經(jīng)典求極限方法

x1xx1x1xx11mm求極限的用方法典型題1約零子極例1：求極限

4【說明】

表明無限接近，，所以這一零子可以約去。(xxxlim(xx26【解】=42分分同求限例2：求極限

323x【說明】型分子分母以多項式出的極限,可通過分分母同除來?！窘狻?/p>

lim

x1lim33

3

13【】(1)一般子母除的高方(2)

lim

axxbxm0

0b

mmm3分)有化極限lim(

x

例3：求極限x【明分或母理求極，通有化去理式【解】

x

x2

limx

(

xxxxx2

例4：求極限

x0

1tanx【解】

limx0

x3

limx0

tanxx1【注】本題了使用分有理化方外，及時分離極限式中的非零因子解題的關(guān)4．應(yīng)用兩個重極限求極

1xxnx0x02111xxnx0x0211xxax兩個重要極是

sin11lim(1)lim(1)nlim(1)和，一個重要極限過于簡單可通過等價無窮小實現(xiàn)。主考第二個要極限。lim例5：求極限【說明】第個重要極主要搞清湊的步驟：先湊出１，再湊

1

，最后湊指部分?！窘狻?/p>

limx

1

2

lim

12

2

21limlim例6：(1)；(2)已知，求。5．用等價無窮量代換求限(1)常等價無小有：當

時,

xxtanx~arcsinx~arctanln(1)~e

x

,11cos~x2

2,

；(2)等無窮小代換,只能代換極式中的因；(3)此法在各求極限的方法中應(yīng)作為選。例7：求極限

x

x1

【解】

limx

xln(1)xlimx12

.例8：求極限

x

sintanx【解】

x

sintanx

limx

xlim03x2

limx0

x23x

2

166．用羅必塔法求極限例9：求極限

00

2xx)【說明】或型的限,可通過羅塔法則來求。

xx0xx20精心整理xx0xx20【解】

0

2sin

2

)

limx

2sin22xcossin2x【注】許多動上顯的分表示的限，常用羅必塔法則求解例10：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且

f(0)

，求極限

lim0

(xf(t)()dt

【解】由于

0

(x)dt

x

(u)()(u)du0

,于是lim

(x)f()dt

lim0

f()dtt)dt()

=

lim0

f()xfx)(x)()xfx)

=

lim0

()f(u)xfx)

x

f(t)=

limx0

0

0f()

x

xf(x)

=

f(0)f(0)f2

limfx

()7．用對數(shù)恒等求

極限lim[1)]例11：極限x0

2x【解】

lim[1ln(1)]x0

2x

=

limex0

2x

ln[1)]

=

e

2ln[1)]

2ln(1)

2

【注】對于型未式

limfx)

()

的極限，也用公式limf(x)

()

(1

)

=

e

f()g()例12：求極限

limx

1x

23

x

.【解1】原式

limx

xln

233

limx0

ln

x【解2】原式

limx

xln

233

limx0

ln

x8．利用Taylor公式極限ax()例13求極限.

1616【解】

a

lna

1

lna

22

ln

(x)

,a

1

lna

2

a

(x

2

)

;

a

xlnaxx2

(x

2

)

a

.例14求極限

1lim(cotxx

.【解】

1sinlim(xxx0sinlim0

(

11)x3)2!3!x

.9．數(shù)列極限轉(zhuǎn)成函數(shù)極求解例15：極限

lim

n

1n

【說明】這形的的數(shù)列限，由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法則，若直求有一定度，若轉(zhuǎn)成函數(shù)極限，可通過7提的方法合羅必塔法求解?！窘狻靠紤]助極限

1sinxx

x

limex

x

xsinx

limy

yy所以，

lim

nsin

1n

610．和數(shù)列限問題n項和數(shù)列限問題極問題有兩處理方法(1)用積分的義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計算;(2)利兩邊夾則求極限.例16：極限

lim

n

112n

1

【說】用定積分的定義把極轉(zhuǎn)化為定積計算,是把

f(x

看成0,1］積分。lim

()

1n22221n2222xnnlsinll【解】原式

11lim1

例17：極限

lim

1nnn

【說明】(1)該題遇一題類似，但是不能湊

lim

n

f

的形式，因用兩邊夾則求解；(2)兩夾法則要放大不等式，常用的法是都換最大的或小的?！窘狻?/p>

lim

nnn

因為

2

2

2

2

2

又

n

2

n

2

所以

lim

n

1112

＝１12．單有界數(shù)列極限問題例18：設(shè)數(shù)列

滿足

0x1n

(1,2,n

limx（Ⅰ）證明

存在，并求極限；lim（Ⅱ）計算.【分析】一利用單調(diào)加有上界單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準來證明數(shù)極限的存.【詳解】（）因為

