新疆喀什市普通高中2022屆高三上學期理數期末考試試卷

新疆喀什市普通高中2022屆高三上學期理數期末考試試卷

閱卷人

——、單選題（共12題；共24分）

得分

1.（2分）已知集合人={1,2,3},B={x￡N|x<2},則AUB=（）

A.{2,3}B.{0,1,2,3）

C.{1,2}D.{1,2,3}

【答案】B

【解析】【解答】因為A={1,2,3},B={0,1,2},所以力UB=[0,1,2,3}.

故答案為：B

【分析】先求出集合B,再根據并集的定義，即可得出答案。

2.（2分）已知復數z=i+2,i是虛數單位，則Z的虛部為（）

A.-2B.1C.-1D.2

【答案】C

【解析】【解答】解：因為復數2=?+2,所以Z=T+2,所以2的虛部為-1.

故答案為：C.

【分析】由共輒復數及復數虛部的概念即可求解.

3.（2分）設adR,則下列結論中錯誤的是（）

A.sin（7r4-a）=—sinaB.COS（TT-a）=~cosa

7T

C.cos（2+a）=-sinaD.tan（—a—TT）=tana

【答案】D

【解析】【解答】根據誘導公式

公式二，有sin（7r+a）="sina

公式四，有cos（7r-a）=—cosa

公式六，有cos（2+a）=~sina

、三，有tan（—a—冗）=—tan（7r+a）=

故答案為：D

(分析】利用誘導公式對選項逐一判斷即可得出答案。

4.(2分)已知函數/(%)=2"-2,則函數y=|/(久)|的圖象可能是()

(2X—2,x>1

【解析】【解答】|/(%)|=|2,一2|=一易知函數y=|f(x)|的圖象的分段點是4=1,且

12-2X,x<1

過點(1,0),(0,1))又|f(x)|20,

故答案為：B.

【分析】先將函數化成分段函數的形式，再根據函數在不同范圍上的性質可得正確的選項.

5.(2分)己知向量蒼=(2,1),b=(m,1),且五10一另)，則實數血=()

A.2B.1C.4D.3

【答案】A

【解析】【解答】:向量方=(2,1),b=(m,1),則萬一石=(2—m,0),

a1(a-h)>a?(a-b)=2(2—m)=0>解得m=2.

故答案為：A.

【分析】計算出五一石=(2—0),由方1?一方)得出=0，可得出關于機的等式，即

可解得結果.

6.(2分)70周年國慶閱兵活動向全世界展示了我軍威武文明之師的良好形象，展示了科技強軍的偉

大成就以及維護世界和平的堅定決心，在閱兵活動的訓練工作中，不僅使用了北斗導航、電子沙

盤、仿真系統、激光測距機、邁速表和高清攝像頭等新技術裝備，還通過管理中心對每天產生的大

數據進行存儲、分析，有效保證了閱兵活動的順利進行，假如訓練過程中第一天產生的數據量為a,

其后每天產生的數據量都是前一天的q（q>1）倍，那么訓練n天產生的總數據量為（）

A.aqnTB.aqn

。（1-qX）DME）

JC-l-q

【答案】D

【解析】【解答】根據題意可知每天產生的數據量是以a為首項，q（q>l）為公比的等比數列,

所以訓練n天產生的總數據量為駕二善，

故答案為：D

【分析】根據題意可知每天產生的數據量是以Q為首項，q（q>l）為公比的等比數列，從而可利用

等比數列的求和公式可求得結果

7.（2分）函數y=4sin（3%+9）（A>0,to>0,\（p\<n）的部分圖象如圖所示，則函數/（%）的解

析式為（）

A./(%)=2sin(2x-1)B./(%)=2sin(2x-公

C./(%)=2sin(2x+D./(%)=2sin(1x+

【答案】A

【解析】【解答】根據函數y=/lsin(a)x+(p)(A>0,co>0,\(p\<兀)的部分圖象，

可得4=2,1.—=5+^<0=2.

L(JL)5o

再根據五點法作圖，可得2x號+9=3,“=一生

□Zo

故/(%)=2sin(2x一5)，

故答案為：A

【分析】由函數y=/>sin?x+s）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出/=2,由周

期求出3=2,由五點法作圖求出3=的值，可得函數的解析式.

