SARS傳播的數(shù)學模型68489

.../SARS傳播的數(shù)學模型摘要通過對題目附件1的SARS模型進行分析和評價,加深了對SARS的認識和了解。根據(jù)傳染病的傳播特點,建立了關于SARS病人率和疑似病人率兩個常微分方程模型。以所給數(shù)據(jù)為基本依據(jù),用Matlab軟件進行數(shù)值計算,與圖形模擬方法求得模型中的有關參數(shù)。當λ1=1.5和λ2=1時,理論圖形與實際圖形有良好的吻合,分別得到了SARS病人率和疑似病人率比較符合實際數(shù)據(jù)的變化圖,能正確地預測它們的發(fā)展趨勢。他們對于模型中的參數(shù)有非常強的靈感性,λ1的值作微小的改變對于整個疫情的發(fā)展有很大的影響,所以政府采取對SARS疫情的有關措施是完全正確的。本文重點分析了關于SARS病人率的模型一,根據(jù)求得的參數(shù),利用相軌線理論對結果加以分析并對整個疫情作出預測,并推論出SARS病人率關于t的表達式i<t>,然后提出了對傳染病的控制方案,同時列舉了具體方法,并論證了方法的合理性和可行性,用其它地區(qū)的數(shù)據(jù)對模型進行檢驗,說明模型的參數(shù)有區(qū)域性。關鍵詞：SARS微分方程曲線擬合數(shù)學模型相軌線本文首先分析評價了附件1中SARS傳播的數(shù)學模型,指出該模型可以對疫情走勢進行預測,但同時也存在一定缺點,第一,混淆了累計病例數(shù)與累計確診人數(shù)的概念；第二,對參數(shù)的確定缺乏根據(jù)；第三,預測時借助了其他地區(qū)的參數(shù),偏差較大.本文針對其缺點建立了一個比較完善的傳播模型.該傳播模型按政府開始控制的時刻分為控制前與控制后兩個模型,兩個模型均以潛伏期5天為周期,以一個周期為整體建立差分方程模型.再結合5月15日以前北京疫情的公開數(shù)據(jù),配合不同的政府監(jiān)控力度,對整個北京的SARS疫情狀況進行了預測.預計政府的監(jiān)控力度一直保持在5月10日－5月15日的水平上時,6月10日－6月15日北京將會無新增病例,最后累積病例數(shù)為2993.對衛(wèi)生部門采取的措施進行了評價：若提前或延后5天采取嚴格的隔離措施最后累計病例數(shù)分別為1300多與5200左右.進一步通過對人群的不同分類,建立了兩個微分方程組,可分別預測出實際發(fā)病人數(shù)、不可控/可控帶菌者人數(shù)與當天疑似病例數(shù)、累計確診人數(shù)、不可控/可控帶菌者人數(shù)及治愈、死亡人數(shù),結合兩者的信息就可以得到足夠的信息量.但模型中的部分參數(shù)無法確定給模型求解帶來困難.可以通過搜集更多的數(shù)據(jù)和資料加以解決.本文同時就外國來京旅游人數(shù)受SARS的影響,建立了模型,估算出4、5、6、7四個月中北京地區(qū)入境旅游人數(shù)比往年同期減少了94.8萬人,旅游經(jīng)濟損在4.74億美元至9.48億美元之間.并預測出在20XX10月上旬,旅游人數(shù)將恢復到正常水平.最后給報紙寫了一篇短文,說明了建立傳染病數(shù)學模型的必要性與重要性.一、問題的提出公元20XX春天,一種叫SARS的病毒從天而降,降到人類賴以生存的星球,降到中國人的頭上.SARS究竟是什么,它為什么會代給人類這么多的傷痛與如此難以"磨滅"的印象？SARS〔SevereAcuteRespiratorySyndrome,嚴重急性呼吸道綜合癥,俗稱：非典型肺炎是21世紀第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病.SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響,我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗和教訓,認識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性.