0x1

，則

0xx2

.可推得

0xn

n

,n1,2,

，則數(shù)列

有界.nn于是n，因當

x時x

x），則有n

，可見數(shù)列

單調(diào)減，故由單減少有l(wèi)imx下界數(shù)列必極限知極n

存在limx設(shè)

，在

x

n

sin

n

limx兩邊令，得，得，即.

xx1xx精心xx1xx（Ⅱ）

因

lim

lim

，由（Ⅰ）該極限為型，limxlimex0x

1x

sin

sinlimxx0

1

(使用了羅必塔則)故

limn

.第二部分掌握求簡單限的常用法。求極的常用方法有(1)利極限的則運算法則；(2)利兩個重極限；(3)利無窮小的性質(zhì)（無窮小量乘以界變量還無窮小量；(4)利連續(xù)函的定義。例求下列極：（1）

x

9

（2）

x

sin(xx2（3）

lim(1)0

1

（4）

limx

x

x(x)（5）

lim(exx

1x

)解（1）對分進行有理，然后消零因子，再利用四則運算法則和第重要極限算，即==

lim

(93x3)(sin3)93)303=

11362（2）利用第一要極限和數(shù)的連續(xù)計算，即（3）利用第二要極限計，即x)x

1x

lim[(1＝0

1

]

。（4）利用無窮量的性質(zhì)無窮小量以有界變量還是無窮小量）計算，

x＝，精心整理x＝，limx

2x(xsin)2

x

221]xsinxx)lim(1)2x

=1注：其中當時，

sinsinxx

，

2(cosxx2

都是無窮小乘以有界量，即它還是無窮小量。（5）利用函數(shù)連續(xù)性計，即lim(xx

1x

1)00第三部分1．義：說明：（1一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴格定lim(3義證明，例如：；（2）在后面求極限時1）中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。利用導(dǎo)的定義求極這種方法要求熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的定義。2．限運算則定理已知

limf()limg()

都存在極限值分別，，則面極限存在，且有）lim[f(x)(x)]A（2）

limf(x))（3）

f(x),(此時需立)(x)B說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。.?利用極限的四則運算法求極限這種方法主要應(yīng)用于求一些簡單函數(shù)的和、乘、積、商的極限。通常情況下，要使用這些法則，往往需要根據(jù)具體情況先對函數(shù)做某些恒等變形或化簡。

13xx精心整理13xx8.初等方法變后，再用極限運算則求極例1

x1

x解：原式=

limx

(32(x32)

limx1

3x3(x32)

。注：本題也可以用洛比達法則。limnn例2解：原式=

limn

n[(n2)1)]n

分子分母同除以

n

limn

3211nn

32

。例3

limn

(nn

n解：原式

上下同除3

limn

()n()n

。3．個重要限sinlimx（1）1x)（2）x

；

lim(1)

說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運用它們的變形形式，sinlimlim(1)例如：x0，x

1

lim(1)3x，；等等。利用兩個重要極限求極限

x0～～～～時（，f(x0～～～～時（，f()xxg()2例5

limx

1x3解：原式=

limx

2sin

22

x

limx

x2sin2x)

。注：本題也可以用洛比達法則。x)例6x0

lim(1x)解：原式=

3sin

x)

x

]

。例7

lim(n

nn

)

n解：原式=

lim(1

)

nn

)]

。4．價無窮定理2無小與有界函的乘積然是窮?。O限是）。定理3當時，下列函數(shù)都是無窮?。礃O限是），且相互等價，即有：

～

xarcsinxarctan)

～

。說明：當上面每個函數(shù)中的自變量x換成

x)()

），仍有上面的等價關(guān)系成立，例如：當0exln(12)～。定理4如果函數(shù)

f),g(f(()11

都是

0時的無窮小

f(x

～

f(x)

g)

～

g()

，則當

f(x)xx()

存在時，

lim

f)(x

f(x)1也存在且等于1

，即

lim

f)()

xx

f(x)()

。利用等價無窮小代換（定理4求極限例9

x0

xx)arctan(2)解：xln(1x

x)

