-高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列4等比數(shù)列4教案新人教版必修

PAGEPAGE6等比數(shù)列教學(xué)目標(biāo)：掌握等比數(shù)列的定義，理解等比數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)；培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)意識，提高學(xué)生創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的邏輯推理能力，增強學(xué)生的應(yīng)用意識.教學(xué)重點：等比數(shù)列的定義及通項公式.教學(xué)難點：靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義式及通項公式解決一些相關(guān)問題.教學(xué)過程：Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧前面幾節(jié)課，我們共同探討了等差數(shù)列，現(xiàn)在我們再來回顧一下等差數(shù)列的主要內(nèi)容.Ⅱ.講授新課下面我們來看這樣幾個數(shù)列，看其又有何共同特點?1，2，4，8，16，…，263； ①5，25，125，625，…； ②1，－eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…； ③仔細觀察數(shù)列，尋其共同特點.對于數(shù)列①，an＝2n－1；eq\f(an,an－1)＝2(n≥2)對于數(shù)列②，an＝5n；eq\f(an,an－1)＝5(n≥2) 對于數(shù)列③，an＝(－1)n+1·eq\f(1,2n－1)；eq\f(an,an－1)＝－eq\f(1,2)(n≥2)共同特點：從第二項起，第一項與前一項的比都等于同一個常數(shù).也就是說，這些數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的比都具有“相等”的特點.1.定義等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示(q≠0)，即：an∶an－1＝q(q≠0)如：數(shù)列①，②，③都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，－eq\f(1,2).與等差數(shù)列比較，僅一字之差.總之，若一數(shù)列從第二項起，每一項與其前一項之“差”為常數(shù)，則為等差數(shù)列，之“比”為常數(shù)，則為等比數(shù)列，此常數(shù)稱為“公差”或“公比”.[Z,xx,k.Com]注意（1）公差“d”可為0，（2）公比“q”不可為0.等比數(shù)列的通項公式又如何呢?2.等比數(shù)列的通項公式請同學(xué)們想想等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程，試著推一下等比數(shù)列的通項公式.解法一：由定義式可得：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…，an＝an－1q＝a1qn－1(a1，q≠0)，n＝1時，等式也成立，即對一切n∈N*成立.解法二：由定義式得：(n－1)個等式eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(a2,a1)＝q①,eq\f(a3,a2)＝q②,……,eq\f(an,an－1)＝qn－1))若將上述n－1個等式相乘，便可得：eq\f(a2,a1)×eq\f(a3,a2)×eq\f(a4,a3)×…×eq\f(an,an－1)＝qn－1即：an＝a1·qn－1(n≥2)當(dāng)n＝1時，左＝a1，右＝a1，所以等式成立，∴等比數(shù)列通項公式為：an＝a1·qn－1(a1，q≠0)如：數(shù)列①，an＝1×2n－1＝2n－1(n≤64)[]數(shù)列②：an＝5×5n－1＝5n，數(shù)列③：an＝1×(－eq\f(1,2))n－1＝(－1)n－1eq\f(1,2n－1)與等差數(shù)列比較，兩者均可用歸納法求得通項公式.或者，等差數(shù)列是將由定義式得到的n－1個式子相“加”，便可求得通項公式；而等比數(shù)列則需將由定義式得到的n－1個式子相“乘”，方可求得通項公式.下面看一些例子：［例1］培育水稻新品種，如果第一代得到120粒種子，并且從第一代起，由以后各代的每一粒種子都可以得到下一代的120粒種子，到第5代大約可以得到這個新品種的種子多少粒（保留兩個有效數(shù)字）？分析：下一代的種子數(shù)總是上一代種子數(shù)的120倍，逐代的種子數(shù)可組成一等比數(shù)列，然后可用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決題目所要求的問題.解：由題意可得：逐代的種子數(shù)可組成一以a1＝120，q＝120的等比數(shù)列{an}.由等比數(shù)列通項公式可得：an＝a1·qn－1＝120×120n－1＝120n∴a5＝1205≈2.5×1010.答：到第5代大約可以得到種子2.5×1010粒.評述：遇到實際問題，首先應(yīng)仔細分析題意，以準(zhǔn)確恰當(dāng)建立數(shù)學(xué)模型.［例2］一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項.分析：應(yīng)將已知條件用數(shù)學(xué)語言描述，并聯(lián)立，然后求得通項公式.解：設(shè)這個等比數(shù)列的首項是a1，公比是q則：eq\b\lc\{(\a\al(a1q2＝12①,a1q3＝18②))②÷①得：q＝eq\f(3,2) ③③代入①得：a1＝eq\f(16,3)∴an＝a1·qn－1＝eq\f(16,3)×（eq\f(3,2)）n－1，a2＝a1·q＝eq\f(16,3)×eq\f(3,2)＝8.答：這個數(shù)列的第1項與第2項分別是eq\f(16,3)和8.評述：要靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義式及通項公式.Ⅲ.課堂練習(xí)課本P48練習(xí)1，2，3已知{an}是無窮等比數(shù)列，公比為q.