8.（2分）正方體ABCD-AiBCiDi中，M、N分別為棱AB,DDi中點，則異面直線AiM與CiN所

成的角是（）

【答案】D

【解析】【解答】取的中點E,連接EN,EBi，EB1交AiM于F,

因為N為DDi中點，

所以ZiE=￡）iN,AiE〃/N,

所以四邊形％CiNE為平行四邊形，

所以QN〃EB「

所以乙41FE或其補角為異面直線A.M與CiN所成的角,

因為M為AB中點，E為441的中點，AB=AAX,

所以AM=ArE,

因為44i=4祖,"AM=班4*=90。,

所以△A14M絲△/AiE,

所以z/AiM=Z41B1E,

因為N&EB1+"BiE=90°,

所以Z^iEB14-/.AArM=90°,

所以乙4/E=90°,

所以異面直線AiM與C.N所成的角是分

故答案為：D

【分析】取44］的中點E,連接EN,EB］，EB1交41M于F,則可證得QN〃EBi，貝I」乙41FE或其補角

為異面直線AIM與C1N所成的角，然后由&△Bi&E,可求出乙4/E的大小.

9.（2分）已知a,b為兩條不同直線，a,B，Y為三個不同平面，下列命題：①若

a///?,a//y,則￡//y；②若a//a,a//0,貝!|a/〃；③若aly,01丫，貝!）。1

6;④若a_La,b_La,貝Ia〃b.其中正確命題序號為（）

A.②③B.②③④C.①④D.①②③

【答案】C

【解析】【解答】根據面面平行的性質以及判定定理可得，若a〃夕，ally,則￡〃y,故①正

確；

若a〃a,a//（i,平面a,0可能相交，故②錯誤；

若aly,01y,則a，6可能平行，故③錯誤；

由線面垂直的性質可得，④正確；

故選：C

【分析】根據直線與平面，平面與平面的位置關系進行判斷即可.

10.（2分）關于函數/（x）=sin|x|+|sinx|有下述四個結論:

①Ax）是偶函數②/U）在區(qū)間（*,兀）單調遞增③/U）在［~n,Tt\有4個零點④/（X）的最大值為

2其中所有正確結論的編號是（）

A.①②④B.②④C.①④D.①③

【答案】C

【解析】【解答】/(-X)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|4-|sinx|=/(x),/(x)為偶函數，故①

正確.當<x<時，f(x)=2sinx,它在區(qū)間g,兀)單調遞減，故②錯誤.當OWxW兀

時，/(%)=2sinx，它有兩個零點：0,Jr；當一TTWX<0時，/(%)=sin(-x)—sinx=

-2sinx,它有一個零點：一兀，故/(x)在[-71,7r]有3個零點：一兀，0,兀，故③錯誤.當

xE[2kn,2kn+n](kGN*)時，/(x)=2sinx；當％C[2kn+n,2kn+2n](/CGN*)時，

/(x)=sinx-sinx=0,又/(x)為偶函數，/(x)的最大值為2,故④正確.綜上所述，

①④正確，

故答案為：C.

【分析】由已知利用函數的奇偶性，單調性，最值和函數零點的求法，分別判斷各結論，即可得到

正確的結果.

11.(2分)已知S.是等差數列｛a“｝的前n項和，其中S3=6,S4=10,數列｛b“｝滿足打=1,且

bn+an=bn+1,則數列｛%｝的通項公式為()

An2+2R—n+2D幾2+幾+2

'~2~

【答案】B

【解析】【解答】設等差數列的公差為d,

因為S3=6,S4=10,

?.3x2,_,

3alH—2~d=6解得胃二;,

所以4.4x3,_

4alH—2-d—10

所以斯=%+(幾一l)d=1+幾一1=幾,

因為。+%=%+19

所以勾+1-%=an—九，

所以電-bi=1,83—勿=2,%一生二3,....，bn—b九一1=n-19

所以￡>n—bi=1+2+3+…+(n—1)=71(今。，

因為名=1,

所以九二嗎2+]=及胖,

故答案為：B

【分析】根據題意列方程組求出｛胃二；，從而可求出斯=n,然后利用累加法可求出數列｛%｝的通

項公式.

