人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書：第八章第2節(jié)　圓與方程

第2節(jié)圓與方程

課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

2.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定

兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.

3.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.

①超激材夯實(shí)國基

必備知識?課前回顧

I方知識梳理

1.圓的定義與方程

定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓

(x-a)2+(y-b)2圓心為（a,b）

標(biāo)準(zhǔn)式

=r2(r>0)半徑為工

方程充要條件:爐+EL4F）0

x2+y2+Dx+

一般式圓心坐標(biāo)：（-*-1）

Ey+F=O

半徑r」VD2+E2-4F

2

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

22

點(diǎn)M（x。,y0）與圓（x-a）2+（y-b）=r的位置關(guān)系:

⑴若M（x（）,y。在圓外，

則（x（）-a）2+（y（）-b）

（2）若M（x。,y。）在圓上,

則（x「a）2+（y「b）2=r2.

（3）若M（x。,y。）在圓內(nèi),

則(x()-a)2+(yo-b)2(r2.

3.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法

(1)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系.

cKro相交;4衛(wèi)=相切;d>ro相離.

>Oo相交;

判別式

(2)代數(shù)法：△=y-4/<=0=相切;

<0o相離.

V_______

4.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓01:(x-aj2+(y-bi)2=rf(n>0),

2

圓02:(x-a2)+(y-b2)"=r2(r2>0).

、方法

代數(shù)法:聯(lián)立兩圓

幾何法：圓心距d與

方程組成方程

位n,Q的關(guān)系

關(guān)系\組的解的情況

外離dAn+n無解

外切d=n+r2一組實(shí)數(shù)解

1

相交r-r2\兩組不同的實(shí)數(shù)解

內(nèi)切d=1r-r21(r】Hn)一組實(shí)數(shù)解

內(nèi)含0<d<In-Q(nWn)無解

_重要結(jié)論

1.以A(小,y.),B(x2,yj為直徑端點(diǎn)的圓的方程為

(x-xi)(x-x2)+(y-yi)(y-y2)=0.

2.圓的切線方程常用結(jié)論

2

⑴過圓x?+y2才上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為xox+y0y=r.

⑵過圓(x-a)2+(y-b)2=d上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為

2

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r.

⑶過圓x2+y2=i外一點(diǎn)M(x0,y。)作圓的兩條切線,則兩切點(diǎn)所在直線

2

方程為x0x+y0y=r.

3.圓系方程

⑴同心圓系方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是參數(shù);

(2)過直線Ax+By+C=O與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方程:x?+y2+

Dx+Ey+F+入(Ax+By+C)=0(入￡R);

22

⑶過圓GIXV+DIX+E^+FFO和圓C2:x+y+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的圓系

22

方程:x2+y'+Dix+Eiy+Fi+入(x+y+D2x+E2y+F2)=0(A.WT)(該圓系不含

圓C2,解題時一，注意檢驗(yàn)圓C2是否滿足題意，以防漏解).

4.兩圓相交時公共弦的方程

設(shè)圓C,:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0,①

22

圓C2:x+y+D2x+E2y+F2=0.②

若兩圓相交,則有一條公共弦,其公共弦所在直線方程由①-②得，即

(D-D2)X+(E,-E2)y+(F,-F2)=0.

—一對點(diǎn)自測，-

1.若點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(A)

A.(-1,1)

B.(0,1)

C.-1)U(1,+8)

D.±1

解析:點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部，

所以

解得-l〈a〈L

故選A.

2.(多選題)已知圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則下列說法正確的

是(ABD)

A.圓M的圓心為(4,-3)

B.圓M被x軸截得的弦長為8

C.圓M的半徑為25

D.圓M被y軸截得的弦長為6

解析：圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則(x-4)?+(y+3)?=25.圓的圓

心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.顯然選項(xiàng)C不正確,A,B,D均正確.故選

ABD.

3.(選擇性必修第一冊P98習(xí)題T1改編)圓Q:x?+y2-4x=0在點(diǎn)P(1,遮)

處的切線方程為(D)

A.x+V3y-2=0B.x+V3y-4=0

C.x-V3y+4=0D.x-V3y+2=0

解析：因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上,且圓心Q的坐標(biāo)為⑵0),

所以kpQ=7~^=-V3,

所以切線的斜率k=f,

所以切線方程為y-K=g(xT),

即x-V3y+2=0.

