(押題密卷)新九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)-第6章-圖形的相似-6.4-探索三角形相似的條件-6.4.2-利用兩角證相似同步練習(xí)2

PAGE1PAGE1[6.4第2課時(shí)利用兩角證相似]一、選擇題1．在下列條件下，不能說(shuō)明△ABC和△A′B′C′相似的是()A．∠A＝30°，∠B＝70°，∠A′＝30°，∠B′＝70°B．∠A＝56°，∠B＝44°，∠A′＝56°，∠C′＝80°C．∠A＝56°，∠C＝80°，∠B′＝44°，∠C′＝80°D．∠A＝44°，∠B＝72°，∠A′＝44°，∠C′＝36°2．2018·永州如圖K－16－1，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，則邊AC的長(zhǎng)為()圖K－16－1A．2B．4C．6D．83．給出下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的有()①兩個(gè)等腰直角三角形相似；②有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似；③有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似；④有一個(gè)角為100°的兩個(gè)等腰三角形相似．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)4．2017·貴州如圖K－16－2，⊙O的直徑AB＝4，BC切⊙O于點(diǎn)B，OC平行于弦AD，OC＝5，則AD的長(zhǎng)為()圖K－16－2A.eq\f(6,5)B.eq\f(8,5)C.eq\f(\r(7),5)D.eq\f(2\r(3),5)二、填空題5．如圖K－16－3，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，應(yīng)用本課所學(xué)知識(shí)，還需要添加一個(gè)條件，你添加的條件是__________________．圖K－16－36．如圖K－16－4，△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿足∠ACD＝∠ABC.若AC＝2，AD＝1，則DB＝________．圖K－16－47．2017·杭州如圖K－16－5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝5，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AE，則△ABE的面積等于________．圖K－16－5三、解答題8．如圖K－16－6所示，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，在△ABC外取一點(diǎn)E，使∠CBE＝∠ABD，∠BDE＝∠BAC.試說(shuō)明：△ABC∽△DBE.eq\a\vs4\al(鏈接聽課例2歸納總結(jié))圖K－16－69．如圖K－16－7，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，連接CD.若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的長(zhǎng)．圖K－16－710．如圖K－16－8所示，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于點(diǎn)E.試說(shuō)明：△ABD∽△CBE.eq\a\vs4\al(鏈接聽課例2歸納總結(jié))圖K－16－811．2018·濱州如圖K－16－9，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD⊥CD于點(diǎn)D，且AC平分∠DAB.求證：(1)直線DC是⊙O的切線；(2)AC2＝2AD·AO.圖K－16－912．如圖K－16－10所示，△ABC是等邊三角形，∠DAE＝120°.(1)試說(shuō)明：△ABE∽△DCA；(2)試說(shuō)明：BC2＝BE·CD；(3)若BE＝4，CD＝9，求等邊三角形的邊長(zhǎng)．圖K－16－10動(dòng)點(diǎn)問題如圖K－16－11，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，移動(dòng)△DEF，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿從B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，EF與AC交于點(diǎn)M.(1)求證：△ABE∽△ECM.(2)探究：在△DEF運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，重疊部分△AEM能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖K－16－11

