?

（3）設。。，EC相交于點F,是否存在這樣的點C,使得為等腰三角形？若存在,

求出此時點C的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

七.二次函數(shù)的應用（共2小題）

9.（2020秋?雙流區(qū)期末）某兒童服裝經(jīng)銷商銷售一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的一

周銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數(shù)，其售價、一周銷售量、一周銷售利潤w

（元）的二組對應值如下表：

售價X（元/件）5060

一周銷售量y（件）10080

一周銷售利潤w（元）10001600

注：一周銷售利潤=一周銷售量X（售價-進價）

（1）求y關于x的函數(shù)解析式；

（2）該商品如何定價，才能使一周銷售利潤最大，最大利潤是多少？

10.（2019秋?雙流區(qū)期末）某文具店出售一種文具，每個進價為2元，根據(jù)長期的銷售情

況發(fā)現(xiàn)：這種文具每個售價為3元時，每天能賣出500個，如果售價每上漲0.1元，其銷

售量將減少10個.物價局規(guī)定售價不能超過進價的240%.

（1）如果這種文具要實現(xiàn)每天800元的銷售利潤，每個文具的售價應是多少？

（2）該如何定價，才能使這種文具每天的利潤最大？最大利潤是多少？

八.二次函數(shù)綜合題（共2小題）

11.（2020秋?雙流區(qū)期末）如圖1,在平面直角坐標系中，過點A（5,4）作ABLx軸于點

B,作軸于點C,。為上一點，把△ACD沿8折疊，使點A恰好落在08邊

上的點E處.

(1)己知拋物線＞=2?+小+,?經(jīng)過A、E兩點，求此拋物線的解析式；

(2)如圖2,點尸為線段C。上的動點，連接8兄當△BDF的面積為21時，求tan/

20

BFD的值；

(3)將拋物線y=2?+fcr+c平移，使其經(jīng)過點C,設拋物線與直線4c的另一個交點為

M,問在該拋物線上是否存在點M使得ACMN為等邊三角形？若存在，求出點N的坐

標；若不存在，請說明理由.

12.(2019秋?雙流區(qū)期末)已知，矩形OA8C在平面直角坐標系中的位置如圖，點B的坐

標為(6,3),拋物線(aWO)經(jīng)過點A.

(1)求c的值：

(2)若a=-l,且拋物線與矩形OABC有且只有三個交點A,D,E,求的面積

S的最大值；

(3)若拋物線與矩形有且只有三個交點A,M,N,線段MN的垂直平分線/過點O,交

線段8c于點F.當8F=1時，求拋物線的表達式.

九.四邊形綜合題(共3小題)

13.(2021秋?雙流區(qū)期末)已知,在菱形488中，ZABC=60°，點P在射線A8上,

點。在射線BC上，且AP=8Q.連接4C,AQ,CP,直線A。與直線CP交于點H.

(1)如圖1,當P,。兩點分別在線段AB和線段BC上時，求證：AQ=CP；

(2)如圖2,當P,Q兩點分別到線段AB和線段BC的延長線上時.

①求/C4Q的度數(shù)；

②連接。H,過點。作。E_LP〃交PH延長線于點E.若AH=,〃，DH=〃,求CE的長

14.(2020秋?雙流區(qū)期末)如圖1,在矩形ABC。中，AB=8,BC=6,連接AC,點。為

AC的中點，點E為線段8c上的動點，連接OE,過點。作。尸，?！杲籄B于點F,連

接EF.

(1)如圖1,當CE=3時，求OF的長:

(2)如圖2,當點E在線段8c上運動過程中，?2的大小是否發(fā)生變化？若變化，請說

0E

明理由；若不變，請求出型的值；

0E

15.(2019秋?雙流區(qū)期末)如圖，等邊aABC中，D,尸分別是邊BC,A8上的點，且CD

=BF,以A￡＞為邊向左作等邊△ADE,連接CF,EF,設圖□=&.

DC

(1)求證：CF=DE；

(2)當NDEF=45°時，求火的值：

(3)是否存在實數(shù)上使的CDEF=25AABC?若存在，求出左的值；若不存在，請說明

2

理由.

