人教B版選擇性必修第二冊4.2.3二項分布與超幾何分布學(xué)案

4.2.3二項分布與超幾何分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實例,了解伯努利試驗,掌握二項分布,并能解決簡單的實際問題.提升數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).2.通過具體實例,了解超幾何分布,并能解決簡單的實際問題.培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗時,人們總是約定這n次試驗是相互獨立的,此時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復(fù)試驗.思考:獨立重復(fù)試驗必須具備哪些條件?提示:(1)每次試驗的條件完全相同,相同事件的概率不變.(2)各次試驗結(jié)果互不影響.(3)每次試驗結(jié)果只有兩種,這兩種結(jié)果是對立的.在n次獨立重復(fù)試驗中,記每次“成功”的概率為p,則在n次試驗中“成功”的次數(shù)X的取值集合是{0,1,2,…,n},且P(X=k)=Cnkpk(1-p)X01…k…nPCn0Cn1…Cnkpk…Cnn稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布,記作X～B(n,p).[做一做]設(shè)隨機(jī)變量X～B(6,12)A.516 B.316 C.5解析:由題意,隨機(jī)變量X～B(6,12)所以P(X=3)=C63(12)3(1-12)一般地,若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品,其中甲類有M件(M<N),從所有物品中隨機(jī)取出n件(n≤N),則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個離散型隨機(jī)變量,X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù),其中s是M與n中的較小者,t在n不大于乙類物品件數(shù)(即n≤N-M)時取0.否則t取n減乙類物品件數(shù)之差(即t=n-(N-M)),而且P(X=k)=CMkC對超幾何分布的理解(1)在形式上適合超幾何分布的模型常有較明顯的兩部分組成,如“男生,女生”“正品,次品”“優(yōu),劣”等.(2)在產(chǎn)品抽樣中,一般為不放回抽樣.(3)其概率計算可結(jié)合古典概型求得.如果X～H(N,n,M)且n+M-N≤0,則X能取所有不大于s的自然數(shù),此時X的分布列如下:X01…k…sPCC…C…C[做一做]設(shè)10件產(chǎn)品中有3件次品,現(xiàn)從中抽取5件,則C3解析:根據(jù)超幾何分布的定義可知C32表示從3件次品中任選2件,二項分布[例1]甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊,甲每次擊中目標(biāo)的概率為23,乙每次擊中目標(biāo)的概率為1(1)求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率;(2)記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列;(3)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率.解:(1)乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為1-(12)3=7(2)依題可知ξ的可能取值為0,1,2,3,并且ξ～B(3,23)P(ξ=k)=C3k(23)k(1即P(ξ=0)=(13)3=1P(ξ=1)=C31(23)1(13)P(ξ=2)=C32(23)21P(ξ=3)=(23)3=8所以ξ的分布列為ξ0123P1248(3)設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A,甲恰好擊中目標(biāo)2次,且乙恰好擊中目標(biāo)0次為事件B1,甲恰好擊中目標(biāo)3次,且乙恰好擊中目標(biāo)1次為事件B2,則A=B1+B2,B1,B2為互斥事件,P(A)=P(B1)+P(B2)=49(12)3+827C31(12)1針對訓(xùn)練:一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為12(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列;(2)玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率為多少?解:(1)X可能的取值為10,20,100,-200.根據(jù)題意,有P(X=-200)=(1-12)3=1P(X=10)=C31(12)1(1-12)P(X=20)=C32(12)2(1-12)P(X=100)=(12)3=1所以X的分布列為X1020100-200P3311(2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i=1,2,3),則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為1-P(A1A2A3)=1-(18)3=1-1512=因此,玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率為511512凡某事件每次發(fā)生的概率相同,各次發(fā)生之間互不影響,則在n次中該事件發(fā)生的次數(shù)就服從二項分布,如體育運動中的投籃練習(xí)、七場四勝制中的比賽場次,有放回地摸球等.超幾何分布[例2]某外語學(xué)校的一個社團(tuán)有7名同學(xué),其中2人只會法語,2人只會英語,3人既會法語又會英語,現(xiàn)選派3人到法國的學(xué)校交流訪問.