12.(2分)已知函數f(x)=奈，若關于x的方程［/㈤產+何(尤)+ni-1=o恰有3個不同的實數

解，則實數m的取值范圍是()

1

A.(—oo,2)U(2,+8)B.(1——,+8)

C-(1-1.1)D.(1,e)

【答案】C

丫fe”一xgX1-x

【解析】【解答】?."(X)=*，則fQ)=--T=五

當％E(—8,1)時，/(X)>0,/(%)單調遞增

當文€(L+8)時，/(%)<0,/(%)單調遞減

如圖所示：

令/(%)=t，則有產+mt+m-1=0

即?+租—1)您+1)=0

解得G=1—m,t2=-1

故0<1—mV：

即1—^VmVl

e

故答案為：C

【分析】先畫出函數/(%)的圖象，令=由題意中的恰有3個不同的實數解，確定方程產+

mt4-m—1=0的根的取值情況，繼而求出zn的范圍.

閱卷入

二、填空題（共4題；共4分）

得分

13.（1分）命題“VxCR,研一%+5之0”的否定是.

【答案】3x￡R,ex-x+5<0

【解析】【解答】命題“VxWR，/-4+520”為全稱命題，該命題的否定為FxCR,ex-x+5<

0”.

故答案為：3%6R,—x+5<0.

【分析】利用全稱命題的否定可得出結論.

14.（1分）圓心是（-3,4）,半徑是5的圓的標準方程為.

【答案】（％+3）2+（y—4）2=25

【解析】【解答】???所求圓的圓心為（一3,4），半徑為5,

???所求圓的標準方程為：Q+37+0—4）2=25.

故答案為：（￡+3）2+（y-4）2=25

【分析】利用圓的標準方程即可求得答案.

15.（1分）AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則B=.

【答案】竽

【解析】【解答】由正弦定理，得sinBsinA+sinAcosB=0.?.?4€（0,yr）,BG（0,兀），??.sia4。

27r

0,得sinB+cosB=0,即tanB=-1,二8=亍,

【分析】先根據正弦定理把邊化為角，結合角的范圍可得.

16.（1分）甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A,B,C三個城市時，

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；

乙說：我沒去過C城市.

丙說：我們三個去過同一城市.

由此可判斷乙去過的城市為

【答案】A

【解析】【解答】由乙說：我沒去過C城市，則乙可能去過A城市或B城市，但甲說：我去過的城

市比乙多，但沒去過B城市，則乙只能是去過A,B中的任一個，再由丙說：我們三人去過同一城

市，則由此可判斷乙去過的城市為A

【分析】由已知進行簡單的推理，即可判斷乙去過的城市為A.

閱卷人

三、解答題供7題；共60分）

得分

17.（5分）設等差數列｛冊｝的前n項和為5個且a4+a5=S4=16.

（I）求數列｛斯｝的通項公式；

1

（II）設數列以=石而一，求｛%｝的前n項和7\.

n+1

【答案】解：（I）???｛Qn｝為等差數列，???@4+。5=2。1+7d=16,54=4%+6d=16,

解得=1,d=2,**-an=2n—1.

1iiii

(H)bn—Q必九+]—(2n—l)(2n+l)—2(2九一12九+1)，

111111117T

^=2[(1-3)+(3-5)+……+(2?T^"27r+T)]=2(1_2?r+T)=2?rn：

【解析】【分析】(I)根據已知解方程組得到即=1,d=2,即得數列｛斯｝的通項公式；

（II）利用裂項相消法求｛b｝的前n項和7n.

18.（10分）為了謳歌中華民族實現偉大復興的奮斗歷程，增進學生對黨史的了解，某班級開展黨史

知識競賽活動，現把50名學生的成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）（5分）求a的值并估計這5（）名學生成績的中位數;

（2）（5分）用分層抽樣的方法從成績在［80,90）,［90,100］兩組學生中抽取5人進行培訓，再

從這5人中隨機抽取2人參加校級黨史知識競賽，求這2人來自不同小組的概率.

【答案】（1）解：根據頻率分布直方圖得：（0.004+0.006+a+0.0304-0.024+0.016）X10=1,

解得:a=0,020,

：前三組的頻率之和為0.3,前4組的頻率之和為0.6,所以中位數在第四組,

...中位數為：70+耨x10=等.

（2）解：設這2人來自不同組為事件4,

因為［80,90）小組和［90,100］小組的頻率的比值為3：2.