現(xiàn)需對SARS的傳播建立數(shù)學模型,具體要求如下：〔1對附件1所提供的一個早期的模型,評價其合理性和實用性.〔2建立自己的模型,說明為什么優(yōu)于附件1中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型,這樣做的困難在哪里？對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論,如：提前或延后5天采取嚴格的隔離措施,對疫情傳播所造成的影響做出估計.附件2提供的數(shù)據(jù)供參考.〔3收集SARS對經(jīng)濟某個方面影響的數(shù)據(jù),建立相應的數(shù)學模型并進行預測.附件3提供的數(shù)據(jù)供參考.〔4給當?shù)貓罂瘜懸黄ㄋ锥涛?說明建立傳染病數(shù)學模型的重要性.474050000〔美元948100000〔美元海外旅游接待人數(shù)減少948100人上面僅就北京的海外旅游接客人數(shù)進行預測分析,從而不難看出,這場非典災難對旅游業(yè)造成的損失相當巨大。5.對經(jīng)濟其它方面的影響據(jù)有關資料顯示：非典對旅游業(yè)的影響預計在６００億元左右.非典對零售業(yè)的影響預計在１０％左右.非典對零售業(yè)的沖擊主要是使消費者信心受挫,壓抑消費者的消費心理.我但從全年來說,預計損失在１０％左右.非典對餐飲業(yè)的影響約為１５％以上.非典對建筑業(yè)的影響相對滯后.由于建筑業(yè)關聯(lián)性較大,對經(jīng)濟可能產(chǎn)生滯后影響.隨著非典疫情的控制,估計８月份以后,影響將逐漸減弱.非典對房地產(chǎn)業(yè)具有潛在影響.目前由于非典影響,使北京市房地產(chǎn)即期銷售減少,新開工和部分在建工程進度可能延遲,開發(fā)商資金壓力較大,銀行利息增加,具有潛在影響.醫(yī)藥、通訊、保險行業(yè)受益較大.根據(jù)上面的資料顯示以及對旅游業(yè)的定量分析,我們認為非典對北京第業(yè)沖擊較小,預計仍保持穩(wěn)定增長趨勢；對第二產(chǎn)業(yè)總體影響有一定的滯后期.第三產(chǎn)業(yè)短期內(nèi)受沖擊比較大是不可避免的,尤以旅游及其相關行業(yè)損失最大.但因消費需求具有較強的慣性和剛性,不會長期壓抑.6.模型的推廣本模型還可以研究許多傳染病〔如水痘,腮腺炎等的傳播規(guī)律,為相關部門提供較合理的病情傳播信息,以更好地制定在傳染病流行期間,給單位部門的防止措施和生產(chǎn)計劃！7.模型的評價<1>利用"時間序列法"預測在沒有非典情況下,20XX北京市每月海外旅游者的接客數(shù)量,并得到了合理的結果。<2>根據(jù)旅游業(yè)的自身特點和大眾消費心理,用二次曲線對從高峰期開始的數(shù)據(jù)進行最小二乘擬合,在實際情況〔出現(xiàn)非典下進行預測。通過大量資料的調(diào)查,可以表明預測結果是合理的。<3>我們搜集了有關海外旅游人員在國內(nèi)的平均消費量數(shù)據(jù),并以此算出在非典時期,該旅游行業(yè)的總損失。根據(jù)得到的結果,可以更形象地說明非典對旅游業(yè)造成的巨大負面影響！<4>我們僅對在非典時期北京市接待海外旅游者的人數(shù)建立數(shù)學模型,還有對其它經(jīng)濟方面的影響數(shù)據(jù)未收集。<5>在實際情況〔出現(xiàn)非典下進行預測時,還可以考慮更好的數(shù)學方法,以得到更為合理的結果！