～，

lim原式x0

xx2

。

x和和和也一定存在，且等于，即=精心x和和和也一定存在，且等于，即=例10

0

sinxsin解：原式=

x

esin(exe(xsinxxsinx

。注：下面的解法是錯誤的：原式=

lim

(exxlimx

。正如下面例題解法錯誤一樣：limx0

tanxsinxxlimx3

。例11

limx0

1tan(x2sin)sinx解：

1當x時sin是窮小xsin與2等xx

，所以，原式=

1x2sin1limlimxsinxxx

。（最后一步用到定理2）五、利無窮小的性求極限有限個窮小的和是窮小，界函數(shù)與無小乘積無窮小。用價無窮替換求極限常行之有效例1.

lim(x0

e

)

lim2.

sinsin(lnx5．比達法定理5假當自變量趨近于某定值或無窮），數(shù)

f()(

滿1）

f()(x)的極限都是0都是無窮大；（2）

f(xg()

都可導(dǎo)，且

g)

的導(dǎo)數(shù)不為0；（3）

lim

f

存在（或是無窮大）；則極限

lim

f()ff)flimlimlim()(xg

。說明：定5為洛比達法則，用該法則求極限時，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛

36精心整36

比達法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（）是否滿足，即驗證所求極限是否為“”型或“型；條件）一般都滿足，而條件）則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。利用洛達法則求極說明：當所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法時，洛比達法則還可以連續(xù)使用。例12

limx

1x3

（例4）解：原式=

limx0

sin166

。（最后一步用到了重要極限）例13

limx

cosx解：原式=

limx1

。例14

limx0

sin1cos1limlim解：原式=0=0

。（連續(xù)用洛比達法則，最后用重要極限）例15解：

limx

sinxxsin例18

1lim[]0ln(1)解：錯誤解法：原式=

lim[]xxx

。正確解法：應(yīng)該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。xxlim3x例19解：易見：該極限是“”型，但用洛比達法則后得到：

lim

12cos3

，此極限不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：

精心整理原式=

limx

（分子、分母同時除以x3（利用定理和定理）6．續(xù)性定理一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點處都連續(xù)，即如果f(x(x)則有x。

是函數(shù)

f()

的定義去間內(nèi)的一點，利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限2ex例42解：因為0

是函數(shù)

1f)xex

的一個連續(xù)點，所以原式=

2

。7．限存在則定理（準則1單調(diào)界數(shù)列有極。四、利用單調(diào)有界準則求極限首先常用數(shù)學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性，再求解方程可求出極限。例1.設(shè)

，

x

x,

x(

)求極限

x

。定理（準則2已知

{}{y},{}n

為三個列，且滿足（）

yx(2,3,)nnlimy（）n

limz，lim則極限n

lima一定存，且極限值是，即n

。夾逼定理

nn精心整理nn利用極存在準則求限例20已知

,1

n

(2,)n

x，求n

n解易證數(shù)列

{}

單調(diào)遞增且有（

由準則極限n

n

xa存在設(shè)n

。對已知的遞推公式

n

2

n

兩邊求極限，得：

，解得：或

（不合題意，舍去）x2所以n

。例21

lim(n

2

2

)解：易見：

2

2

2

2

2

因為

lim

，

lim

所以由準則2：

lim(

n2

2

)

。9.?洛必達法則與等價無窮小替換結(jié)合法

精心整理對于一些函數(shù)求極限問題，洛必達法則和等價無窮小結(jié)合御用，往往能化簡運算，收到奇效。勒展開法用定積分的定義求極限法積分本質(zhì)上是和式的極限，所以一些和式的極限問題可以轉(zhuǎn)化為求定積分的問題。8.?利用復(fù)合函數(shù)求極限

精心整理十、利級數(shù)收斂的要條件極限級數(shù)收斂的必要條件是：若級數(shù)

n

n

收斂，則

limu0limf()n，故對某些極，可將函數(shù)f(n)

作為級數(shù)

n

f(n)

limf(n的一般項，只須證明此技術(shù)收斂，便n。lim

!十一、用冪級數(shù)的函數(shù)求限當數(shù)列本身就是某個級數(shù)的部分和數(shù)列時該數(shù)列的極限就成了求相應(yīng)級數(shù)的和時?？梢暂o助性的構(gòu)造一個函數(shù)項級數(shù)（通常為冪級數(shù)，有時為Fourier級數(shù)）。使得要求的極限恰好是該函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)在某點的值。3lim(1例求

7等比等差列公式應(yīng)（對付數(shù)極限）（q絕值符號要小于18各項的拆相加（來掉中間的多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）可以使用待系數(shù)法來分化簡函9求右求極限的方式（對付數(shù)列極限）如知道與Xn+1的關(guān)系，知Xn的極限存在的情況下，??xn的極限xn+1的極限一樣的，應(yīng)為極限去掉限項目