A

E

一十.作圖一應用與設計作圖（共1小題）

16.（2019秋?雙流區(qū)期末）如圖1、圖2都是由邊長為1的小菱形構成的網(wǎng)格，每個小菱形

的頂點稱為格點.已知點O,M,N,A,B均在格點上，請按要求完成下列問題：

（1）在圖①中，僅用無刻度直尺在網(wǎng)格中畫出NMON的平分線OP,并簡要說明畫圖的

依據(jù)；

（2）在圖②中，僅用無刻度直尺在網(wǎng)格中畫一個RtZXABC,使點C在格點上，并簡要說

明畫圖的依據(jù).

一十一.幾何變換綜合題（共1小題）

17.（2020秋?雙流區(qū)期末）如圖1,在RtZXABC中，N4CB=90°,AC=BC,將點C繞點

B,順時針旋轉(zhuǎn)105°得到點D,連接BD,過點D作DELBC交CB延長線于點E,點F

為線段OE上的一點，且/QBP=45°,作/8尸。的角平分線FG交AB于點G.

（1）求NBF。的度數(shù)：

（2）求8尸，。凡G尸三條線段之間的等量關系式；

⑶如圖2,設H是直線CE上的一個動點，連接HG,HC,若AB=&,求線段HG+HC

的最小值（結果保留根號）.

一十二.相似三角形的應用(共1小題)

18.(2021秋?雙流區(qū)期末)如圖，一教學樓AB的高為20/M,教學樓后面水塔CD的高為

30〃?，已知BC=30〃z,小張的目高E尸為16".當小張站在教學樓前E處時，剛好看到

教學樓頂端A與水塔頂端。在一條直線上，求此時他與教學樓的距離BE.

一十三.作圖-位似變換(共1小題)

19.(2021秋?雙流區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A(0,

2),B(1,3),C(2,1).

(1)請在平面直角坐標系中，以原點O為位似中心，畫出AABC的位似圖形△All。,

使它與aABC的相似比為2：1；

(2)求出△481。的面積.

一十四.相似形綜合題(共2小題)

20.(2021秋?雙流區(qū)期末)如圖，等邊△ABC的邊長為12,點。，E分別在邊AB,AC上,

且A￡>=AE=4,點F為8A延長線上一點，過點F作直線/〃BC,G為射線BC上動點,

連接GD并延長交直線/于點”，連接尸E并延長交BC于點M,連接，E并延長交射線

BC于點N.

(1)若AF=4,當BG=4時，求線段HF和E”的長；

(2)若AF=a(a>0),點G在運動過程中，請判斷△HGN的面積是否改變.若不變，

求出其值(用含。的代數(shù)式表示)；若改變，請說明理由.

21.(2019秋?雙流區(qū)期末)如圖，在四邊形A8CD中，AD//BC,AB=CD=BC=6,AD=

3,NB=NC.點M為邊BC的中點，點E,F分別在邊A8,CQ上，連接EM,FM,

EF,有NEMF=NB.

(1)求證：EM?MC=MF,EB；

(2)若△BEM是以EM為腰的等腰三角形，求E尸的長；

(3)若EF_LC￡>,求BE的長.

D

夕------M-------c

一十五.解直角三角形的應用（共1小題）

22.（2020秋?雙流區(qū)期末）小明嘗試用自己所學的知識檢測車速，如圖，他將觀測點設在

到公路/的距離為（）.1千米的P處.一輛轎車勻速直線行駛過程中，小明測得此車從A

處行駛到2處所用的時間為4秒，并測得NAPO=59°,N8PO=45°.根據(jù)以上的測

量數(shù)據(jù)，請求出該轎車在這4秒內(nèi)的行駛速度.（參考數(shù)據(jù)：sin59°^0.86,cos59°七0.52,

tan590=1.66）

一十六.解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共1小題）

23.（2019秋?雙流區(qū)期末）如圖，一旗桿AB需要被一根鋼繩以固定，施工者在點P處測

得旗桿頂端A的仰角為53°.已知點P到旗桿的距離PB為12〃?，那么施工者至少需要

準備多長的鋼繩？

（參考數(shù)據(jù)：sin53°-0.80,cos53°七0.60,tan53°F.33）

一十七.列表法與樹狀圖法（共3小題）

24.（2021秋?雙流區(qū)期末）小明設計了一個摸球試驗：在一個不透明的箱子里放入4個相

同的小球，球上分別標有數(shù)字0,10,20和30,然后從箱子里先后摸出兩個小球（第一

次摸出后不放回）.

