清華模電教程數(shù)字電路基礎

第一章數(shù)字電路基礎BaseofDigitalCircuit1.1數(shù)字電路的基本概念1.2數(shù)制1.6邏輯函數(shù)的建立及其表示方法1.8

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1.7邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法1.3二—十進制碼（BCD碼）1.5邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式1.4基本邏輯運算第一章數(shù)字電路基礎BaseofDigitalCircuit

1.1數(shù)字電路的基本概念一、數(shù)字信號的特點:數(shù)字信號在時間上和數(shù)值上均是離散的。數(shù)字信號在電路中常表現(xiàn)為突變的電壓或電流圖1.1.1典型的數(shù)字信號

有兩種邏輯體制：正邏輯體制規(guī)定：高電平為邏輯1，低電平為邏輯0。

負邏輯體制規(guī)定：低電平為邏輯1，高電平為邏輯0。

如果采用正邏輯，圖1.1.1所示的數(shù)字電壓信號就成為下圖所示邏輯信號。

二、正邏輯與負邏輯

數(shù)字信號是一種二值信號，用兩個電平（高電平和低電平）分別來表示兩個邏輯值（邏輯1和邏輯0）。

三、數(shù)字信號的主要參數(shù)

一個理想的周期性數(shù)字信號，可用以下幾個參數(shù)來描繪：

Vm——信號幅度。

T——信號的重復周期。

tW——脈沖寬度。

q——占空比。其定義為：

下圖所示為三個周期相同（T=20ms），但幅度、脈沖寬度及占空比各不相同的數(shù)字信號。1.2數(shù)制二、不同數(shù)制之間的相互轉換

1．二進制轉換成十進制一、幾種常用的計數(shù)體制

1.十進制(Decimal)

2.二進制(Binary)

3.十六進制(Hexadecimal)與八進制（Octal）例1.2.1將二進制數(shù)10011.101轉換成十進制數(shù)。解：將每一位二進制數(shù)乘以位權，然后相加，可得(10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－3

＝（19.625)D例1.2.2將十進制數(shù)23轉換成二進制數(shù)。

解：用“除2取余”法轉換:

2.十進制轉換成二進制則（23)D=（10111)B

1.3二—十進制碼（BCD碼）

BCD碼——用二進制代碼來表示十進制的0～9十個數(shù)。

要用二進制代碼來表示十進制的0～9十個數(shù)，至少要用4位二進制數(shù)。

4位二進制數(shù)有16種組合，可從這16種組合中選擇10種組合分別來表示十進制的0～9十個數(shù)。

選哪10種組合，有多種方案，這就形成了不同的BCD碼。

一、基本邏輯運算與邏輯舉例：設1表示開關閉合或燈亮；0表示開關不閉合或燈不亮，則得真值表。

1.4基本邏輯運算與運算——只有當決定一件事情的條件全部具備之后，這件事情才會發(fā)生。我們把這種因果關系稱為與邏輯。1．與運算若用邏輯表達式來描述，則可寫為2．或運算——當決定一件事情的幾個條件中，只要有一個或一個以上條件具備，這件事情就發(fā)生。我們把這種因果關系稱為或邏輯。

或邏輯舉例：

若用邏輯表達式來描述，則可寫為：L＝A+B

3．非運算——某事情發(fā)生與否，僅取決于一個條件，而且是對該條件的否定。即條件具備時事情不發(fā)生；條件不具備時事情才發(fā)生。非邏輯舉例：

若用邏輯表達式來描述，則可寫為：

二、其他常用邏輯運算2．或非——由或運算和非運算組合而成。

1．與非——由與運算和非運算組合而成。

異或是一種二變量邏輯運算，當兩個變量取值相同時，邏輯函數(shù)值為0；當兩個變量取值不同時，邏輯函數(shù)值為1。異或的邏輯表達式為：3．異或(a)1001(b)BA0AB0010111L=L4．同或同或是一種二變量邏輯運算，當兩個變量取值相同時，邏輯函數(shù)值為1；當兩個變量取值不同時，邏輯函數(shù)值為0。異或的邏輯表達式為：1.5邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式一、邏輯代數(shù)的基本公式

對偶規(guī)則的基本內容是：如果兩個邏輯函數(shù)表達式相等，那么它們的對偶式也一定相等?；竟街械墓絣和公式2就互為對偶式。

對于任何一個邏輯等式，以某個邏輯變量或邏輯函數(shù)同時取代等式兩端任何一個邏輯變量后，等式依然成立。例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立：