求:(1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率;(2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X的分布列.解:(1)7名同學(xué)中,會法語的人數(shù)為5,從7人中選派3人,共有C73種選法;其中恰有2人會法語共有C52C(2)由題意可知,X所有可能的取值為0,1,2,3,P(X=0)=C43C73=4P(X=2)=C41C32C7所以X的分布列為X0123P418121針對訓(xùn)練:袋中有4個紅球,3個黑球,這些球除顏色外完全相同,從袋中隨機(jī)抽取球,設(shè)取到一個紅球得2分,取到一個黑球得1分,從袋中任取4個球.(1)求得分X的分布列;(2)求得分大于6分的概率.解:(1)從袋中任取4個球所有可能的情況為1紅3黑,2紅2黑,3紅1黑,4紅,共四種情況,得分分別為5分,6分,7分,8分,故得分X的所有可能取值為5,6,7,8.P(X=5)=C41C33C7P(X=7)=C43CP(X=8)=C44C故所求分布列為X5678P418121(2)根據(jù)隨機(jī)變量的分布列可以得到得分大于6分的概率為P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=1235+135=凡總體由兩類元素組成,從中取出一些元素,其中一類元素的個數(shù)就服從超幾何分布.二項分布與超幾何分布的綜合[例3]某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位:g),質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過505g的產(chǎn)品數(shù)量;(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)X為質(zhì)量超過505g的產(chǎn)品數(shù)量,求X的分布列;(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品,設(shè)Y為質(zhì)量超過505g的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列.解:(1)質(zhì)量超過505g的產(chǎn)品的頻率為5×0.05+5×0.01=0.3,所以質(zhì)量超過505g的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3=12(件).(2)質(zhì)量超過505g的產(chǎn)品數(shù)量為12件,則質(zhì)量未超過505g的產(chǎn)品數(shù)量為28件,且X～H(40,2,12).所以P(X=0)=C282CP(X=1)=C121CP(X=2)=C122C所以X的分布列為X012P632811(3)根據(jù)樣本估計總體的思想,取一件產(chǎn)品,該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505g的概率為1240=3從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響,該問題可看成2次獨立重復(fù)試驗,質(zhì)量超過505g的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2,且Y～B(2,310)P(Y=k)=C2k(1-310)2-k(3所以P(Y=0)=C20×(710)2P(Y=1)=C21×310×7P(Y=2)=C22×(310)2所以Y的分布列為Y012P49219針對訓(xùn)練:甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關(guān)游戲,按照規(guī)則:每人從備選的10道題中一次性抽取3道題獨立作答,至少答對2道題即闖關(guān)成功.已知10道備選題中,甲只能答對其中的6道題,乙答對每道題的概率都是13(1)求甲闖關(guān)成功的概率;(2)設(shè)乙答對題目的個數(shù)為X,求X的分布列.解:(1)設(shè)“甲闖關(guān)成功”為事件A,P(A)=C62C(2)依題意X～B(3,13)P(X=0)=C30(1-13)3P(X=1)=C3113(1-13)2P(X=2)=C32(13)2(1-13)1=P(X=3)=C33(13)3所以X的分布列為X0123P8421二項分布和超幾何分布的區(qū)別是:二項分布中事件發(fā)生的概率值不變、各次事件間的發(fā)生與否互不影響;超幾何分布中各次事件發(fā)生的概率值不同.可以從放回地取球、不放回地取球理解二項分布和超幾何分布.1.(2021·河北承德高二月考)設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(2,p),若P(ξ≥1)=59A.14 B.C.23 D.解析:因為P(ξ≥1)=59所以P(ξ<1)=1-P(ξ≥1)=1-59=4而P(ξ<1)=P(ξ=0)=C20·p0·(1-p)2=49?1-p=232.箱子中有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6且大小、形狀完全相同的6個球,從箱子中一次摸出兩個球,記下號碼并放回,如果兩球號碼之積是4的倍數(shù),則獲獎.若有4人參與摸獎,則恰好有3人獲獎的概率為(B)A.16625 B.96C.624625 D.解析:獲獎的概率為P=6C62=25,記獲獎的人數(shù)為ξ,ξ～B(4,25),所以4人中恰好有3人獲獎的概率為P=C43(223,他連續(xù)射擊2次,且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互沒有影響.現(xiàn)有下列結(jié)論:①他第2次擊中目標(biāo)的概率是23;②他恰好擊中目標(biāo)1次的