附錄 中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題

附錄中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題1987第二屆年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克1.設(shè)n為自然數(shù)，求方程zn+1-zn-1=0有模為1的復(fù)根的充份必要條件是n+2可被6整除。2.把邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的各邊都n等分，過(guò)各分點(diǎn)平行于其它兩邊的直線，將這三角形分成小三角形，和小三角形的頂點(diǎn)都稱為結(jié)點(diǎn)，在第一結(jié)點(diǎn)上放置了一個(gè)實(shí)數(shù)。已知i.A、B、C三點(diǎn)上放置的數(shù)分別為a、b、c。ii.在每個(gè)由有公共邊的兩個(gè)最負(fù)三角形組成的菱形之中，兩組相對(duì)頂點(diǎn)上放置的數(shù)之和相等。試求iii.放置最大數(shù)的點(diǎn)積放置最小數(shù)的點(diǎn)之間的最短距離。iv.所有結(jié)點(diǎn)上數(shù)的總和S。3.某次體育比賽，每?jī)擅x手都進(jìn)行一場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽一定決出勝負(fù)，通過(guò)比賽確定優(yōu)秀選手，選手A被確定為優(yōu)秀選手的條件是：對(duì)任何其它選手B，或者A勝B，或者存在選手C，C勝B，A勝C。結(jié)果按上述規(guī)則確定的優(yōu)秀選手只有一名，求證這名選手勝所有其它選手。4.在一個(gè)面積為1的正三角形內(nèi)部，任意放五個(gè)點(diǎn)，試證：在此正三角形內(nèi)，一定可以作三個(gè)正三角形蓋住這五個(gè)點(diǎn)，這三個(gè)正三角形的各邊分別平行于原三角形的邊，并且它們的面積之和不超過(guò)0.64。5.設(shè)A1A2A3A4是一個(gè)四面體，S1,S2,S3,S4分別是以A1,A2,A3,A4為球心的球，它們兩兩相切。如果存在一點(diǎn)O，以這點(diǎn)為球心可作一個(gè)半徑為r的球與S1,S2,S3,S4都相切，還可以作一個(gè)半徑為R的球積四面體的各棱都相切，求證這個(gè)四面體是正四面體。6.m個(gè)互不相同的正偶數(shù)與n個(gè)互不相同的正奇數(shù)的總和為1987，對(duì)于所有這樣的m與n，問(wèn)3m+4的最大值是多少？請(qǐng)證明你的結(jié)論。1988年第三屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克1.設(shè)a1,a2,...,an是給定的不全為零的實(shí)數(shù)，r1,r2,...,rn為實(shí)數(shù)，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+rn(xn-an)≦√(x12+x22+...+xn2)+√(a12+a22+...+an2)對(duì)任何實(shí)數(shù)x1,x2,...,xn成立，求r1,r2,...,rn的值。2.設(shè)C1、C2為同心圓，C2的半徑是C1的半徑的2倍，四邊形A1A2A3A4內(nèi)接于C1，將A1A4延長(zhǎng)，交圓C2于B1。設(shè)A1A2延長(zhǎng)線交C2于B2，A2A3延長(zhǎng)線交圓C2于B3，A3A4延長(zhǎng)線交圓C2于B4。試證：四邊形B1B2B3B4的周長(zhǎng)2(四邊形A1A2A3A4的周長(zhǎng))。并確定的號(hào)成立的條件。3.在有限的實(shí)數(shù)列a1,a2,...,an中，如果一段數(shù)ak,ak+1,...,ak+l-1的算術(shù)平均值大于1988，那么我們把這段數(shù)叫做一條“龍”，并把a(bǔ)k叫做這條龍的“龍頭”(如果某一項(xiàng)an>1988，那么單獨(dú)這一項(xiàng)也叫龍)。假設(shè)以上的數(shù)列中至少存在一條龍，證明：這數(shù)列中全體可以作為龍弄的項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)也必定大于1988。4.(1)設(shè)三個(gè)正實(shí)數(shù)a、b、c滿足(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4)。求證：a、b、c一定是某個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)。