解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

§3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)定理二、柯西不等式三、劉維爾定理解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!一、高階導(dǎo)數(shù)定理分析則由柯西積分公式有又……如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，在上連續(xù)，解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!一、高階導(dǎo)數(shù)定理定理如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，在上連續(xù)，則的各階導(dǎo)數(shù)均在

D

上解析，證明(略)意義解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍解析。應(yīng)用

推出一些理論結(jié)果。

反過來計算積分且

P71定理

3.9

(進(jìn)入證明?)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!(1)令解

例計算則(復(fù)合閉路定理)C2C1C2

i-

i如圖，作

C1

,C2兩個小圓，記為解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!二、柯西不等式定理設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，且則(柯西不等式)證明函數(shù)在上解析，令即得

P73定理

3.10

解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!證(1)任取正數(shù)則函數(shù)在內(nèi)解析，由高階導(dǎo)數(shù)公式有(注意在

上的性態(tài)不知道)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!證(2)(1)(3)令得解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!(3)根據(jù)柯西積分公式有證(4)由即得解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!休息一下……解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!附：高階導(dǎo)數(shù)定理的證明證明(1)

先證的情形，即證根據(jù)柯西積分公式有解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!附：高階導(dǎo)數(shù)定理的證明證明(1)

先證的情形，即證dDCz0如圖，設(shè)

d

為

z0到

C

的最短距離，取適當(dāng)小，使其滿足則即得即解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!解例計算解P73例3.12部分

解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!解

例計算C2C2-

iC1

i(2)(高階導(dǎo)數(shù)公式)同樣可求得(3)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!三、劉維爾定理定理設(shè)函數(shù)在全平面上解析且有界，則為一常數(shù)。設(shè)為平面上任意一點，證明函數(shù)在上解析，且根據(jù)柯西不等式有令即得由的任意性，知在全平面上有則為一常數(shù)。P74定理3.11解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!證(1)(2)由有解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!證(1)由于在內(nèi)解析，根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定理可得在內(nèi)，也解析；(2)由可得在內(nèi)，，在內(nèi)解析；解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!證(反證法)

則函數(shù)在全平面上解析，設(shè)函數(shù)其中，

n

為正整數(shù)，例(代數(shù)基本定理)證明方程在全平面上至少有一個根。假設(shè)

在全平面上無根，即又故在全平面上有界，根據(jù)劉維爾定理有(常數(shù))，(常數(shù))，與題設(shè)矛盾。解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!附：高階導(dǎo)數(shù)定理的證明定理如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，在上連續(xù)，則的各階導(dǎo)數(shù)均在

D

上解析，且證明由函數(shù)在上連續(xù)，有在上有界，即設(shè)邊界

C

的長度為

L。(1)

先證的情形，即證解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!附：高階導(dǎo)數(shù)定理的證明證明(1)

先證的情形，即證記為

下面需要證明：當(dāng)時，解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)共20頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!由于前面已經(jīng)證明了解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)，附：