將一個邏輯函數(shù)L進行下列變換：

·→＋，＋→·

0→1，1→

所得新函數(shù)表達式叫做L的對偶式，用表示。1.代入規(guī)則

2.對偶規(guī)則二、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則3.反演規(guī)則

將一個邏輯函數(shù)L進行下列變換：

·→＋，＋→·；

0→1，1→0

原變量→反變量，反變量→原變量。所得新函數(shù)表達式叫做L的反函數(shù)，用表示。

在應用反演規(guī)則求反函數(shù)時要注意以下兩點：（1）保持運算的優(yōu)先順序不變，必要時加括號表明，如例1.5.3。（2）變換中，幾個變量（一個以上）的公共非號保持不變，如例1.5.4。

利用反演規(guī)則，可以非常方便地求得一個函數(shù)的反函數(shù):

解：例1.5.4

求以下函數(shù)的反函數(shù)：解：例1.5.3求以下函數(shù)的反函數(shù)：1.6邏輯函數(shù)的建立及其表示方法一、邏輯函數(shù)的建立例1.6.1三個人表決一件事情，結果按“少數(shù)服從多數(shù)”的原則決定，試建立該邏輯函數(shù)。第三步：根據(jù)題義及上述規(guī)定列出函數(shù)的真值表如表。解第一步：設置自變量和因變量。第二步：狀態(tài)賦值。對于自變量A、B、C設：同意為邏輯“1”，不同意為邏輯“0”。對于因變量L設：事情通過為邏輯“1”，沒通過為邏輯“0”。

一般地說，若輸入邏輯變量A、B、C…的取值確定以后，輸出邏輯變量L的值也唯一地確定了，就稱L是A、B、C的邏輯函數(shù)，寫作：

L=f（A，B，C…）

邏輯函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)相比較，有兩個突出的特點：（1）邏輯變量和邏輯函數(shù)只能取兩個值0和1。（2）函數(shù)和變量之間的關系是由“與”、“或”、“非”三種基本運算決定的。

1．真值表——將輸入邏輯變量的各種可能取值和相應的函數(shù)值排列在一起而組成的表格。

2．函數(shù)表達式——由邏輯變量和“與”、“或”、“非”三種運算符所構成的表達式。

由真值表可以轉換為函數(shù)表達式。例如，由“三人表決”函數(shù)的真值表可寫出邏輯表達式：

反之，由函數(shù)表達式也可以轉換成真值表。解：該函數(shù)有兩個變量，有4種取值的可能組合，將他們按順序排列起來即得真值表。二、邏輯函數(shù)的表示方法例1.6.2

列出下列函數(shù)的真值表：由邏輯圖也可以寫出其相應的函數(shù)表達式。例1.6.4

寫出如圖所示邏輯圖的函數(shù)表達式。解：可由輸入至輸出逐步寫出邏輯表達式：由函數(shù)表達式可以畫出其相應的邏輯圖。例1.6.3

畫出下列函數(shù)的邏輯圖：解：可用兩個非門、兩個與門和一個或門組成。3．邏輯圖——邏輯圖是由邏輯符號及它們之間的連線而構成的圖形。1．邏輯函數(shù)式的常見形式

一個邏輯函數(shù)的表達式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互轉換。例如：1.7、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法其中，與—或表達式是邏輯函數(shù)的最基本表達形式。

2．邏輯函數(shù)的最簡“與—或表達式”的標準（1）與項最少，即表達式中“+”號最少。（2）每個與項中的變量數(shù)最少，即表達式中“·

”號最少。（4）配項法。

（1）并項法。（2）吸收法。（3）消去法。運用公式，將兩項合并為一項，消去一個變量。如運用吸收律

A+AB=A，消去多余的與項。如

3．用代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)

解：例1.7.1

化簡邏輯函數(shù)：

（利用）（利用A+AB=A）（利用

）再舉幾個例子：

在化簡邏輯函數(shù)時，要靈活運用上述方法，才能將邏輯數(shù)化為最簡。

解：例1.7.2化簡邏輯函數(shù)：

（利用反演律）（利用）（配項法）（利用A+AB=A）（利用A+AB=A）（利用）

解法1：

解法2：例1.7.3化簡邏輯函數(shù)：

由上例可知，邏輯函數(shù)的化簡結果不是唯一的。代數(shù)化簡法的優(yōu)點是不受變量數(shù)目的限制。缺點是：沒有固定的步驟可循；需要熟練運用各種公式和定理；在化簡一些較為復雜的邏輯函數(shù)時還需要一定的技巧和經(jīng)驗；有時很難判定化簡結果是否最簡。

