平面向量的線性運算(教師版)

DSM金牌數(shù)學(xué)高一專系列之

平面向量線性運算一向的法Cb

a+b

b

b

b

Da

a

a

b

O

cb

）向加的角法：已知向量a

，在平面上任取一點A

，作

，

BC

，再作向量

AC

，則向量

AC

叫做

和

的和（或和向量作

，即

．）向求的行邊法：已知兩個不共線的向量a，作AB，AD，，，三不共線，以，AD為鄰邊作平行四邊形，對角線上的向量）向的算質(zhì)

AC

，這個法則叫做向量求和的平行四邊形法則．①向量法的交換律

②向量法的結(jié)合律a)b)③關(guān)于

：

）向求的邊法：已知個向量次這n個量首尾相連第個向量的始點為始點個量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量．這個法則叫做向量求和的多邊形法則．二向的法

d

a-b

b

b

O

a

）相向：向量

方向相反且等長的向量叫做

的相反向量，記作

．零向量的相反向量仍是零向量．

）差向定：如把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點，被減向量的終點為終點的向量．推一個向量

等于它的終點相對于點

的位置向量

減去它的始點相對于點

的位置向量

簡終點向量減始點向量）個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量三向的乘數(shù)乘向量：實數(shù)

和向量

的乘積是一個向量，記作

，且

的長

a四向共的件如果

，a∥b；之，如果∥b，b則一定存在唯一的一個實數(shù)使a

．例1.

AB

題型一加法運算及幾何意_____________.【解析】如圖，AB，ACCDAD例2.例4】、、分為

ABC

的三邊,

的中點，則

FC

（）A.

B.

ADC.

D.

BC【解析】D,E,F分是的三邊CA,

的中點，1FCEFECEC(ABAC)2拓展變練習(xí)變1.如圖D、、

的三邊,,

的中點，則)

A.

B.

CFDF

C.

CECF

D.

BEFC【答案】【解析】由圖可知

DBCF在中BEED,ADBE1變2.四邊OABC中，CBOA若OA，OC，）A.

B.aC.D.a2【答案】【解析】如圖所示，

OAa題型二減法運算及幾何意例3.若OEF是不共線的任意三點，則以下各式成立的().A.

EFOFOE

B.

EF

C.

EFOE

D.

EFOE【答案】【解析】由向量的減法知

EF例4.若向量

．A.

(

B.

C.

D.

(【答案】【解析向量BA

向量

CA(4,7)，AB

,

ACBCAB

.

拓展變練習(xí)變3.已知邊形

是一個正六邊形O是的中心其中

a

,

b

,

c

則

等于()．A.

B.

C.

c

D.

a【答案】見解析【解析

O是正六邊形ABCDEF的心，

OF

,

OA,則

OE，則EFa變4.已知兩個非零向量a，滿

a|

，則下面結(jié)論正確的是（）A.∥

B.

b

C.

D.

【答案】【解析兩非零向量

，

b

滿足

aa|，a)2a)

2

，展開得到

a

。題型三平面向量的乘及其何意義例5.已

e1

ab121

.若a與共，則()A.

B.

e2

C.e∥

D.或∥e【答案】【解析】若

a

共線則存在m使

a即

e12

，當(dāng)

e,e

不共線時，有

0

,或

∥

e例6.如所示，在平行四邊形中M是的點，點在角線BD上且

BN

13

.求證M、、三共．

22【答案】見解析【解析】證明：設(shè)

ABAD111MNABBDa(AD)()1MCBCADb3MN，∥MC又

，

有公共點M，M,N,C三點共線變

拓展變練習(xí)112[b)]ab)223

___________.變設(shè)

e,

是不共線的向量，已知向量

AB,CBCDe122

，若、三點共線，求k的值【答案】【解析】

CB))e12121ABe，于ABD三點共線，故1

DB與共線1:4:k，1，，的是【點評】要證A，，三共線，只需證

ABAC

或

ABBC(

k)

，列方程求解，1.在

中，若|BA|

，則

一定是（）A．鈍角三角形【答案】

B．銳角三角形C．直角三形D不能確定【解析】AC，BC

AC22AC2

，即

c

2

2

cos

2得

cosB，，一是直角三角形

2.在平行四邊形中，對角線與BD交于點，ADAO，則【答案】【解析】

四邊形

為平行四邊形，對角線

與

BD

交于點O所以

ADAC，O為AC的點AO，ABAD，，

【點評】由向量加法的平行四邊形法則得

ADAC

,所以

設(shè)M為行四邊形對線的交點為平行四邊形ABCD所平面內(nèi)任意一點等于（）

OBOCODA.

4

B.

OM

C.

2

D.

OM【答案】【解析O任意一點，不妨把A點看成O點OAOCOD，M是平行四邊形ABC對角線有交點，O4.設(shè)平面內(nèi)有四邊形ABCD點O，OA，OB，若形狀為.【答案】平行四邊形

則邊形【解析滿足，a,CD

,因此四邊形