(2)設(shè)n個(gè)正實(shí)數(shù)a1,a2,...,an滿足(a12+a22+...+an2)2>(n-1)(a14+a24+...+an4)其中n≧3。求證：這些數(shù)中任何三個(gè)一定是某個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)。5.給出三個(gè)四面體AiBiCiDi(i=1,2,3)，過(guò)點(diǎn)Bi、Ci、Di作平面αi、βi、γi(i=1,2,3)，分別與棱AiBi、AiCi、AiDi垂直(i=1,2,3)，如果九個(gè)平面αi、βi、γi(i=1,2,3)相交于一點(diǎn)E，而三點(diǎn)A1、A2、A3在同一直線l上，求三個(gè)四面體的外接球面的放條(形狀怎樣？位置如何？)。6.如n是不小于3的自然數(shù)，以f(n)表示不是n的因子的最小自然數(shù)，例如f(12)=5。如果f(n)3，又可作f(f(n))。類似地，如果，f(f(n))≧3，又可作f(f(f(n)))等等。如果f(f(...f(n)...))=2，共有k個(gè)f，就把k叫做n的“長(zhǎng)度”。如果ln表示n的長(zhǎng)度，試對(duì)任意自然數(shù)n(n≧3)，求ln。并證明你的結(jié)論。1989年第四屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克1.在半徑為1的圓周上，任意給定兩個(gè)點(diǎn)集A、B，它們都由有限段互不相交的弧組成，其中B的每段的長(zhǎng)度都等于π/m，m是自然數(shù)。用Aj表示將集合A反時(shí)針?lè)较蛟趫A同上轉(zhuǎn)動(dòng)jπ/m弧度所得的集合(j=1,2,...)。求證：存在自然數(shù)k，使得L(Aj∩B)≧L(A)L(B)/(2π)。這里L(fēng)(x)表示組成點(diǎn)集x的互示相交的弧段的長(zhǎng)度之和。2.設(shè)x1,x2,...,xn都是正數(shù)(n≧2)且x1+x2+...+xn=1。求證：。3.設(shè)S為復(fù)平面上的單位圓同(即模為1的復(fù)數(shù)的集合)，f為從S到S的映射，對(duì)于任意S的元素z，定義f(1)(z)=f(z)，f(2)(z)=f(f(z))，...，f(k)(z)=f(f(k-1)(z))。如果S的元素c，使得f(1)(z)≠c，f(2)(c)≠c，...，f(n-1)(c)≠c，f(n)(c)≠c。則稱c為f的n─周期點(diǎn)。設(shè)m是大于1的自然數(shù)，f定義為f(z)=zm，試計(jì)算f的1989─周期點(diǎn)的總數(shù)。4.設(shè)點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的三邊BC、CA、AB上，且△AEF、△BFD、△CDE的內(nèi)切圓有相等的半徑r，又以r0的R分別表示△DEF和△ABC的內(nèi)切圓半徑。求證：r+r0=R。5.空間中有1989個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)不共線，把它們分成點(diǎn)數(shù)各不相同的30組，在任何三個(gè)不同的組中各取一點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形。6.設(shè)f：(1,+∞)→(0,+∞)滿足以下條件：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y>1，及u、v>0，有f(xuyv)≦f(x)1/(4u)f(y)1/(4v)。試確定所有這樣的函數(shù)。1990年第五屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克1.如下圖，在凸四邊形ABCD中，AB與CD不平行，圓O1過(guò)A、B且與邊CD相切于P，圓O2過(guò)C，D且與邊AB相切于Q，圓O1與O2相交于E、F。求證：EF平分線段PQ的充要條件是BC//AD。2.設(shè)x是一個(gè)自然數(shù)，若一串自然數(shù)x0=1,x2,...,xn=x滿足xi-1<i=1,2,...,l，則稱{x0,x1,...,xn}為x的一條因子鏈。l稱為該因子鏈的長(zhǎng)度。L(x)與R(x)分別表示x的最長(zhǎng)因子鏈的長(zhǎng)度和最長(zhǎng)因子鏈的條數(shù)。對(duì)于x=5k×31m×1990n，k、m、n都是自然數(shù)，試求L(x)與R(x)。3.設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)x>0有定義，且滿足條件：i.