詳解詳析[課堂達(dá)標(biāo)]1．[解析]D選項(xiàng)A中，∠A＝∠A′＝30°，∠B＝∠B′＝70°，故△ABC∽△A′B′C′；選項(xiàng)B中，∵∠A′＝56°，∠C′＝80°，∴∠B′＝44°.∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′；選項(xiàng)C中，∵∠B′＝44°，∠C′＝80°，∴∠A′＝56°.∵∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′；選項(xiàng)D中，∠C＝180°－∠A－∠B＝64°，∠B′＝180°－∠A′－∠C′＝100°.∵兩個(gè)三角形中沒有兩對(duì)角相等，∴△ABC與△A′B′C′不相似．2．[解析]B∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)，∴eq\f(2,AC)＝eq\f(AC,2＋6)，∴AC＝4.3．[解析]C①正確，因?yàn)槊恳粋€(gè)等腰直角三角形的三個(gè)角分別等于45°，45°，90°.②正確，因?yàn)橛幸粋€(gè)銳角相等，還有一個(gè)隱含條件，直角也相等．③不正確，因?yàn)榭赡苁且粋€(gè)等腰三角形的頂角與另一個(gè)等腰三角形的底角相等，顯然這兩個(gè)三角形不一定相似．④正確，因?yàn)?00°的角只能是等腰三角形的頂角．4．[解析]B如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)E.∵BC切⊙O于點(diǎn)B，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝∠OEA＝90°.又∵OC∥AD，∴∠EAB＝∠BOC，∴△AOE∽△OCB，∴eq\f(OA,OC)＝eq\f(EA,OB).∵OC＝5，OA＝OB＝eq\f(1,2)AB＝2，即eq\f(2,5)＝eq\f(EA,2)，解得EA＝eq\f(4,5).∴AD＝2EA＝eq\f(8,5).故選B.5．答案不唯一，如∠B＝∠DEF6．[答案]3[解析]由題意可知，△ABC∽△ACD，所以eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)，即AC2＝AD·AB，所以4＝1×AB，所以AB＝4，所以DB＝3.7．[答案]78[解析]在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，DE⊥BC于點(diǎn)E，∴∠BAC＝∠DEC＝90°，∴△EDC∽△ABC，∴eq\f(EC,AC)＝eq\f(DC,BC).在Rt△ABC中，由AB＝15，AC＝20，易知BC＝25，∴eq\f(EC,20)＝eq\f(20－5,25)，故EC＝12.∴BE＝25－12＝13，∴△ABE的面積＝eq\f(13,25)×△ABC的面積．∵△ABC的面積為eq\f(1,2)×15×20＝150，∴△ABE的面積為eq\f(13,25)×150＝78.8．解：∵∠ABD＝∠CBE，∴∠ABD＋∠DBC＝∠CBE＋∠DBC，即∠ABC＝∠DBE.又∵∠BAC＝∠BDE，∴△ABC∽△DBE.9．解：在△ACD和△ABC中，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(AD,AC)，即AC2＝AD·AB＝AD·(AD＋BD)＝2×6＝12，∴AC＝2eq\r(,3)(負(fù)值已舍去)．10．[解析]根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得AD⊥BC，然后求出∠ADB＝∠CEB＝90°，再根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明．解：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.[點(diǎn)評(píng)]本題考查了相似三角形的判定、等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，確定出兩組對(duì)應(yīng)相等的角是解題的關(guān)鍵．11．證明：(1)如圖，連接OC.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC.由題意可知OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.又∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠OCD＝90°，∴直線DC是⊙O的切線．(2)連接BC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.又∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC)，∴AC2＝AD·AB，∴AC2＝2AD·AO.12．解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠ACD＝∠EBA＝120°.∵∠DAE＝120°，∴∠EAB＋∠CAD＝∠DAE－∠BAC＝60°.∵∠BEA＋∠EAB＝∠ABC＝60°，∴∠CAD＝∠BEA.又∵∠ACD＝∠EBA，∴△ABE∽△DCA.(2)∵△ABE∽△DCA，∴eq\f(AB,DC)＝eq\f(BE,CA).∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝CA，∴eq\f(BC,DC)＝eq\f(BE,BC)，∴BC2＝BE·CD.(3)∵BC2＝BE·CD，又BE＝4，CD＝9，∴BC2＝4×9，解得BC＝6(負(fù)值已舍去)，∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為6.[素養(yǎng)提升]解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B.又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE，∴∠CEM＝∠BAE，∴△ABE∽△ECM.(2)能．∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM.當(dāng)AE＝EM時(shí)，則△ABE≌△ECM，∴EC＝AB＝5，∴BE＝BC－