（1）摸出的兩個小球上所標的數(shù)字之和至少為，最多為；

（2）請你用畫樹狀圖或列表的方法，求出摸出的兩個小球上所標的數(shù)字之和不低于30

的概率.

25.（2020秋?雙流區(qū)期末）目前中學生帶手機進校園現(xiàn)象越來越受到社會關注，針對這種

現(xiàn)象，某校數(shù)學興趣小組的同學隨機調(diào)查了學校若干名家長對“中學生帶手機”現(xiàn)象的

態(tài)度，在此次調(diào)查活動中，初三（1）班和初三（2）班各有2位家長對中學生帶手機持

反對態(tài)度，現(xiàn)從這4位家長中選2位家長參加學校組織的家?；顒?

（1）請用畫樹狀圖或列表的方法表示2位家長所在班級的所有可能出現(xiàn)的結果；

（2）求選出的2位家長來自相同班級的概率.

26.（2019秋?雙流區(qū)期末）小剛和小明玩數(shù)學游戲，小剛取出一個不透明的口袋，口袋中

裝有四張分別標有數(shù)字2,3,4,6的卡片，卡片除數(shù)字外其余都相同，小剛要求小明從

中隨機抽取一張卡片并記錄下卡片上的數(shù)字，將卡片放回洗勻，再次從中隨機抽取一張

卡片，同樣記錄下卡片上的數(shù)字.

（1）請用畫樹狀圖或列表的方法表示小明兩次抽取卡片的所有可能出現(xiàn)的結果；

（2）求小明兩次抽到的卡片上的數(shù)都能被2整除的概率.

四川省成都市雙流區(qū)3年(2019-2021)九年級(上)期末數(shù)學

試卷匯編-03解答題

參考答案與試題解析

一.解一元二次方程-直接開平方法(共1小題)

1.(2021秋?雙流區(qū)期末)(1)計算：(』)-(-1)2022+d-n)0-V9；

3

(2)解方程：(x+1)2=3(x+1).

【解答】解：(1)原式=3-1+1-3

=0;

(2)(x+1)2=3(x+1),

(x+1)2-3(x+1)=0,

則(x+1)(x-2)=0,

；.x+l=0或x-2=0,

解得Xl=-1,XI—1.

二.解一元二次方程-公式法(共1小題)

2.(2020秋?雙流區(qū)期末)(1)計算：(/)-2-J§COS30°+(1-n)°-J§；

(2)解方程：x(2x-5)=4x-10.

【解答】解：(1)(A)-2-V3COS30°+(1-n)°-V9

2

=4-A/3X—+1-3

2

=1.

2

(2)Vx(2x-5)=4x-10,

:.x(2x-5)=2(2x-5),

:.(x-2)⑵-5)=0,

.*.x-2=0或2x-5=0,

***X1=2,X2=-^-.

2

三.解一元二次方程.因式分解法(共1小題)

3.(2019秋?雙流區(qū)期末)(1)計算：(2)r--2|-3tan30°+(2020+tc)0；

22019

(2)解方程：(x+8)(x+1)=-12.

【解答】(1)解：原式=2-(2-73)-3X近+1

3

=1.

(2)解：(x+8)(x+1)=-12,

.".X2+9X+20=0,

二(x+4)(x+5)=0,

.'.Xi=-4,X2—-5,

四.一元二次方程的應用(共1小題)

4.(2021秋?雙流區(qū)期末)某超市經(jīng)銷一種商品，每件成本為50元.經(jīng)市場調(diào)研，當該商

品每件的銷售價為60元時，每個月可銷售300件，若每件的銷售價每增加1元，則每個

月的銷售量將減少10件，設該商品每件的銷售價為x元，每個月的銷售量為y件.