對(duì)任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2f(x/2)+y2f(y/x)；ii.存在常數(shù)M>0，當(dāng)0≦x≦1時(shí)，|f(x)|≦M。求證：f(x)≦x2。4.設(shè)a是給定的正整數(shù)，A和B是兩個(gè)實(shí)數(shù)，試確定方程組：x2+y2+z2=(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3有整數(shù)解的充份必要條件(用A、B的關(guān)系式表示，并予以證明)。5.設(shè)X是一個(gè)有限集合，法則f使的X的每一個(gè)偶子集E(偶數(shù)個(gè)元素組成的子集)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)f(E)，滿足條件：i.存在一個(gè)偶子集D，使得f(D)>1990；ii.對(duì)于X的任意兩個(gè)示相交的偶子集A、B，有f(A∪B)=f(A)+f(B)-1990。求證：存在X的子集P、Q，滿足iii.P∩Q是空集，P∪Q=X；iv.對(duì)P的任何非空偶子集S，有f(S)>1990v.對(duì)Q的任何偶子集T，有f(T)≦1990。6.凸n邊形及n-3條在n邊形內(nèi)不相交的對(duì)角線組成的圖形稱為一個(gè)剖分圖。求證：當(dāng)且僅當(dāng)3|n時(shí)，存在一個(gè)剖分圖是可以一筆劃的圈(即可以從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)圖中各線段恰一次，最后回到出發(fā)點(diǎn))。1991年第六屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克1.平面上有一凸四邊形ABCD。i.如果平面上存在一點(diǎn)P，使得ΔABP、ΔBCP、ΔCDP、ΔDAP面積都相等，問(wèn)四邊形ABCD應(yīng)滿足甚么條件？ii.滿足(i)的點(diǎn)P，平面上最多有幾個(gè)？證明你的結(jié)論。2.設(shè)I=[0,1]，G={(x,y)|x、y為I的元素}，求G到I的所有映像f，使得對(duì)I的任何x、y、z有i.f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))；ii.f(x,1)=x，f(1,y)=y；iii.f(zx,zy)=zkf(x,y)。這里，k是與x、y、z無(wú)關(guān)的正數(shù)。3.地面上有10只小鳥(niǎo)在啄食，其中任意5只小鳥(niǎo)中至少有4只在一個(gè)圓上，問(wèn)有鳥(niǎo)最多的圓上最少有幾只鳥(niǎo)？-y4.求滿足方程x2n+12n+1=xyz+22n+1的所有正整數(shù)解組(x,y,z,n)，這里n≧2，z≦5×22n。5.求所有自然數(shù)n，使得min自然數(shù)k(k2+[n/k2])=1991。這里[n/k]表示n/k的整數(shù)部份。6.MO牌足球由若干多邊形皮塊用三種示同顏色的絲線縫制而成，有以下特點(diǎn)：i.任一多邊形皮塊的一條邊恰與另一多邊形皮塊同樣長(zhǎng)的一條用一種六色的絲線縫合；ii.足球上每結(jié)點(diǎn)，恰好是三個(gè)多邊形的頂點(diǎn)，每一結(jié)點(diǎn)的三條縫線不相同。求證：可以在MO牌足球的每一結(jié)點(diǎn)上放置一個(gè)不等于1的復(fù)數(shù)，使得每一多邊形的所有頂點(diǎn)上放置的復(fù)數(shù)的乘積都相等。1992年第七屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克1.設(shè)方程xn+an-1xn-1+an-2xn-2+....+a1x+a0=0的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，且適合條件0<a0≦a1≦a2≦....≦an-1≦1。已知λ為方程的復(fù)數(shù)根且適合條件|λ|>1，試證：λn+1=1。2.設(shè)x1,x2,...,xn為非負(fù)實(shí)數(shù)，記xn+1=x1，a=min{x1,x2,...,xn}，試證：n1+xi_Σi=1+xi+11n1≦n+(1+a)Σ2(xi-a)2，i=13.且等式成立當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=...=xn。4.在平面上劃上一個(gè)9x9的方格表，在這上小方格的每一格中都任意填入+1或-1。