所以，來自［80,90）小組的有3人記為由，a2,a3,

來自［90,100］小組的有2人記為名，b2,

從5人中隨機抽取2人，

基本事件為a遂2，axa3,。仍1，axb2,a2a3，。2匕1，a2b2,a3br,a3b2,外玩共1。個，

這2人來自不同組的有a/i，的&，a2b1,a2b2,a3br,a3b2,共6個，

所以這2人來自不同小組的概率為P（A）=A=|.

【解析】【分析】（1）利用頻率之和為1列方程來求得a=0.020,根據中位數的求法，求得中位數;

（2）利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.

19.（15分）已知：如圖，在四棱錐P-ZBCD中，四邊形4BCD為正方形，PA1,15］ABCD,且”=

AB=2,E為PD中點.

（1）（5分）證明：PB〃平面AEC；

（2）（5分）證明：平面PCD_L平面PAD；

（3）（5分）求二面角E—AC—D的正弦值.

【答案】（1）證明：連接BD交AC于點。，連接E。，則。為BD的中點,

因為E為PD的中點，??.EO〃PB,

???EOu平面AEC,PBC平面AEC,因此，PB〃平面AEC；

(2)證明：???PAJ_平面/BCD,CDu平面力BCD,CD_LPA,

在正方形/BCD中，CDJ.AD,且24CAD=4,所以，CD_L平面PAD.

又?:CDu平面PCD,所以，平面PCD1平面240.

(3)解：???PA_L平面ABC。，且4B1AD,

如圖，以A為坐標原點，AB,AD.AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.

vPA=AB=2,所以，4(0,0,0)、5(2,0,0)、C(2,2,0)、0(0,2,0)、P(0,0,2)、

E(0,1,1).

易知平面A8CD的一個法向量為訪=(0,0,1),

設平面4EC的一個法向量為7f=(x,y,z))AE=(0,1,1),AC=(2,2,0),

則｛：噌二)即｛2比令y=T,則%=1,z=i,解得五=(1,-1,1).

cos<m,4>=渭$一J8—亨，則sin<萬，n>=Jl-cos2c記，元>=竽，

因此，二面角E-AC-D的正弦值為苧.

【解析】【分析】(1)連接BD交ZC于點0,連接E0,則。為BD的中點，利用中位線的性質可得出

EO//PB,利用線面平行的判定定理可證得結論成立；

(2)證明出CD1平面24。，利用面面垂直的判定定理可證得結論成立；

(3)以A為坐標原點，AB.AD,4P所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用空

間向量法結合同角三角函數的基本關系可求得二面角E-AC-。的正弦值.

及+*l(a>b>0)的離心率為e=字，且過點(8，1).

20.(5分)已知橢圓C：

(I)求橢圓C的標準方程;

(H)垂直于坐標軸的直線1與橢圓C相交于4、B兩點，若以為直徑的圓D經過坐標原點.證明:

圓。的半徑為定值.

【答案】解：...c2=12,又...匕2=a2-c2,.-.b2=^a2

a244

221

所以方程為小木=1將點(遮，》代入得徐+七=1，所以。2=4

9

故橢圓C的標準方程學+y2=1；

(H)證明：設A(%i，%),B(%2,72)

①當直線的斜率不存在時，則由橢圓的對稱性知勺=%2,%=-丫2

又因為AB為直徑的圓經過原點，則萬？.而=0，即%1%2+%為=0

后一禿=0,代入橢圓方程得|匕|=等

此時。到ZB的距離為等，圓D的半徑為竽；

②當直線4B的斜率為0時，則由橢圓的對稱性知打=-X2,為=y2

同理可求得|%|=等.

綜上所述，圓D的半徑為定值等.

【解析】【分析】(I)由e=空且過點(百，|).可建立關于a,b的方程，解方程組可求出a,b的

值，問題得解；

(II)要考慮兩種情況，一種是直線斜率不存在的情況，然后把以AB為直徑的圓過原點，轉化為工丁

麗=0，進而得到+%丫2=°，證明O到直線AB的距離是定值即可；另一種是直線與x軸平

行，作法同上.

21.(10分)已知函數/(%)=/nx-|a(x-1).

(1)(5分)若a=-2,求曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程；

(2)(5分)若不等式/(%)<0對任意x6(1,+8)恒成立，求實數a的取值范圍.