故選D.

4.圓(x+2￥+y2=4與圓(x-2)2+(y-l)2=9的位置關(guān)系為(B)

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

解析:兩圓圓心分別為(-2,0),(2,1),半徑分別為2和3,圓心距

d=V42+12=V17.

因?yàn)?-2<d<3+2,

所以兩圓相交.故選B.

5.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a的取值范圍是.

解析：方程x?+y2+ax+2ay+2a2+aT=0可化為(x+-)'+(y+a)2=--a2-a+l.

24

因?yàn)樵摲匠瘫硎緢A，

所以-三aJa+l>0,

4

即3a2+4a~4<0,

所以-2<a<|.

答案：(-2,|)

關(guān)鍵能力?課堂突破類中考點(diǎn)砥雜

康考點(diǎn)一圓的方程

1.半徑為2的圓C的圓心在第四象限,且與直線x=0和x+y=2企均相

切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(C)

A.(x-l)2+(y+2)2=4

B.(x-2)2+(y+2)=2

C.(x-2)2+(y+2)=4

D.(x-2V2)2+(y+2V2)2=4

解析:設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,-a)(a>0),則圓心到直線x+y=2近的距離

2-a-2V2

°斯乙

所以a=2,

所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-2)2+(y+2)2=4.

故選C.

2.已知圓C過點(diǎn)A(6,0),B(1,5),且圓心在直線1:2x-7y+8=0上,則圓

C的方程為.

解析:法一(幾何法)心=晝=-1,

1-6

則AB的垂直平分線方程為y-|=x-p

即x-y-l=0,

聯(lián)立方程組鼠苫：譽(yù)’0,

解得官二2：

r=J(6-3/+(o一2)2=舊，

故圓C的方程為(x-3)2+(y-2)2=13(圓的任何一條弦的垂直平分線過

圓心).

法二(待定系數(shù)法)設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.

(6-a)2+(0-b)2=r2,

由題思可得,(「a)?+(5-b)2=r2,

、2a~7b+8=0,

,a=3,

解得b=2,

T2=13,

故所求圓C的方程為(x-3)2+(y-2)2=13.

答案：(x-3)2+(y-2)2=13

3.經(jīng)過三點(diǎn)⑵T),(5,0),(6,1)的圓的一般方程為.

解析：設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,

2+(-l)2+2D-E+F=0,

由題意可知,■52+。2+5D+0+F=0,

.62+l2+6D+E+F=0,

D=-4,

解得E=-8,

.F=~5,

故所求圓的一般方程為x2+y^-4x-8y-5=0.

答案d+y?-4x-8y-5=0

入題后悟通

求圓的方程的兩種方法

(1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出

方程.

⑵待定系數(shù)法：

①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已

知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值；

②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程，依據(jù)

已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值.

腐考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題

口角度-利用幾何法求最值

(SH)(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓C:(x-3)2+(y-a)2=4上存在

兩點(diǎn)A,B滿足：NA0B=60°,則實(shí)數(shù)a的最大值是()

A.5B.3C.V7D.2V3

(2)已知M(x,y)為圓C:x?+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(-2,3).

①求IMQ|的最大值和最小值；

②求匕|的最大值和最小值；

x+2

③求y-x的最大值和最小值.

⑴解析:根據(jù)題意，圓C的圓心為(3,a),在直線x=3上，

分析可得，當(dāng)圓心距離x軸的距離越遠(yuǎn)，ZAOB越小.

如圖，當(dāng)a>0時,圓心C在x軸上方，若OA,OB為圓的切線且N為B=60°,

此時a取得最大值，

此時NA0C=30°,

有|0C|=2|AC|=4,

即(3-0)2+(a-0尸=16,

解得a=V7,

故實(shí)數(shù)a的最大值是位.

故選C.

⑵解:①由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0,

可得(x-2)2+(y-7)2=8,

所以圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=2V2.

又IQC|=J(2+2)2+(7-3)2=4V2,

所以IMQ|^=472+272=672,

|MQ|min=4V2-2V2=2V2.

②可知咨表示直線MQ的斜率k.