下面一種改變填入數(shù)字的方式稱為一次變動(dòng)；對(duì)于任意一個(gè)小方格有一條公共邊的所有小方格(不包含此格本身)中的數(shù)作連乘積，于是每取一個(gè)格，就算出一個(gè)數(shù)，在所有小格都取遍后，再將這些算出的數(shù)放入相應(yīng)的小方格中。試問(wèn)是否總可以經(jīng)過(guò)有限次變動(dòng)，使得所有方小方格中的數(shù)都變?yōu)?？5.凸四邊形內(nèi)接于圓O，對(duì)角線AC與BD相交于P，ΔABP與ΔCDP的外接圓相交于P和另一點(diǎn)Q，且O、P、Q三點(diǎn)兩兩不重合。試證∠OQP=90。6.在有8個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖中，沒(méi)有四邊形的圖的邊數(shù)的是大值是多少？7.已知整數(shù)序列{a1,a2,......}滿足條件：1.an+1=3an-3an-1+an-2，n=2,3,.....。2.2a1=a0+a2-2。3.對(duì)任意的自然數(shù)m，在序列{a1,a2,......}中必有相繼的m項(xiàng)ak,ak+1,...,ak+m-1試證：序列{a1,a2,......}的所有項(xiàng)都是完全平方數(shù)。都為完全平方數(shù)。1993年第八屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克1.設(shè)n是奇數(shù)，試證明存在2n個(gè)整數(shù)a1,a2,...,an；b1,b2,...,bn，使得對(duì)于任意一個(gè)整數(shù)k，0<k<n，下列3n個(gè)數(shù)ai+ai，ai+bi，bi+bi+k其中i=1,2,...,n，=,0<j<n)被3n除時(shí)余數(shù)互不相同。2.給定自然數(shù)k及實(shí)數(shù)a>0，在下列條件k1+k2+...+kn=k，ki為自然數(shù)其中1≦r≦k下，求ak1+ak2+...+akr的最大值。3.設(shè)圓K和K1同心，它們的半徑分別為R和R1，R1>R。四邊形ABCD內(nèi)接于圓K，四邊形A1B1C1D1內(nèi)接于圓K1，點(diǎn)A1、B1、C1、D1分別在射線CD、DA、AB、BC上，求證：SA1B1C1D1/SABCDR12/R2。≧4.給定集合S={z1,z2,...,z1993}，其中z1,z2,...,z1993是非零復(fù)數(shù)(可看作平面試的非零向量)。求證可以把S中的元素分成若干組，使得i.S中每個(gè)元素屬于且僅屬于其中一組；ii.每一組中任一復(fù)數(shù)與該組所有復(fù)數(shù)之和的夾角不超過(guò)90。；iii.將任意兩組中復(fù)數(shù)分別求和，求得和數(shù)之間的夾角大于90。。5.10人到書(shū)店買(mǎi)書(shū)，已知i.每人都買(mǎi)了三種書(shū)；ii.任何兩人所買(mǎi)的書(shū)，都至少有一種相同。問(wèn)購(gòu)買(mǎi)人數(shù)最多的一種書(shū)最(至)少有幾人購(gòu)買(mǎi)？說(shuō)明理由。6.設(shè)函數(shù)f：(0,+∞)→(0,+∞)滿足以下條件：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x、y，有f(xy)≦f(x)f(y)。試證：對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x及自然數(shù)n，有f(xn)≦f(x)f(x2)1/2...f(x)1/n。1994年第九屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克1.設(shè)ABCD是一個(gè)梯形(AB//CD)，E是線段AB試一點(diǎn)，F(xiàn)是線段CD上一點(diǎn)，線段CE與BF相交于點(diǎn)H，線段ED與AF相交于點(diǎn)G，求證：SEHFG≦SABCD/4。如果ABCD是一個(gè)任意的凸圓邊形，同樣結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由。2.n(n≧4)個(gè)盤(pán)子里放有總數(shù)不少于4的糖塊，從任意的兩個(gè)盤(pán)子各取一塊糖，放入另一個(gè)盤(pán)子中，稱為一次操作，問(wèn)能可經(jīng)過(guò)有限次操作，將所有的糖塊集中列一個(gè)盤(pán)子里去？證明你的結(jié)論。3.求適合以下條件的所有函數(shù)f：[0,+∞)→[0,+∞)，i.f(2x)≦2(x+1)；ii.f(x+1)=[f(x)2-1]/x。4.已知f(z)=C0zn+C1zn-1+C2zn-2+....