(1)求y與x的函數(shù)表達式；

(2)若超市某月銷售該商品共獲得利潤4000元，求這個月該商品每件的銷售價為多少

元？

【解答】解：(1)根據(jù)題意，y=300-10(x-60)

.?.y與x的函數(shù)表達式為：y—-10x+900；

(2)設每個月的銷售利潤為w元，

由(1)知：vv=(x-50)(-10x+900)

=-10?+1400x-45000,

由題意得：-107+14OO.r-45000=4000,

解得：x=70,

...這個月該商品卷件的銷售價為70元.

五.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題(共3小題)

5.(2021秋?雙流區(qū)期末)如圖，平面直角坐標系中，直線a=日+6分別與x,y軸相交于

點A,B,與雙曲線”=典分別交于點C,。(點C在第一象限，點。在第三象限)，作

x

CEJ_x軸于點E.已知。4=4,OE=OB=2.

(1)求直線48和反比例函數(shù)的表達式；

(2)在)，軸上是否存在一點P,使SAABP=&CEO?若存在，請求出P的坐標；若不存在,

請說明理由.

【解答】解：(1)在Rtz^AOB中，0A=4,0E=0B=2,

二點A,8的坐標分別為(-4,0),(0,2),

f1

將點A,2的坐標代入直線的表達式，得［b=2，解得|卜而，

I-4k+b=0b=2

/.直線AB的表達式為yi=工+2,

2

當x=2時，yi=—Y+2=3,

2X

工點C的坐標為(2,3),

將點。的坐標代入”=皿得：3=螞，解得加=6,

x2

...反比例函數(shù)的表達式72=旦；

X

(2)存在，

設點P的坐標為(0,力

則SACEO——CE'OE——X9X3=3，

22

而SyBP=尸?0A=』X|2-1X4=2X12-t\=3,

22

解得或工，

22

...點尸的坐標為(0,-1)或(0,1).

22

6.(2020秋?雙流區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系中，直線(aWO)與x軸、y

軸分別相交于A、8兩點，與雙曲線y=K(x>0)的一個交點為C,且8C=』AC.

x2

(1)求點A的坐標；

(2)當SAAOC=3時，求。和女的值.

【解答】解：（1）由題意得：令y=ar-3a（aWO）中y=O,

即nx-3a=O,解得x=3,

.?.點A的坐標為（3,0）,

故答案為（3,0）.

（2）過C點作y軸的垂線交y軸于M點，作x軸的垂線交x軸于N點，如下圖所示:

；.NBCM=NBAO,且NAB0=NC20,

...△BCMS^BAO,

?BC_CM即.1_CM

?京詁‘、?3'~，

二CM=I,

又S"OC李A?CN=3

即：yX3XCN=3>

???CN=2,

???C點的坐標為(1,2),

故反比例函數(shù)的&=1X2=2,

再將點C(1,2)代入一次函數(shù)y=or-3a(〃70)中,

即2=〃-3a,解得a—~1,

???當SAAOC=3時，a=-1,k=2.

7.（2019秋?雙流區(qū)期末）已知一次函數(shù)yi=2x+〃?的圖象與反比例函數(shù)”=旦的圖象交于

X

A,B兩點,且點A的橫坐標為1.

（1）求一次函數(shù)的表達式；

（2）若反比例函數(shù)在第一象限的圖象上有一點。到y(tǒng)軸的距離為3,求△A8C的面積.

【解答】解：（1）???點A的橫坐標為1,代入反比例函數(shù)表達式，得”=,=6,

???點A的坐標為（1,6）,

又?:點A在一次函數(shù)yi=2x+次的圖象上，

，2+"?=6,

.??加=4,

???一次函數(shù)的表達式為yi=2x+4；

（2）由題意知點C的橫坐標為3,代入反比例函數(shù)表達式得”=旦=2,

3

...點C的坐標為（3,2）,

過點C作CD//X軸交直線AB于D,則點D的縱坐標為2,

2x+4=2,

??x--1,

：.D（-1,2）,

??.CD=4,

y=2x+4zz_

由，6，解得卜/或（x=-3,

y=YIy=6|y=-2

...點B的坐標為（-3,-2）,

SAABC—SAACD+SABCD——CD,(yA-yB)=—X4X(6+2)=16.