%+2

設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2),

即kx-y+2k+3=0.

因?yàn)橹本€MQ與圓C有交點(diǎn)，

所以2k若r3Q垃,

Vl+k2

口J得2-?y/^Wk

所以竺|的最大值為2+V3,最小值為2-V3.

X+2

③設(shè)y-x=b,則x-y+b=O.

當(dāng)直線y=x+b與圓C相切時,截距b取到最值，

所以J-7+bl=2/,

卜2+(-1)2

解得b=9或1.

所以y-x的最大值為9,最小值為1.

-懈題策略I

處理與圓有關(guān)的最值問題時,應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)

式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解，其中以下幾類轉(zhuǎn)化較為常見:

(1)形如m”2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.

x-a

⑵形如m=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

⑶形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的平方的

最值問題.

口角度二利用代數(shù)法求最值

倒運(yùn))設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓(x-3)2+y2=4上的動點(diǎn)，定點(diǎn)A(0,2),B(0,-2),

—>—>

則|P4+PB|的最大值為.

—?—>

解析：由題意，知P4=(-X,2-y),PB=(-X,-2-y),

T—>

所以P4+PB=(-2x,-2y),

由于點(diǎn)P(x,y)是圓上的點(diǎn)，

故其坐標(biāo)滿足方程(x-3)2+y2=4,

故y2=-(x-3)2+4,

—>—>____________

所以PA+PB=J4%2+4y2=246%-5.

由圓的方程(x-3￥+y2=4,易知1WXW5,

所以當(dāng)x=5時，IP4+PB|的值最大,最大值為2V6x5-5=10.

答案：10

i■,解題策略1

根據(jù)已知條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)關(guān)系式的特征選用基本

不等式、函數(shù)單調(diào)性等方法求最值.

［針對訓(xùn)練］

⑴已知實(shí)數(shù)x,y滿足(x-2)?+(yT)2=l,則z二手的最大值與最小值分

別為和.

⑵已知A(0,2),點(diǎn)P在直線x+y+2=0上，點(diǎn)Q在圓C:x2+y2-4x-2y=0

上,則|PA|+1PQ|的最小值是.

解析：(1)由題意，得空表示過點(diǎn)A(0,-1)和圓(x-2)2+(y-l)2=l上的動

X

點(diǎn)P(x,y)的直線的斜率.當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時,直線的斜率分別

取得最大值和最小值.設(shè)切線方程為y=kxT,即kx-yT=0,則若工1,

Vkz+1

解得k=萼，

所以ZmingX

⑵因?yàn)閳AC:x2+y2-4x-2y=0,

故圓C是以C(2,1)為圓心,半徑廠逐的圓.

設(shè)點(diǎn)人(0,2)關(guān)于直線乂+丫+2=0的對稱點(diǎn)為A'(m,n),

(m+O.n+2,八

-------1--------1-n2=0,

故△:

----=1,

\m~0

解得｛加二一：'故A，(-4,-2).

連接A'C交圓C于Q,由對稱性可知

|PA|+|PQ|=|A/P|+|PQ|2|A，Q|=

|AZC|-r=2V5.

答案:⑴苧乎(2)2V5

33

慢考點(diǎn)三直線與圓的位置關(guān)系

口角度一位置關(guān)系的判斷

(例2二1)已知點(diǎn)M(a,b)在圓Od+y』外,則直線ax+by=l與圓0的位置

關(guān)系是()

A.相切B.相交C.相離D.不確定

解析：因?yàn)镸(a,b)在圓0:x2+y2=l外，

所以a2+b2>l,

而圓心0到直線ax+by=l的距離

1a?0+b?0-11

Q=-----/..——=-===<1,

y/a2+b2y/a2+b2

所以直線與圓相交.

故選B.

「解題策略I

判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法

(1)幾何法:利用d與r的關(guān)系.

(2)代數(shù)法:聯(lián)立方程組,消元得一元二次方程之后利用△判斷.

(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法:若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線

與圓相交.

口角度二弦長問題

(例2-2)若3a“y4cJ。,則直線ax+by+c=0被圓0:x2+y2=l所截得的弦

長為()

213

A.-B.1C.-D.-

324

解析:因?yàn)閍2+b2=g,

所以圓心0(0,0)到直線ax+by+c=0的距離d=,c

va2+b22

所以直線ax+by+c=0被圓x2+y2=l所截得的弦長為2卜唔

2X1=1.故選B.