+Cn-1z+Cn是一個(gè)n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，求證：一定存在一個(gè)復(fù)數(shù)z0，|z0|≦1，滿足|f(z0)|≧|C0|+|Cn|。5.對(duì)任何自然數(shù)n，求證：，其中0C0=1，[(n-k)/2]表示(n-k)/2的整數(shù)部份。6.設(shè)M為平面試坐標(biāo)為(Px1994,7Px1994)的點(diǎn)，其中P是素?cái)?shù)，求滿足下述條件的直角三角形的個(gè)數(shù)：i.三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是整點(diǎn)，面且M是直角頂點(diǎn)；ii.三角形的內(nèi)心是坐標(biāo)原點(diǎn)。1995年第十屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克1.設(shè)2n個(gè)實(shí)數(shù)a1,a2,...,an；b1,b2,...,bn(n≧3)滿足i.a1+a2+...+an=b1+b2+...+bn；ii.0<a1=a2，ai+ai+1=ai+2(i=1,2,...,n-2)；iii.0<b1≦b2，bi+bi+1≦bi+2(i=1,2,...,n-2)。求證：an-1+an≦bn-1+bn。2.設(shè)N為自然數(shù)集合，f：N→N適合條件：f(1)=1，對(duì)于任何自然數(shù)n都有i.3f(n)f(2n+1)=f(2n)(1+3f(n))；ii.f(2n)<6f(n)。試求方程f(k)+f(l)=293，其中k<l的所有解。l試求的最小值，其中x和y是任意整數(shù)。l空間有四個(gè)球，它們的半徑分別為2、2、3、3，每個(gè)球都與其余3個(gè)球外切，另有一個(gè)小球與那圓球都外切，求該小球的半徑。l設(shè)a1,a2,...,a10是10個(gè)兩兩不同的自然數(shù)，它們的和為1995，試求a1a2+a2a3+...+a9a10+a10a1的最小值。l設(shè)n是大于1的奇數(shù)，已給。設(shè)，i=1,2,....,n其中。記，k=1,2,...。若正整數(shù)m滿足，求證：m是n的倍數(shù)。1996年第十一屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克1.設(shè)H是銳角△ABC的垂心，由A向BC為直徑的圓作切線AP、AQ，切點(diǎn)分別為P、Q。求證：P、H、Q三點(diǎn)共線。2.設(shè)S={1,2,...,50}，求最小自然數(shù)k，使S的任一k元素中，都存在兩個(gè)不同的數(shù)a和b，滿足(a+b)整除ab。3.設(shè)R為實(shí)數(shù)集合，函數(shù)f：R→R適合條件f(x3+y3)=(x+y)(f(x)2-f(x)f(y)+f(y)2)，x、y為實(shí)數(shù)。試證：對(duì)一切實(shí)數(shù)x，都有f(1996x)=1996f(x)。4.8位歌手參加藝術(shù)會(huì)，準(zhǔn)備為他們安排m次演出，每次由其中4位登臺(tái)表演。要求8位歌手中任意兩位同時(shí)演出的次數(shù)都一樣多，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，使得演出的次數(shù)m最少。5.設(shè)n為自然數(shù)，，且。求證：。6.在△ABC中，∠C=90。，∠A=30。，BC=1，求△ABC的內(nèi)接三角形(三頂點(diǎn)分別在三邊上的三角形)的最長(zhǎng)邊的最小值。1998年第十三屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克1.在一個(gè)非鈍角△ABC中，AB>AC，∠B=45。，O和I分別是△ABC的外它和內(nèi)心，且√2OI=AB-AC，求sin∠A。2.對(duì)于給定的大于的正整數(shù)n，是否存在2n個(gè)兩兩不周的正整數(shù)，同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：1.a1+a2+....+an=b1+b2+....+bn；2.。請(qǐng)說(shuō)明理由。3.設(shè)S={1,2,....,98}，求最小自然數(shù)n，使得S的任一n元子集中都可以選出10個(gè)數(shù)，無(wú)論怎樣將這10個(gè)數(shù)均分成兩組，總有一組中存在一個(gè)數(shù)與另外4個(gè)數(shù)都互質(zhì)，而另一組總有一個(gè)數(shù)與另外4個(gè)數(shù)都不互質(zhì)。4.求所有大于3的自然數(shù)n，使得得1+nC1+nC2+nC3整除22000。