22

8.(2021秋?雙流區(qū)期末)如圖，過A(2,0),B(0,2)的直線y=-x+2與雙曲線y=2

4x

(x>0)交于P(X3),Q(旦，-1)兩點，連接OQ.點C是線段OA上一點(不與

2222

O,A重合)，C￡>_LAB于。，DElOB^rE.設CA=a.

(1)求AQ的長;

(2)當a為何值時，CE=AC?

(3)設OQ,EC相交于點F,是否存在這樣的點C,使得△OEF為等腰三角形？若存在,

'：Q(旦，工),

22

：.QN=-L,

VZBOA=90°，OA=OB=2,

：.ZOAB=ZOBA=45°,

：.AQ=yTiQN=返;

2

(2)如圖1中，過點。作DG±OA于點G.

'：ZOAB=45°，CDVAB,

/.△CDA是等腰直角三角形,

.*.OG=』C4=L,

22

'JDEVOB,

，四邊形OEDG是矩形,

...OE=DG=L,

2

'：CE=AC,

(2-?)2+(Aa)2=“2,

2

解得，a=8+4?(舍去)，或a=8-4料,

.,.當a=8-4?n寸，CE=AC；

(3)存在.由(2)可知，C(2-m0),E(0,A),

2

/.直線CE的解析式為且,

-2a-42

?.?Q(1,1),

22

直線OQ的解析式為y=L,

3

2

aa6a-3a

y=x4x=a+4

由，2:TT7,解得，,

2a-a2

?p(6a~32a-a^

a+4a+4

①如圖2中，當EF=OF時，過點F作FHLOE于點H,則。"=」?！?

2

...2a-a2=L,

a+44

解得，。=0(舍去)或。=匹，

5

經(jīng)檢驗，。=且是分式方程的解，

5

：.C&,0).

5

②如圖3中，當OE=O/時，則OF=L,

2

過點F作FHLOC于點H.

??p（6a~32a~

a+4a+4

：.FH=1.OH,

3

解得，a=0(舍去)或“=空全匝，

_13

經(jīng)檢驗，“=竺生叵是分式方程的解，

_13

:.c(4^IQ-L2.,o).

13_

③當OE=E尸時，過點E作EKLOF于點K,則OK=L)F=『^_FH,

22

由△E0KS/\0/7/,可得0E=Fd0K=5FH,BPFH=loE,

5

?2a-a2—1〃

?------——cl,

a+410

解得，a=0（舍去）或“=」與，

11

經(jīng)檢驗，“=」旦是分式方程的解，

11

綜上所述，滿足條件的點C的坐標為（旦，0）或（空叵N,0）或（且，0）.

51311

七.二次函數(shù)的應用（共2小題）

9.（2020秋?雙流區(qū)期末）某兒童服裝經(jīng)銷商銷售一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的一

周銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數(shù)，其售價、一周銷售量、一周銷售利潤w

（元）的二組對應值如下表：

售價x（元/件）5060

一周銷售量y(件)10080

一周銷售利潤w(元)10001600

注：一周銷售利潤=一周銷售量X(售價-進價)

(1)求)，關于x的函數(shù)解析式；

(2)該商品如何定價，才能使一周銷售利潤最大，最大利潤是多少？

【解答】解：(1)設y關于x的函數(shù)解析式是>=日+6,

f50k+b=100)

I60k+b=80'

解得”=-2,

lb=200

即y關于x的函數(shù)解析式是y=-2A+200;

(2)進價為50-1000+100=40(元/件)，

w=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)2+1800,

，當x=70時，w取得最大值，此時卬=1800,

答：該商品定價為70元/件時，才能使一周銷售利潤最大，最大利潤是1800元.