一解題策喳

弦長的兩種求法

(1)代數(shù)法:將直線和圓的方程聯(lián)立方程組,消元后得到一個一元二次

方程.在判別式△>()的前提下,利用根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)弦長公式求

弦長.

(2)幾何法:若弦心距為d,圓的半徑長為r,則弦長l=2Vr3.

幅度三切線問題

(SO已知點(diǎn)P(e+1,2-&),點(diǎn)M(3,1),圓C:(x-l)2+(y-2產(chǎn)=4.

⑴求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；

⑵求過點(diǎn)M的圓C的切線方程,并求出切線長.

解：由題意得圓心C(l,2),半徑r=2.

⑴因?yàn)?&+1T)2+(2-V2-2)2=4,

所以點(diǎn)P在圓C上.

所以切線的斜率k=-=1.

kpc

所以過點(diǎn)P的圓C的切線方程是

y-(2-V2)=x-(V2+1),

即x-y+l-2V2=0.

⑵因?yàn)?3-1>+(1-2)2=5>4,

所以點(diǎn)M在圓C外部.

當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時,直線方程為x=3,

即x-3=0.

又點(diǎn)C(l,2)到直線x-3=0的距離

d=3-l=2=r,

即此時滿足題意，

所以直線x=3是圓的切線；

當(dāng)切線的斜率存在時,設(shè)切線方程為y-l=k(x-3),

即kx-y+l-3k=0,

則圓心C到切線的距離d=上等萼=r=2,

解得k4，

4

所以切線方程為yT4(x-3),

4

即3x-4y-5=0.

綜上可得,過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x-3=0或3x-4y-5=0.

因?yàn)閨MC|=J(3-1)2+(1-2)2=V5,

所以過點(diǎn)M的圓C的切線長為J|MC|2-r2=V574=l.

-懈題策略I

圓的切線方程的兩種求法

(1)代數(shù)法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x。)，與圓的方程組成方程組,消元

后得到一個一元二次方程,然后令判別式△=0進(jìn)而求得k.

⑵幾何法:設(shè)切線方程為y-y產(chǎn)k(x-x。)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表

示出圓心到切線的距離d,然后令d=r,進(jìn)而求出k.

［針對訓(xùn)練］

22

(1)圓x+y-2x+4y=0與直線2tx-y-2-2t=0(tGR)的位置關(guān)系為

()

A.相離B.相切

C.相交D.以上都有可能

⑵過點(diǎn)P(2,4)作圓(x-1)2+(y-1)2=1的切線，則切線方程為()

A.3x+4y-4=0

B.4x-3y+4=0

C.x=2或4x-3y+4=0

D.y=4或3x+4y-4=0

⑶過點(diǎn)(3,1)作圓(X-2)2+(y-2)2=4的弦,則最短弦所在的直線方程

為.

解析：(1)直線2tx-y-2-2t=0恒過點(diǎn)(1,-2),

因?yàn)镴+(一2y-2X1+4X(-2)=-5<0,

所以點(diǎn)(1,-2)在圓x2+y2-2x+4y=0內(nèi)，

則直線2tx-y-2-2t=0與圓x2+y2-2x+4y=0相交.故選C.

(2)由題意可知，點(diǎn)P(2,4)在圓外.

當(dāng)切線的斜率不存在時,直線x=2與圓相切；

當(dāng)切線的斜率存在時，

設(shè)切線方程為y-4=k(x-2),

即kx-y+4-2k=0,

解得k=1,

即切線方程為4x-3y+4=0,

故切線方程為x=2或4x-3y+4=0.故選C.

⑶設(shè)P(3,1),圓心C(2,2),

則IPC\=y[2,半徑r=2,

由題意知最短弦過P(3,1)且與PC垂直,krc=-l,

所以所求直線方程為yT=x-3,

即x-y-2=0.

答案：(1)C(2)C(3)x-y-2=o

席考點(diǎn)四圓與圓的位置關(guān)系

C^J3已知兩圓x2+y2-2x-6y-l=0,x2+y2-1Ox-12y+m=0.