5.設(shè)D為銳角三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足條件：DAxDBxAB+DBxDCxBC+DCxDAxCA=ABxBCxCA。試確定D點(diǎn)的幾何位置，并證明你的結(jié)論6.設(shè)n≧2，x1,x2,....,xn為實(shí)數(shù)，且求|xk|的最大值。。對(duì)于每一個(gè)固定的自然數(shù)k(1≦k≦n)，1999年第十四屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克1.在銳角△ABC中，∠C>∠B，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，使得∠ADB是鈍角，H是△ABD的垂心，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)部且在△ABD的外接圓周上。求證點(diǎn)F是△ABC垂心的充份必要條件是：HD平行于CF且H在△ABC的外接圓周上。2.給定實(shí)數(shù)a，設(shè)實(shí)數(shù)多項(xiàng)式序列{fn(x)}滿足f0(x)=1，fn+1(x)=xfn(x)+fn(ax)，其中n=0,1,...。1.求證：fn(x)=xnfn(1/x)，其中n=0,1,...。2.求證：fn(x)的明顯表達(dá)式。3.MO太空城由99個(gè)空間站組成，全兩空間站之間有管形通道相聯(lián)。規(guī)定其中99條通道為雙向通行的主干道，其余通道嚴(yán)格單向通行，如果某四個(gè)空間站可以通過(guò)它們之間的通道從其中任一站到達(dá)另外任一站，則稱這四個(gè)站的集合為一個(gè)互通四站組。試為MO太空城設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使得互通四站組的數(shù)目最大(請(qǐng)具體算出該最大數(shù)，并證明你的結(jié)論)。4.設(shè)m是給定的整數(shù)，求證：存在整數(shù)a、b和k，其中a、b均不能被2整除，k≧0，使得2m=a19+b99+k×21999。5.求最大的實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)=x3+ax2+bx+c的所有根都是非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，只要x≧0，就有f(x)≧λ(x-a)3。并問(wèn)上式中等號(hào)何時(shí)成立？6.設(shè)4x4x4的大正方體由64個(gè)單位正方體組成。選取其中的16個(gè)單位正方體涂成紅色，使得大正方體中每個(gè)由4個(gè)單位正方體橢成的1x1x4的小長(zhǎng)方體中，都恰有1個(gè)紅正方體。問(wèn)16個(gè)紅正方體共有多少種不同取法？說(shuō)明理由。2000中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（第十五屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營(yíng)）第一天一、設(shè)a、b、c為△ABC的三條邊，a≤b≤c，R和r分別為△ABC的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑.令f=a+b－2R－2r，試用角C的大小來(lái)判定f的符號(hào).二、數(shù)列{an}定義如下：a1=0，a2=1，an=(1/2)nan-11+(1/2)n(n－1)an-22+(－1)n(1－n/2)，n≥3.試求12+3Ca+…+（n－1）Cnn-2-2a2+nCnn-1-1a1的最簡(jiǎn)表達(dá)式.nn-22fn=an+2Cann-11三、某乒乓俱樂(lè)部組織交流活動(dòng)，安排符合以下規(guī)則的雙打賽程表.規(guī)則為：（i）每名參加者至多屬于兩個(gè)對(duì)子；（ii）任意兩個(gè)不同對(duì)子之間至多進(jìn)行一次雙打；（iii）凡表中同屬一對(duì)的兩人就不在任何雙打中作為對(duì)手相遇.統(tǒng)計(jì)各人參加的雙打次數(shù)，約定將所有不同的次數(shù)組成的集合稱為“賽次集”.給定由不同的正整數(shù)組成的集合A={a1，a2，…，ak}，其中每個(gè)數(shù)都能被6整除.試問(wèn)最少必須有多少人參加活動(dòng)，才可以安排符合上述規(guī)則的賽程表，使得相應(yīng)的賽次集恰為A.請(qǐng)證明你的結(jié)論.第二天四、設(shè)n≥2.對(duì)n元有序?qū)崝?shù)組A=（a1，a2，…，an），令bk=ai，k=1，2，…，n.