藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點(diǎn)26 平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算

考點(diǎn)二十六平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我們把不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．一個(gè)平面向量a能用一組基底e1，e2表示，即a＝λ1e1＋λ2e2.則稱它為向量的分解。當(dāng)e1，e2互相垂直時(shí)，就稱為向量的正交分解。2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，(3)若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)；|a|＝eq\r(x2＋y2).3．向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.4．向量相等設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a＝b，則x1＝x2，y1＝y(tǒng)2，即坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等.典例剖析題型一利用基向量表示其他向量例1如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知eq\o(AM,\s\up6(→))＝c，eq\o(AN,\s\up6(→))＝d，試用c，d表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))解析設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.因?yàn)镸，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，所以eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a.因而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝b＋\f(1,2)a,d＝a＋\f(1,2)b))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)2d－c，,b＝\f(2,3)2c－d，))即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2c－d)．變式訓(xùn)練如圖所示，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，A，B，C在一條直線上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CB,\s\up6(→))，則c＝__________.答案c＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b解析∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－3(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))．∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，即c＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b.解題要點(diǎn)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．題型二平面向量的坐標(biāo)表示例2(1)設(shè)平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，則2a－3b＝__________.(2)若向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4，7)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝________．答案(1)(－2，－6)(2)(－2，－4)解析(1)2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2，－4)．變式訓(xùn)練已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))解析設(shè)D(x，y)，則由eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，得(4，3)＝2(x，y－2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝4，,2(y－2)＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(7,2).))解題要點(diǎn)求解向量相等問(wèn)題，常常借助方程(方程組)的思想.題型三向量共線例3(1)若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，則實(shí)數(shù)x＝________．(2)已知點(diǎn)A(－1,1)，B(2，y)，向量a＝(1,2)，若eq\o(AB,\s\up8(→))∥a，則實(shí)數(shù)y的值為_(kāi)_________.答案(1)－6(2)7解析(1)a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.(2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3，y－1)，a＝(1,2)，eq\o(AB,\s\up8(→))∥a，則2×3＝1×(y－1)，解得y＝7.變式訓(xùn)練已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)_______．答案eq\f(1,2)解析因?yàn)閍＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u(píng)＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，又因?yàn)閡∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).解題要點(diǎn)(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，則a＝λb.(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解．當(dāng)堂練習(xí)1．(2015江蘇)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)_______．答案－3解析∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))故m－n＝2－5＝－3.2．在OA為邊，OB為對(duì)角線的矩形中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3,1)，OB＝(－2，k)，則實(shí)數(shù)k＝________.答案4解析∵eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－3,1)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(－2，k)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2，k)－(－3,1)＝(1，k－1)．又eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))為矩形相鄰兩邊所對(duì)應(yīng)的向量，∴eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))，即eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝－3×1＋1×(k－1)＝－4＋k＝0，即k＝4.3.設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c為_(kāi)_________.答案(4，－6)解析由題意知，4a＋3b－2a＋c＝0，∴c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6).4．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3，4)，則eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))等于__________.答案(－2,3)解析依題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－4,6)，eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－4,6)＝(－2,3).5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.答案(0，－2)解析設(shè)D(x，y)，由題意知eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，即(x－6，y－8)＝(－8，－8)＋(2，－2)＝(－6，－10)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－6＝－6，,y－8＝－10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－2.))課后作業(yè)填空題1．(2015新課標(biāo)Ⅰ文)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))等于__________.答案(－7，－4)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．2．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c則λ＝__________.答案eq\f(1,2)解析可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝eq\f(1,2).3．已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，則與向量eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量為_(kāi)_________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋－42)＝5，∴與eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量為eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).4．在?ABCD中，若eq\o(AD,\s\up7(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－2,3)，對(duì)角線交點(diǎn)為O，則eq\o(CO,\s\up7(→))等于__________.答案(－eq\f(1,2)，－5)解析eq\o(CO,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)(1,10)＝(－eq\f(1,2)，－5)．5．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AO,\s\up7(→))，則λ＝__________.答案2解析由平行四邊形法則知eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AO,\s\up7(→))，∴λ＝2.6．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝__________.答案(－4，－8)解析由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)?m＝－4，從而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．7．已知點(diǎn)A(6,2)，B(1,14)，則與eq\o(AB,\s\up7(→))共線的單位向量為_(kāi)_________.答案(－eq\f(5,13)，eq\f(12,13))或(eq\f(5,13)，－eq\f(12,13))解析因?yàn)辄c(diǎn)A(6,2)，B(1,14)，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－5,12)，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝13.與eq\o(AB,\s\up8(→))共線的單位向量為±eq\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＝±eq\f(1,13)(－5,12)＝±(－eq\f(5,13)，eq\f(12,13))．8．已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，則tan(α－eq\f(π,4))等于__________.答案－3解析∵a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，∴eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1,－2)，∴tanα＝－eq\f(1,2).∴tan(α－eq\f(π,4))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(－\f(1,2)－1,1－\f(1,2))＝－3.9．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(x,2)))，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x＝__________.答案4解析a－2b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－2x，\f(x,2)－2))，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由題意得(8－2x)·(x＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－2))·(16＋x)，整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4.10．設(shè)a＝(1,2)，b＝(－2，y)．若a∥b，則|2a－b|＝______.答案4eq\r(5)解析∵a∥b，∴y＋4＝0，∴y＝－4，∴2a－b＝(2,4)－(－2，－4)＝(4,8)，∴|2a－b|＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5).11．已知向量a＝(2,3)，b＝(1,2)，且a，b滿足(a＋λb)∥(a－b)，則實(shí)數(shù)λ＝________.答案－1解析∵a＋λb＝(2＋λ，3＋2λ)，a－b＝(1,1)，又(a＋λb)∥