(Dm取何值時兩圓外切？

(2)m取何值時兩圓內(nèi)切？

解：因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x-l)2+(y-3)2=11,

(x-5)2+(y-6)2=61-m,

所以兩圓的圓心分別為(1,3),(5,6),半徑分別為屬,析沅.

⑴當(dāng)兩圓外切時，由J(5-1,+(6-3)2=g+鬧與a

得m=25+10Vll.

(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時，

因?yàn)槎▓A半徑VTI小于兩圓圓心之間的距離5,

所以V61-m-Vll=5,

解得m=25T0ai.

解題策略:

解決圓與圓位置關(guān)系問題的兩大方法

(1)處理兩圓位置關(guān)系多用圓心距與半徑和或差的關(guān)系判斷,一般不

采用代數(shù)法.

(2)若兩圓相交,則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差

得到.

［針對訓(xùn)練］

2222

已知兩圓Ci:x+y-2x-6y-l=0和C2:x+y-1Ox-12y+45=0.

(1)求證：圓G和圓C2相交；

⑵求圓G和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長.

(1)證明：由題意可知，圓C,的圓心為C,(1,3),半徑r^Vll,圓C2的

圓心為C2(5,6),半徑r2=4,兩圓的圓心距

d=|C,C2|=5,ri+r2=Vll+4,|r-r2|=4-Vll,

所以IrmlVcKri+n,

所以圓3和圓C2相交.

(2)解：圓G和圓C2的方程左右兩邊分別相減,整理得4x+3y-23=0,

所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x+3y-23=0.

圓心C2⑸6)到直線4x+3y-23=0的距離d=20tl!23=3,

V16+9

故公共弦長為2sdq=24.

■備選例題

CBD由直線y=x+l上的一點(diǎn)向圓(x-3)2+y2=l引切線，則切線長的最

小值為()

A.1B.2C.V7D.3

解析:切線長的最小值是當(dāng)直線y=x+l上的點(diǎn)與圓心距離最小時取得,

圓心⑶0)到直線的距離為d=WA=2貶,故切線長的最小值為

Vd2-r2=V7.故選C.

C1D直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓

(x-2)2+y2=2上,則AABP的面積的取值范圍是()

A.[2,6]B.[4,8]

C.[V2,3V2]D.[2V2,3V2]

解析：圓心⑵0）到直線的距離d=2聯(lián)=2&，

V2

所以點(diǎn)P到直線的距離dy[四,3V2].

根據(jù)直線的方程可知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2,0）,（0,-2）,

所以|AB|=2&,

所以4ABP的面積sg|AB|&=V^di.

因?yàn)?￡[魚,3V2],

所以S￡[2,6],

即AABP的面積的取值范圍是⑵6].

故選A.

C?過點(diǎn)（企,0）引直線1與曲線y=VF淳相交于A,B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)

原點(diǎn)，當(dāng)AAOB的面積取最大值時一,直線1的斜率等于（）

A.—B.C.±—D.-V3

333

解析:因?yàn)镾AAOB=||0A||OB|sinZAOB=|sinNAOB旺.

當(dāng)NAOBq時,AAOB的面積最大.

止匕時0至ljAB的距離d=y.

設(shè)直線AB的方程為y=k(x-V2)(k<0),

即kx-y-V2k=0.

由d=-7==-=—,得k=-它(也可k=-tanZ0PH=~—).故選B.

vkz+l233

C?已知RtAABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0).求:

⑴直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.

解：(1)法一設(shè)C(x,y).

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線,

所以y#0.

因?yàn)锳C±BC,且BC,AC斜率均存在,

所以kAC,kBC=-l,

又kc=-^->kc=-^->

Ax+lB%-3

所以,~=-L

x+1x~3

化簡得x2+y2-2x-3=0.

因此,直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(y^0).

法二設(shè)AB的中點(diǎn)為D,

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0),

由直角三角形的性質(zhì)知|CD|=^AB|=2.

由圓的定義知,動點(diǎn)C的軌跡是以D(l,0)為圓心,2為半徑的圓(由于

A,B,C三點(diǎn)不共線,所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).

所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(xT)2+y2=4(yW0).

⑵設(shè)M(x,y),C(x0,y0)?