10.(2019秋?雙流區(qū)期末)某文具店出售一種文具，每個進價為2元，根據(jù)長期的銷售情

況發(fā)現(xiàn)：這種文具每個售價為3元時，每天能賣出500個，如果售價每上漲0.1元，其銷

售量將減少10個.物價局規(guī)定售價不能超過進價的240%.

(1)如果這種文具要實現(xiàn)每天800元的銷售利潤，每個文具的售價應是多少？

(2)該如何定價，才能使這種文具每天的利潤最大？最大利潤是多少？

【解答】解：(1)設實現(xiàn)每天800元利潤的售價為x元/個，根據(jù)題意，得

(x-2)(500-10)=800

0.1

整理得：x2-10J:+24=0,解得：xi=4,%2=6

???物價局規(guī)定，售價不能超過進價的240%,即2X240%=4.8(元)

.?.x=6不合題意，舍去，；.x=4

售價為4元/個，每天可獲得800元的利潤

(2)設每天利潤為w元，定價為x元/個，得

w=(x-2)(500-^.X10)=-100A-2+1000X-1600=-100(x-5)2+900

0.1

當時w隨x的增大而增大，且xW4.8

當x=4.8時，w最大

W最大=-100X（4.8-5）2+900=896

當定價為4.8元/個時，每天利潤最大，最大利潤是896元

八.二次函數(shù)綜合題（共2小題）

11.（2020秋?雙流區(qū)期末）如圖1,在平面直角坐標系中，過點A（5,4）作軸于點

B,作軸于點C,。為AB上一點，把△4CD沿CO折疊，使點A恰好落在OB邊

上的點E處.

（1）己知拋物線y=2?+/w+c經(jīng)過A、E兩點，求此拋物線的解析式；

（2）如圖2,點尸為線段C。上的動點，連接當△BD尸的面積為2L時，求tan/

20

BFD的值；

（3）將拋物線y=2?+〃x+c平移，使其經(jīng)過點C,設拋物線與直線AC的另一個交點為

M,問在該拋物線上是否存在點M使得△CMN為等邊三角形？若存在，求出點N的坐

標；若不存在，請說明理由.

【解答】解：（1）???點A的坐標為（5,4）,A8J_x軸于B,ACLy軸于C,

；.AC=5,AB=4,/A8O=/ACO=/COB=90°,

四邊形48OC是矩形,

：.BO=AC=5,CO=AB=4,

?：/\CED是由△CAO翻折得到,

：.CE=AC^5,DE=AD,

在Rt/XCEO中，OC=4,CE=5,

O^VEC2-C02=V52-42=3,

：.E(3,0),BE=2,

把E(3,0),A(5,4)代入y=Z?+6x+c得

ri8+3b+c=0；解得(b=-14,

I50+5b+c=4Ic=24

拋物線的解析式為y=2?-14x+24.

(2)如圖2中，過點尸作尸G_LA8于G,8Hl.c。交CD的延長線于H.設。E=AO=

在RtZ^BE。中，DE2=BE2+BD2,

，/=(4-x)2+22,

.\x=—,

2

：.AD=^-,QB=3,

22

：.XxDBXFG=^~,

220

:.FG=2

5

'：FG//AC,

.FG_=DG_

**ACDA'

9_

.y=DG

'T"

2

.?.￡)G=a,

10

DF=VFG2+DG2=-^-'

ZFGD=ZBHD,ZFDG=ZBDH,

.?.△BDHS/XFDG,

???BD-DH-BH,

DFDGFG

3

2_PH_BH

975"IT'

IF105

675

:.DH=3^-,BH=3^-FH=FD+DH=

1055

：.tanZBFD=^-=l.

FH2

（3）如圖3中，設平移后的拋物線為y=2?+fer+4,

2

.??點N只能是頂點，頂點N（-塵，絲蟲一）,

48

:.IN=MCL

.?訴當=4-四±1,

48

±2禽，

滿足條件的點N的坐標為（亞，5）或（-近，1）.