一、

最小項的定義與性質最小項的定義

n個變量的邏輯函數(shù)中，包含全部變量的乘積項稱為最小項。

n變量邏輯函數(shù)的全部最小項共有2n個。

1.8

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

二、邏輯函數(shù)的最小項表達式

任何一個邏輯函數(shù)表達式都可以轉換為一組最小項和稱為最小項表達式。

解：

解：

=m7+m6+m3+m1

例1.8.2

將下列邏輯函數(shù)轉換成最小項表達式：

=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）

例1.8.1：將以下邏輯函數(shù)轉換成最小項表達式：（2）三變量卡諾圖

（1）二變量卡諾圖三．卡諾圖的結構（3）四變量卡諾圖仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，卡諾圖具有很強的相鄰性：（1）直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項在邏輯上一定是相鄰的。（2）對邊相鄰性，即與中心軸對稱的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。四、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

1．從真值表到卡諾圖例3.2.3

某邏輯函數(shù)的真值表如表3.2.3所示，用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。解：該函數(shù)為三變量，先畫出三變量卡諾圖，然后根據(jù)真值表將8個最小項L的取值0或者1填入卡諾圖中對應的8個小方格中即可。（2）如表達式不是最小項表達式，但是“與—或表達式”，可將其先化成最小項表達式，再填入卡諾圖。也可直接填入。

例3.2.5

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)（1）如果表達式為最小項表達式，則可直接填入卡諾解：寫成簡化形式：然后填入卡諾圖：解：直接填入：

例3.2.4用卡諾圖表示邏輯函數(shù):2．從邏輯表達式到卡諾圖1．卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的原理:（1）2個相鄰的最小項結合，可以消去1個取值不同的變量而合并為l項。

（2）4個相鄰的最小項結合，可以消去2個取值不同的變量而合并為l項。

（3）8個相鄰的最小項結合，可以消去3個取值不同的變量而合并為l項。總之，2n個相鄰的最小項結合，可以消去n個取值不同的變量而合并為l項。

五、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法（1）盡量畫大圈，但每個圈內只能含有2n（n=0,1,2,3……）個相鄰項。要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個數(shù)盡量少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過，即不能漏下取值為1的最小項。（4）在新畫的包圍圈中至少要含有1個末被圈過的1方格，否則該包圍圈是多余的。

3．用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟：

2．用卡諾圖合并最小項的原則（畫圈的原則）

（1）畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。（2）合并相鄰的最小項，即根據(jù)前述原則畫圈。（3）寫出化簡后的表達式。每一個圈寫一個最簡與項，規(guī)則是，取值為l的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項進行邏輯加，即得最簡與—或表達式。L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）

例1.8.4用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：注意：圖中的虛線圈是多余的，應去掉。例1.8.3用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：

解：（1）由表達式畫出卡諾圖。（2）畫包圍圈，合并最小項，

得簡化的與—或表達式:

解：（1）由表達式畫出卡諾圖。（2）畫包圍圈合并最小項，得簡化的與—或表達式:解：（1）由真值表畫出卡諾圖。（b）：寫出表達式：

通過這個例子可以看出，一個邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，卡諾圖也是唯一的，但化簡結果有時不是唯一的。

例1.8.5某邏輯函數(shù)的真值表如表3.2.4所示，用卡諾圖化簡該邏數(shù)。（2）畫包圍圈合并最小項。有兩種畫圈的方法：（a）：寫出表達式：（2）用圈0法畫包圍圈，得：

4．卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的另一種方法——圈0法例1.8.6已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如圖3.2.13所示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫出其最簡與—或式。解：（1）用圈1法畫包圍圈，得：解：設紅、綠、黃燈分別用A、B、C表示，且燈亮為1，燈滅為0。車用L表示，車行L=1，車停L=0。列出該函數(shù)的真值。顯而易見，在這個函數(shù)中，有5個最小項為無關項。帶有無關項的邏輯函數(shù)的最小項表達式為：L=∑m（）+∑d（）如本例函數(shù)可寫成L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）1．無關項——在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組合不會出現(xiàn)，或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對應的最小項稱為無關項、任意項或約束項。

例3.2.10：在十字路口有紅綠黃三色交通信號燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信號燈之間邏輯關系。六、具有無關項的邏輯函數(shù)的化簡不考慮無關項時，表達式為：注意:在考慮無關項時，哪些無關項當作1，哪些無關項當作0，要以盡量擴大卡諾圈、減少圈的個數(shù)，使邏輯函數(shù)更簡為原則。考慮無關項時，表達式為:

2．具有無關項的邏輯函數(shù)的化簡

化簡具有無關項的邏輯函數(shù)時，要充分利用