因?yàn)锽(3,0),M是線段BC的中點(diǎn)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=等,廣等，

所以x0=2x-3,y0=2y.

由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為

(x-l)2+y2=4(y#0),

將x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)?+(2y)?=4,

即(x-2T+y2=l.

因此動點(diǎn)M的軌跡方程為

(x-2)2+y2=l(yT^O).

r課時作業(yè)一靈活方強(qiáng)龍致提必

選題明細(xì)表

知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

圓的方程1,4

直線與圓的位置關(guān)系2,3,6,7,8,912,14,15

圓與圓的位置關(guān)系5

綜合問題1011,13,16,1718

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的圖形是(D)

A.以(1,-2)為圓心,“I為半徑的圓

B,以(1,2)為圓心,近1為半徑的圓

C.以為圓心,m為半徑的圓

D.以(-1,2)為圓心,“I為半徑的圓

解析：由x2+y2+2x-4y-6=0得(x+l)2+(y-2)?=11,故圓心為(-1,2),半徑

為V■五故選D.

2.直線y=kx+l與圓x?+y2=l的位置關(guān)系是(B)

A.相切B.相交或相切

C.相交D.不能確定

解析：因?yàn)橹本€y=kx+l過定點(diǎn)(0,1),

而(0,1)在圓x2+y2=l上.故選B.

3.已知00的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)0,且被直線x-V3y+V3=0截得的弦長為

3,則的方程為(C)

A.x2+y2=lB.x2+y2=2

C.x2+y2=3D.x2+y2=4

解析：由題意，圓心到直線的距離d二熹二竺,由幾何法可

知,l=2Vr2-d2=3,

代入數(shù)據(jù)可得召-汽，

所以r2=3,

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=3.故選C.

4.圓(x+2)2+y2=5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對稱的圓的方程為(B)

A.x2+(y-2)=5B.(x-2)2+y2=5

C.x2+(y+2)2=5D.(x-l)2+y2=5

解析：因?yàn)樗髨A的圓心與圓(x+2F+y2=5的圓心(-2,0)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)

對稱，

所以所求圓的圓心為(2,0),半徑為西，故所求圓的方程為

(x-2)2+y2=5.故選B.

5.若圓Cvx'yJl與圓C2：x2+y2-6x-8y+m=0夕卜切，貝m等于(C)

A.21B.19C.9D.-11

解析：圓G的圓心為C,(0,0),半徑n=l.

因?yàn)閳AC2的方程可化為(x-3)2+(y-4)2=25-m,

所以圓C2的圓心為C2(3,4),半徑r2=V25^(m<25).從而|C.C2|=

V32+42=5.由兩圓外切得ICekri+n,即1+，25-m=5,解得m=9.

故選C.

6.圓x?+y2=4上的點(diǎn)到直線4x-3y+25=0的距離的取值范圍是(A)

A.[3,7]B.[1,9]C.[0,5]D.[0,3]

解析:x2+y2=4,圓心(0,0),半徑r=2,

圓心到直線4x-3y+25=0的距離d=-：絲匹=5,

J42+(-3)2

所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為5-2=3,

最大值為5+2=7,

所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為[3,7].

故選A.

7.(多選題)已知圓C:(x-3)2+(y-3)2=72,若直線x+y-m=0垂直于圓C

的一條直徑，且經(jīng)過這條直徑的一個三等分點(diǎn)，則m等于(AD)

A.2B.4C.6D.10

解析：圓C(x-3)2+(y-3)2=72的圓心C的坐標(biāo)為(3,3),半徑r=6V2,

因?yàn)橹本€x+y-m=0垂直于圓C的一條直徑,且經(jīng)過這條直徑的一個三

等分點(diǎn)，

所以圓心到直線的距離為2無，

則有d=5詈=2加，

解得m=2或10.故選AD.

8.直線y=x+l與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn)，則|AB|=.

解析：由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+l)M.

所以圓心C(O,T),半徑r=2.

圓心C(0,-1)到直線x-y+l=o的距離d=且艱-=&,

所以IAB|=2尸溟=2在五=2VI

答案：2四

9.已知過點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x-l)2+y2=5相切，且與直線x-ay+l=0

平行\(zhòng)貝！Ja=.

