2023屆高考數(shù)學專題十七圓錐曲線的幾何性質(zhì)精準培優(yōu)專練理

PAGEPAGE1培優(yōu)點十七圓錐曲線的幾何性質(zhì)1．橢圓的幾何性質(zhì)例1：如圖，橢圓的上頂點、左頂點、左焦點分別為、、，中心為，其離心率為，那么〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得而，所以，應選B．2．拋物線的幾何性質(zhì)例2：拋物線的焦點為，準線，點在拋物線上，點在直線上的射影為，且直線的斜率為，那么的面積為〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】設準線與軸交于點，所以，因為直線的斜率為，所以，所以，由拋物線定義知，，且，所以是以4為邊長的正三角形，其面積為．應選C．3．雙曲線的幾何性質(zhì)例3：點是雙曲線的右支上一點，，分別是圓和上的點，那么的最大值為_________．【答案】15【解析】在雙曲線中，，，，，，，，，．對點增分集訓對點增分集訓一、單項選擇題1．拋物線上的動點到其焦點的距離的最小值為1，那么〔〕A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】拋物線上的動點到其焦點的距離的最小值即到準線的最小值，很明顯滿足最小值的點為拋物線的頂點，據(jù)此可知：，．此題選擇C選項．2．設點，是雙曲線的兩個焦點，點是雙曲線上一點，假設，那么的面積等于〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】據(jù)題意，，且，解得，．又，在中由余弦定理，得．從而，所以，應選B．3．經(jīng)過橢圓的一個焦點作傾斜角為的直線l，交橢圓于，兩點，設為坐標原點，那么等于〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】橢圓方程為，，，，取一個焦點，那么直線方程為，代入橢圓方程得，，，所以，應選C．4．過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，假設線段中點的橫坐標為3，，那么〔〕A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】設的坐標分別為，，線段中點的橫坐標為3，那么，，由此解得．應選B．5．雙曲線的右焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形〔為原點〕，那么雙曲線的方程為〔〕A． B．C． D．【答案】B【解析】雙曲線的右焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形〔為原點〕，可得，，即，，解得，，雙曲線的焦點坐標在軸，所得雙曲線的方程為，應選B．6．如下圖，“嫦娥一號〞探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點變軌進入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在點第二次變軌進入仍以為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，最終衛(wèi)星在點第三次變軌進入以為圓心的圓形軌道繞月飛行．橢圓軌道和的中心與F在同一直線上，設橢圓軌道和的長半軸長分別為，，半焦距分別為，，那么有〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】設圓形軌道的半徑為，，，，由知，應選C．7．雙曲線，雙曲線的左、右焦點分別為，，是雙曲線的一條漸近線上的點，且，為坐標原點，假設，且雙曲線，的離心率相同，那么雙曲線的實軸長是〔〕A．32 B．4 C．8 D．16【答案】D【解析】雙曲線的離心率為，設，雙曲線一條漸近線方程為，可得，即有，由，可得，即，又，且，解得，，，即有雙曲線的實軸長為16．應選D．8．是拋物線的焦點，是軸上一點，線段與拋物線相交于點，假設，那么〔〕A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由題意得點的坐標為，設點的坐標，點的坐標，所以向量：，，由向量線性關系可得：，，解得：，代入拋物線方程可得：，那么，由兩點之間的距離公式可得：．應選D．9．橢圓與雙曲線有相同的焦點，，點是曲線與的一個公共點，，分別是和的離心率，假設，那么的最小值為〔〕A． B．4 C． D．9【答案】A【解析】由題意設焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸為，令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，①由橢圓定義，②又∵，∴，③，得，④將④代入③，得，∴，應選A．10．為拋物線的焦點，，，為拋物線上三點，當時，稱為“和諧三角形〞，那么“和諧三角形〞有〔〕A．0個 B．1個 C．3個 D．無數(shù)個【答案】D【解析】拋物線方程為，，，為曲線上三點，當時，為的重心，用如下方法構造，連接并延長至，使，當在拋物線內(nèi)部時，設，假設存在以為中點的弦，設，，那么，，，那么，兩式相減化為，，所以總存在以為中點的弦，所以這樣的三角形有無數(shù)個，應選D．11．雙曲線的左右焦點分別為，，橢圓的離心率為，直線過點與雙曲線交于，兩點，假設，且，那么雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為〔〕A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】由題，，，由雙曲線的定義可得|，∵橢圓的離心率為：，∴，，，在中，由余弦定理的，在中，由余弦定理可得：，∵，，即，整理得2a設雙曲線的離心率為，，解得或〔舍〕．∴，，即．∴雙曲線的漸近線方程為，∴漸近線的傾斜角為，．應選C．12．為橢圓上一個動點，過點作圓的兩條切線，切點分別是，，那么的取值范圍為〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，由題意設，那么，∴，設，那么，當且僅當，即時等號成立，此時．又當點在橢圓的右頂點時，，∴，此時最大，且最大值．∴的取值范圍是，應選C．二、填空題13．過拋物線的焦點，且斜率為的直線與拋物線交于、兩點，那么__________．【答案】【解析】由知，由焦點弦性質(zhì)，而．14．橢圓的左、右焦點為、，點關于直線的對稱點仍在橢圓上，那么的周長為__________．【答案】【解析】設，，關于直線的對稱點坐標為，點在橢圓上，那么：，那么，，那么，故的周長為：．15．為雙曲線右支上一點，，分別為雙曲線的左、右焦點，且，直線交軸于點，那么的內(nèi)切圓半徑為__________．【答案】2【解析】∵，的內(nèi)切圓半徑為，∴，∴，∴，∵由圖形的對稱性知：，∴．故答案為2．16．直線與橢圓相切于第一象限的點，且直線與軸、軸分別交于點、，當(為坐標原點)的面積最小時，(、是橢圓的兩個焦點)，假設此時在中，的平分線的長度為，那么實數(shù)的值是__________．【答案】【解析】由題意，切線方程為，直線與軸分別相交于點，，，，，，，，當且僅當時，〔為坐標原點〕的面積最小，設，，由余弦定理可得，，，，，，，的內(nèi)角平分線長度為，，，，，故答案為．三、解答題17．設常數(shù)．在平面直角坐標系中，點，直線：，曲線：．與軸交于點、與交于點．、分別是曲線與線段上的動點．〔1〕用表示點到點距離；〔2〕設，，線段的中點在直線，求的面積；〔3〕設，是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點在上？假設存在，求點的坐標；假設不存在，說明理由．【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕存在，．【解析】〔1〕方法一：由題意可知：設，那么，∴；方法二：由題意可知：設，由拋物線的性質(zhì)可知：，∴；〔2〕，，，那么，∴，∴，設的中點，，，那么直線方程：，聯(lián)立，整理得：，解得：，〔舍去〕，∴的面積；〔3〕存在，設，，那么，，直線方程為，∴，，根據(jù)，那么，∴，解得：，∴存在以、為鄰邊的矩形，使得點在上，且．18．與橢圓相交于、兩點，關于直線的對稱點在橢圓上．斜率為的直線與線段相交于點，與橢圓相交于、兩點．〔1〕求橢圓的標準