【答案】(1)解：???a=-2時，f(x)=lnx+x-l,/(%)=]+1?.切點為(1,0),k=

廣⑴=2

a=-2時，曲線y=/(%)在點(1,/(1))處的切線方程為y=2%-2

(2)解：(i)v/(%)=Inx—^a(x—1),f(%)=，

當awo時，xe(l,+8),/(x)>01???/(X)在(L+8)上單調遞增，/(x)>/(l)=0,

a<0不合題意.

②當a>2即0<241,時，，仕)=處二金<o在(1,+8)上恒成立，

a7k72x2x

/(x)在(l,+8)上單調遞減，有f(x)</(l)=O,a>2滿足題意.

③若0<a<2即￡>1,時，由/(x)>0，可得1cx<(，由/(x)<0，可得x>^，

???/(%)在(1[)上單調遞增，在(今+8)上單調遞減，.??/4)>/⑴=0，

.1.0<a<2不合題意.

綜上所述，實數a的取值范圍是[2,+00).

【解析】【分析】(1)先求導，再把x=l代入，得到切線的斜率，即可求出切線方程.

(2)先求導，再分三種情況討論a,當aWO不合題意，當a22滿足題意，當0<a<2不合

題意，綜上即可求出實數a的取值范圍.

22.(10分)已知曲線C：然;，直線2p(cosO-2sin0)=12

(1)(5分)將直線/的極坐標方程化為直角坐標方程；

(2)(5分)設點P在曲線C上，求P點到直線/的距離的最小值.

【答案】(1)解:由p(cos?！?sin0)=12,得pcos?！?psin0=12,

所以直線I的直角坐標方程為％-2y-12=0

(2)解：設P(3cos6,2sin0)，則點P到直線，的距離為

,_13cos6-4sin6—12|_|5sin(g_J)_12|?4

-112a62一=而，其中sinp=耳，cos(p=7

所以當sin(0—0)=1時，d取得最小值

即P點到直線，的距離的最小值為等

【解析】【分析】(1)利用極坐標方程與直角坐標方程的互化公式可求得結果;

,_|3cos0—4sin0-12|

(2)設P(3cos。，2sin。)，然后利用點P到直線，的距離為&=-J,+T)2—=

國皿勿鼠)一121,再利用三角函數的性質可求得其最小值.

23.(5分)已知函數f(x)=|2x+l|-|x-3|.

(I)解不等式f(x)<4；

(II)若存在X使得f(x)+a<0成立，求實數a的取值范圍.

-X-4,(%<-^)

3X-2,(-；<%<3)，如圖，它與y=4的交點為(-8,

{x4-4,(x>3)

4)和(2,4).

不等式f(x)<4的解集為卜8,2].

(II)

由f(x)的圖象知，x=q時，f(X)有最小值存在x使得f(x)+awo成立，等價于-aN§,a§.

故實數a的取值范圍為(-00,1].

【解析】【分析】(I)化簡/6c)的解析式，并畫出圖象，找出與y=4的交點，從而得到不等式

f(x)<4的解集；

(II)由/6)的圖象知，》=時，f有最小值一彳，由題意可知，實數a大于或等于

f(x)的最小值.

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：88分

客觀題（占比）25.0(28.4%)

分值分布

主觀題（占比）63.0(71.6%)

客觀題（占比）13(56.5%)

題量分布

主觀題（占比）10(43.5%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題4(17.4%)4.0(4.5%)

解答題7(30.4%)60.0(68.2%)

單選題12(52.2%)24.0(27.3%)

3、試卷難度結構分析

序號難易度占比

1普通(65.2%)

2容易(30.4%)

3困難(4.3%)

4、試卷知識點分析

序號知識點（認知水平）分值（占比）對應題號

1等比數列的前n項和2.0(2.3%)6

2函數與方程的綜合運用2.0(2.3%)10

3頻率分布直方圖10.0(11.4%)18

4橢圓的簡單性質5.0(57%)20

5古典概型及其概率計算公式10.0(11.4%)18

6等差數列的通項公式5.0(57%)17

7平面與平面垂直的判定17.0(19.3%)9,19

8異面直線及其所成的角2.0(2.3%)8

9正弦定理的應用1.0(1.1%)15

10數列的求和5.0(57%)17

11誘導公式2.0(2.3%)3

12利用導數研究曲線上某點切線方程10.0(11.4%)21

數量積判斷兩個平面向量的垂直關

132.0(2.3%)5

系

14點到直線的距離公式10.0(11.4%)22

15等差數列5.0(57%)17

16數列遞推式2.0(2.3%)11

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