解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(2,2)在圓(x-l)2+y2=5上，

所以過點(diǎn)P(2,2)與圓(x-l)2+y2=5相切的切線方程為

(2-1)(x-l)+2y=5,

即x+2y-6=0.

由直線x+2y-6=0與直線x-ay+l=0平行，得a=-2.

答案：-2

10.已知圓C與y軸相切于點(diǎn)D(0,1),與x軸正半軸相交于A,B兩點(diǎn),

且IAB|=2V3,則圓C的方程為;直線y=kx-k被圓C所

截得的弦長最短時的k值為.

解析:依題意，設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-l)2=r2(a>0),

由IAB|=28可得r2=(V3)2+1-4,

則a=r=2,

所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=4.

顯然,直線y=kx-k恒過圓內(nèi)一定點(diǎn)E(l,0),易得當(dāng)直線y=kx-k與CE

垂直時被圓C截得的弦長最短.

因?yàn)镃E的斜率為衿=1,

所以直線y=kx-k的斜率為-1.

答案：(x-2)2+(y-l)2=4-1

B級綜合運(yùn)用練

11.已知直線l:kx+y+4=0(k￡R)是圓C:x2+y2-6x+2y+9=0的對稱軸，過

點(diǎn)P(1,k)作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則三角形PAB的面積等

于(D)

A.V3B.—C.—D.—

244

解析：因?yàn)橹本€kx+y+4=0是圓C:x2+y2-6x+2y+9=0的對稱軸，

所以直線kx+y+4=0過圓心C(3,T),

即3k-1+4=0,k=-l,

所以點(diǎn)P(1,T),|PC|=2,

因?yàn)閳AC的半徑r=l,

所以切線長|PA|=|PB|=J|PC『-r2=b,

且在直角三角形中sinNAPC=sinNBPC=￡q,

IPC2

所以NAPC=NBPC=30°,NAPB=60°,

所以三角形PAB的面積

S=-|PA|XPB|sinZAPB=—.故選D.

24

12.圓x2+y2+2x-8=0截直線y=kx+l(k￡R)所得的最短弦長為(A)

A.2V7B.2V2C.4V3D.2

解析：直線y=kx+l過定點(diǎn)(0,1),

圓x2+y2+2x-8=0可化為(x+l￥+y2=32,

故圓心為(-1,0),半徑為r=3.

因?yàn)?0+1)2+「=2<32,

所以點(diǎn)(0,1)在圓x2+y2+2x-8=0內(nèi),

又(0,1)和(-1,0)的距離為J(-+(-1)2=V2,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)

可知，圓x2+y2+2x-8=0截直線y=kx+l(k￡R)所得的最短弦長為

2J32—(或)2=2近.故選A.

13.從直線1:3x+4y=15上的動點(diǎn)P作圓x2+y2=l的兩條切線,切點(diǎn)分別

為C,D,則四邊形0CPD(0為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值是(B)

A.V3B.2V2C.2V3D.2

解析：因?yàn)閳Ax2+y2=l的圓心為0(0,0),半徑r=l,

當(dāng)點(diǎn)P與圓心的距離最小時一,切線長PC,PD最小,此時四邊形0CPD的

面積最小，

所以圓心到直線3x+4y=15的距離d=y^=3,

v3z+4z

所以|PC|=|PD|=V^/=2&,

所以四邊形0CPD的面積S=2父(PC|r=2Vl故選B.

14.(2021?浙江寧波高三模擬)直線1^+丫-2=0(111￡10與圓

C:x2+y2-2y-l=0相交于A,B兩點(diǎn)，弦長|AB|的最小值為,

若AABC的面積為苧,則m的值為.

解析:直線mx+y-2=0(m￡R)恒過圓C:x2+(y-l)2=2內(nèi)的定點(diǎn)M(0,2),

r=V2,

圓心C到直線的距離dW|CM|二l,

所以IAB|=2尸溟22,

即弦長IAB|的最小值為2.

由SzsABcU/^sinNACB二，，

得NACB苫或?qū)W

若NACB=g,則圓心到弦AB的距離爭1=|CM|,故不符合題意;

當(dāng)NACB號時,圓心到直線的距離為*1=|CM|,

設(shè)弦AB的中點(diǎn)為N