稱B=（b1，b2，…，bn）為A的“創(chuàng)新數(shù)組”；稱B中的不同元素個(gè)數(shù)為A的“創(chuàng)新階數(shù)”.考察1，2，…，n的所有排列（將每種排列都視為一個(gè)有序數(shù)組），對(duì)其中創(chuàng)新階數(shù)為2的所有排列，求它們的第一項(xiàng)的算術(shù)平均值.五、若對(duì)正整數(shù)n，存在k，使得n=n1n2…nk=稱n具有性質(zhì)P.求具有性質(zhì)P的所有數(shù)n.－1，其中n1，…，nk都是大于3的整數(shù)，則六、某次考試有5道選擇題，每題都有4個(gè)不同答案供選擇.每人每題恰選1個(gè)答案.在2000份答卷中發(fā)現(xiàn)存在一個(gè)n，使得任何n份答卷中都存在4份，其中每?jī)煞莸拇鸢付贾炼?題相同.求n的最小可能值.2001年第十六屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克1.給定a，。內(nèi)接于單位圓ABCD的凸四邊形適合以下條件：1.圓心在這凸四邊形內(nèi)部；2.最大邊長(zhǎng)是a,最小邊長(zhǎng)是。過(guò)點(diǎn)A、B、C、D依次作圓Γ的四條切線LA、LB、LC、LD。已知LA與LB、LB與LC、LC與LD、LD與LA分別相交于A'、B'、C'、D'四點(diǎn)。求面積之比SA'B'C'D'/SABCD的最大值與最小值。2.設(shè)X={1,2,3,…2001},求最小的正整數(shù)m，適合要求：對(duì)X的任何一個(gè)m元子集W,都存在u、v(u和v允許相同)，使得u+v是2的方冪。3.在正n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)上各停有一只喜鵲。偶受驚嚇，眾喜鵲都飛去。一段時(shí)間后，它們又都回到這些頂點(diǎn)上，仍是每個(gè)頂點(diǎn)上一只，但未必都回到原來(lái)的頂點(diǎn)。求所有正整數(shù)n，使得一定存在3只喜鵲，以它們前后所在的頂點(diǎn)分別形成的三角形或同為銳角三角形，或同為直角三角形，或同為鈍角三角形4.設(shè)a,b,c,a+b-c,a+c-b,b+c-a,a+b+c是7個(gè)兩兩不同的質(zhì)數(shù),且a,b,c中有兩數(shù)之和是800。設(shè)d是這7個(gè)質(zhì)數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)之差。求d的最大可能值。5.將周長(zhǎng)為24的圓周等分成24段。從24個(gè)分點(diǎn)中選取8個(gè)點(diǎn)，使得其中任何兩點(diǎn)間所夾的弧長(zhǎng)都不等于3和8。問(wèn)滿足要求的8點(diǎn)組的不同取法共有多少種？說(shuō)明理由。6.記a=2001。設(shè)A是適合下列條件的正整數(shù)對(duì)(m，n)所組成的集合：1.m<2a；2.2n|(2am-m2+n2)；3.n2-m2+2mn≦2a(n-m)。令，求和。2002年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克上海1月27日-28日早上8:00-12:30，每題21分。1.三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，b<c，AD是角A的內(nèi)角平分線，點(diǎn)D在邊BC上。1.求在線段AB、AC內(nèi)分別存在點(diǎn)E、F(不是頂點(diǎn))滿足BC=CF和∠BDE=∠CDF的充份必要條件(用角A、B、C表示)；2.在點(diǎn)E和F存在的情況下，用a、b、c表示BE的長(zhǎng)。2.設(shè)多項(xiàng)式序列{Pn(x)}滿足：P1(x)=x2-1，P2(x)=2x(x2-1)，且Pn+1(x)Pn-1(x)=(Pn(x))2-(x2-1)2，n=2,3,....。設(shè)Sn為Pn(x)各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和，對(duì)于任意正整數(shù)n，求非負(fù)整數(shù)kn使得2-knSn為奇數(shù)。3.18支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，即每輪將18支球隊(duì)分成9組，每組的兩隊(duì)賽一場(chǎng)，下一輪重新分組進(jìn)行比賽，共賽17輪，使得每隊(duì)都與另外17支隊(duì)各賽一場(chǎng)。按任意可行的程序比賽了n輪之后，總存在4支球隊(duì)，它們之間總共只賽了1場(chǎng)。求n的最大