(1)將數(shù)列{an}中的前k項去掉，剩余各項組成一個新數(shù)列，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公比各是多少？解：設(shè){an}為：a1，a2，…，ak，ak+1，…則去掉前k項的數(shù)可列為：ak+1，ak+2，…，an，…可知，此數(shù)列是等比數(shù)列，它的首項為ak+1，公比為q.(2)取出數(shù)列{an}中的所有奇數(shù)項，組成一個新的數(shù)列，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公比各是多少？解：設(shè){an}為：a1，a2，a3，…，a2k－1，a2k，…，取出{an}中的所有奇數(shù)項，分別為：a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，a2k+1，…∵eq\f(a2k+1,a2k－1)＝eq\f(a1q2k,a1q2k－2)＝q2(k≥1)∴此數(shù)列為等比數(shù)列，這個數(shù)列的首項是a1，公比為q2.(3)在數(shù)列{an}中，每隔10項取出一項，組成一個新的數(shù)列，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的公比是多少？解：設(shè)數(shù)列{an}為：a1，a2，…，an，…[]每隔10項取出一項的數(shù)可列為：a11，a22，a33，……可知，此數(shù)列為等比數(shù)列，其公式為：eq\f(a22,a11)＝eq\f(a11q11,a11)＝q11.評述：注意靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義式和通項公式.Ⅳ.課時小結(jié)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的定義，即：eq\f(an,an－1)＝q(q≠0，q為常數(shù)，n≥2)等比數(shù)列的通項公式：an＝a1·qn－1(n≥2)及推導(dǎo)過程.Ⅴ.課后作業(yè)課本P52習(xí)題1，2，3，4等比數(shù)列(一)1．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝pn，那么數(shù)列{an}是（）A.等比數(shù)列 B.當(dāng)p≠0時為等比數(shù)列C.當(dāng)p≠0，p≠1時為等比數(shù)列 D.不可能為等比數(shù)列2．公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a2，a3，a6依次成等比數(shù)列，則公比等于（）A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.2 D.33．?dāng)?shù)列{an}的前n項之和是Sn＝an＋b(a、b為常數(shù)且a≠0，1)，問數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎？若是，寫出通項公式，若不是，說明理由.4．已知等比數(shù)列x，－eq\f(3,4)，y，－eq\f(27,16)，eq\f(81,32)，…，求x，y.5．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項為a1，公比不等于1，又其中有連續(xù)三項分別是一等差數(shù)列的第t，k，p項，求數(shù)列{an}的通項公式.6．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，求a4的值.等比數(shù)列(一)答案1．D2．D3．?dāng)?shù)列{an}的前n項之和是Sn＝an＋b(a、b為常數(shù)且a≠0，1)，問數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎？若是，寫出通項公式，若不是，說明理由.分析：利用等比數(shù)列的定義解題.解：a1＝S1＝a＋b，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1又a1＝(a－1)·a0＝a－1∴若a－1≠a＋b，即b≠－1時，顯然數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.若a－1＝a＋b，即b＝－1時，由an＝(a－1)an－1(n≥1)，得eq\f(an,an－1)＝a(n≥2)故數(shù)列{an}是等比數(shù)列.4．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(9,8)5．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項為a1，公比不等于1，又其中有連續(xù)三項分別是一等差數(shù)列的第t，k，p項，求數(shù)列{an}的通項公式.分析一：先從等比數(shù)列入手解決問題.解法一：設(shè)符合題設(shè)的等比數(shù)列{an}中的連續(xù)三項為am，am+1，am+2，則：am+1＝amq，am+2＝am+1q(q為公比)兩式相減，得q＝eq\f(am＋2－am＋1,am＋1－am)又am+1＝am＋(k－t)d，即am+1－am＝(k－t)d同理am+2－am+1＝(p－k)d(d為公差），故q＝eq\f(（p－k）d,（k－t）d)＝eq\f(p－k,k－t)∴所求通項公式為an＝a1(eq\f(p－k,k－t))n－1.分析二：先從等差數(shù)列入手解決問題.解法二：設(shè)等差數(shù)列為{bn}，公差為d，則eq\b\lc\{(\a\al(b1＝b1＋（t－1）d,bk＝b1＋（k－1）d,bp＝b1＋（p－1）d))由題設(shè)知，bt，bk，bp是等比數(shù)列{an}中的連續(xù)三項：故q＝eq\f(bk,bt)＝eq\f(bp,bk)利用等比定理，可得eq\f(bk,bt)＝eq\f(bp－bk,bk－bt)＝eq\f(（p－k）d,（k－t）d)＝eq\f(p－k,k－t)∴q＝eq\f(p－k,k－t)，an＝a1(eq\f(p－k,k－t))n－1.6．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，求a4的值.分析：要求a4可以先求an，這樣求基本量a1和q的值就成了關(guān)鍵，結(jié)合條件考慮運用方程思想解決.解：設(shè)此數(shù)列的公比為q,由已知得：eq\b\lc\{(\a\al(a1＋a1q2＝10,a