2222

12.（2019秋?雙流區(qū)期末）已知，矩形OA8C在平面直角坐標系中的位置如圖，點B的坐

標為（6,3）,拋物線、=公?+法+,（a六0）經(jīng)過點A.

（1）求c的值；

（2）若a=-1,且拋物線與矩形OABC有且只有三個交點A,D,E,求△4OE的面積

S的最大值；

（3）若拋物線與矩形有且只有三個交點A,M,N,線段例N的垂直平分線/過點O,交

線段BC于點F.當BF=1時，求拋物線的表達式.

【解答】解：(1)??,矩形OA8C在平面直角坐標系中的位置如圖，頂點8的坐標為(6,

3),

：.0(0,0),4(0,3),C(6,0),

又二?拋物線y=ar2+bx+c經(jīng)過點A(0,3),

，c=3；

(2)Va=-1,

.1y=-x2+bx+3,

如圖1,當拋物線與矩形的兩個交點。，E分別在A3,。。邊上時,

拋物線與直線％=6的交點應落在C點或C點下方，

當%=6時，yWO,

???-62+6b+3W0,

解得：6W旦，

2

又?對稱軸在)，軸右側，

：.b>0,

：.0<bW11,

2

由拋物線的對稱性可知：

AD=2X(--L)=2X[---------------]=b,

2a2X(-1)

又；ZVIDE的高=BC=3,

；.S=JLX0X3=&b,

22

,/旦>0,

2

...S隨〃的增大而增大，

二當人=旦時，s的最大值=2x2l=絲，

2224

如圖②，當拋物線與矩形的兩個交點D,E分別在A8,BC邊上時,

拋物線與直線x=6的交點應落在線段BC上且不與點B重合,

即0WyE<3,

.?.當x=6時，y=-62+6人+3=6萬-33,

.?.0W66-33<3,

Wb<6,

2

：.BE=3-(6b-33)=36-6b,

S=A-6b)--3/+188,

22

?對稱軸在6=3<旦，

2

；.s隨6的增大而減小，

.?.當匕=旦時，S的最大值=23,

24

綜上所述：S的最大值為更；

4

(3)當〃>o時，符合題意要求的拋物線不存在,

當4<0時，符合題意要求的拋物線有兩種情況，

①當點M,N分別在A8,0C邊上時，

如圖3,過M點作MGLOC于點G,連接0M,

；.MG=0A=3,/2+/MNO=90°,

；。尸垂直平分MM

：.OM=ON,NT+NMNO=90°,

：.Zl=Z2,

；.CF=3-1=2,

，tan/1=型=2=_1,

OC63

/?tanZ2==tanZl=A,

MG3

：.GN=AMG=\,

3

設N0),則G(n-1,0),

：.M(n-1,3),

.*.AM=n-1,ON=n=OM,

在RtZiAOM中，0"=042+4知2,

An2=32+(n-1)2,

解得：72=5,

：.M(4,3),N(5,0),

把M(4,3),N(5,0)分別代入＞=-7+法+3,

得［3=16a+4b+3

10=25a+5b+3

(3

拋物線的表達式為y=-+4+3,

55

②當點M,N分別在AB,BC邊上時，

如圖4,連接MF,

尸垂直平分MN,

：.Zl+ZNFO=90Q,MF=FN,

又：NOCB=90°,

：.Z2+ZNFO=90Q,

.*.Z1=Z2,

"：BF=\,

：.FC=2,

tanZl=tanZ2=^-=—

0C63

在RtaMBN中，tan/l=!I5_=L,

BN3

:.BN=3MB,

設N(6,n),則FN=2-n,BN=3-n,

：.MF=2-n,MB=^-=l-L,

33

在RtAMBF中，"：MF1=MB1+FB1,

(2-n)2—(1-A/；)2+l2,

3

解得：m——,〃2=3(不合題意，舍去),

4

4

.,.AM=6--=2LL,

44

：.M(處，3),N(6,3)，

44

把M(21,3),N(6,3)分別代入卜=-/+法+3,

44

3=外)2a號b+3

得：L,

3

--r=36a+6b+3

4

...拋物線的表達式為y=-」*2+罵什3,

28

y=-42+2^+3.

28

九.四邊形綜合題（共3小題）

13.（2021秋?雙流區(qū)期末）已知，在菱形A8CO中，NA8C=60°,點P在射線AB上，

點Q在射線BC上，且AP=8Q.連接AC,AQ,CP,直線A。與直線CP交于點，.

（1）如圖1,當P,Q兩點分別在線段AB和線段BC上時，求證：AQ=CP；

（2）如圖2,當P,Q兩點分別到線段A8和線段8c的延長線上時.

①求NCHQ的度數(shù)；

②連接DH，過點。作DEJLP“交P”延長線于點E.若A"=機，DH=n,求CE的長

（用含加，〃的代數(shù)式表示）.

【解答】解：（1）:四邊形48。是菱形，ZABC=60°,

：.AB=BC=AD=CD,NABC=NA￡)C=60°,

；?△ABC是等邊二角形，△?（?￡）是等邊二角形,

，NA8Q=NC4P=60°,AB=CA,

\'AP=BQ,

.?.△ABQ絲(SAS),

：.AQ=CP-.

(2)①:△ABC是等邊三角形，

AZABQ=ZCAP=60a,AB=CA,

'：AP=BQ,

:.△ABQQXCAP(SAS),

：.ZBAQ^ZACP,

'：ZQHC=ZBAQ+ZAPH,

：.ZQHC=ZACP+ZAPH=\SO°-/以C=180°-60°=120°；

②如圖2,延長”E到F,使EF=HE,連接QF,貝ij尸，

設AH與C￡)交于M,

；NQHC=120°,

AZAHC=60°,NAHE=120°,

'：△ACQ是等邊三角形，

：.AD=CD=AC,NZMC=60°=NACD=NADC,

NADC=ZAHC,

NAMD=NCMH,

LAMDs/\CMH,

AAMJDM,ZDAH=/DCH,

CMHM

?.*NAMC=ZDMH,

AZACD=ZAHD=60°,

：.ZHDE=ZAHE-ZAHD=60°,

...△￡WF是等邊三角形，

:.HF=DH=DF,NF=NDHF=60°,

:.EF=HE=LDH,

2

"：AD=CD,ZDAH=ZDCH,NF=NAH￡)=60°,

:.AADH會/\CDF(A4S),

ACF^AH,

：.AH-CE=CF-CE=EF=LDH,

2

?.CE=AH-工DH=m-X?.

14.（2020秋?雙流區(qū)期末）如圖1,在矩形A8CD中，AB=8,BC=6,連接AC,點。為

AC的中點，點E為線段BC上的動點，連接OE,過點。作OFLOE,交A8于點F,連

接EF.

（1）如圖1,當CE=3時，求。尸的長；

（2）如圖2,當點E在線段BC上運動過程中，旦2的大小是否發(fā)生變化？若變化，請說

0E

明理由；若不變，請求出好的值；

0E

【解答】證明：（1）???四邊形ABCQ是矩形,

.,.NA8C=90°,BC=6=AD,

；C￡=3,

：.BE=CE,

,:BO=OD,

：.OE//AB,

：.ZOEB+ZFBE=1S0o,

；.NOEB=90°,

OEJLOF,

；.NEOF=90°,

四邊形OEBF是矩形，

OF=BE=3；

(2)?2的值不變，

0E

理由如下：如圖2,過點。作ON1.BC于N,0M_LA8于M,

圖2

:.NONB=NOMB=90°,

又；NABC=90°,

，四邊形0M8N是矩形，

:.NMON=90°,OM//BC,ON//AB,

?OA^OMPC_0W

"AC"BC"而詞

,點。是AC的中點，

:.OA=OC=1AC,

2

：.ON=1AB=4,OM=2BC=3,

22

:NEOF=/MON=90°,

4F0M=NEON,

又,：NONE=ZOMF=90°,

.,.△ONES△。例尺

.OF_0M_3.

',0E"ON"I'

(3)當點E在點N的下方時，如圖3,過點。作ONLBC于N,于M,設點

EF與OB的交點為G,

D