七、參考文獻[1]中國科學院遙感應用研究所,"早發(fā)現(xiàn)、早隔離、早治療"對于控制SARS疫情的定量分析,/Analysis/SarsAnalysis.htm,2003/9/24[2]衛(wèi)生部："非典"疫情監(jiān)測報告實施方案〔全文,/news/china/zgkx/200309031242.htm,2003/9/24,2003/9/24[3]景學成,非典對北京經(jīng)濟的影響因素,/jjxx/index1.asp,2003/9/24[4]壽紀麟,《數(shù)學建模—方法與范例》,XX：XX交通大學出版社,1993年[5]趙靜但琪等,《數(shù)學建模與數(shù)學實驗》,北京：高等教育出版社,20XX[6]姜啟源,《數(shù)學模型》,北京：高等教育出版社,1993年附件附件一給當?shù)貓罂亩涛臄?shù)學槍模型彈瞄準病毒一二三20XX末,一種叫SARS的病毒看中了我們耐以生存的藍色星球,決定在這里繁衍生息。它們站在這顆星球的主人－人類的頭上大聲叫囂："我是病毒我怕誰？"SARS確實厲害,在人類可以為自己在科技、醫(yī)學等各方面的巨大成就而驕傲的時候,它給足了人類顏色。由于我們品種齊全的"殺蟲劑"中沒有"滅SARS牌"的藥劑,所以它們把整個世界搞得天昏地暗所做的工作,僅僅是輕輕推倒多米諾骨牌的第一張。在這種危急時刻,人類的政治、科技領袖們帶領大家揚著科學的旗幟,同舟共濟,贏得了非典狙擊戰(zhàn)的巨大勝利。而這其中,傳染病數(shù)學模型的建立起到了至關重要的作用。首先,正確的傳染病模型客觀反應了病毒的傳播規(guī)律,為預測和控制傳染病提供了必要前提；為我們的生產(chǎn)生活提供了科學的依據(jù)與正確的指導方向。例如：中科院非典模型研究小組建立的非典預測模型,就為我國的非典控制和消除起到了十分有效的指導作用！其實,我們也正是通過這些傳染病模型,積極阻斷非典的傳播途徑,加大監(jiān)控力度,以致最終取得這場戰(zhàn)爭的勝利。其次,傳染病模型并非僅僅可以描述病毒的傳播規(guī)律。一種傳染病的流行,還會使國民經(jīng)濟,政治,文化受到?jīng)_擊。例如SARS對旅游業(yè)的負面影響巨大,有了SARS傳播的數(shù)學模型,就可以預測SARS對旅游業(yè)的影響,估算損失。例如：通過SARS傳播的數(shù)學模型,我們建立了非典對北京市接待海外旅游者人數(shù)影響的數(shù)學模型,并利用建立的模型預測出十月上旬左右北京市的海外旅游者的接客數(shù)量將會恢復到正常水平；在非典時期該旅游行業(yè)的總損失在474050000美元到948100000美元之間！海外旅游接待人數(shù)將會減少948100人！通過現(xiàn)有資料的調(diào)查,可以說明我們的預測結果是合理可行的。當然亦可以分析SARS對其它方面的影響。這樣,各相關部門可以根據(jù)模型所提供的病情預測,更好地制定在傳染病流行期間,其防止措施和生產(chǎn)計劃,使疾病造成的損失降到最?。∵@足以說明建立傳染病模型的重要性！知己知彼是我們在這場與SARS的斗爭中取勝的法寶。傳染病數(shù)學模型的建立,不僅是我們在這場戰(zhàn)役中使用的強大武器也是一支指揮棒。一個正確的數(shù)學模型,能客觀反應事物內(nèi)在規(guī)律,有科學的預見作用。而在進行了科學預測之后,我們才能對癥下藥,對傳染病的傳播加以正確控制,并達到事半功倍的效果。馬克思指出：一種科學只有成功地應用數(shù)學時,才算達到了真正完美的地步。有了傳染病數(shù)學模型這個強有力的科學武器做指導,再面目猙獰的傳染病我們也有科學的決策去應對它！數(shù)學槍模型彈,瞄準病毒,一二三,開槍！附件二"SAS的傳播"原模型的半模擬循環(huán)計數(shù)法程序N0=1;%北京的初始非典病例k=0.13913;%開始階段的每個病人平均傳染概率t=1:59;%高峰前的非典傳播時間N1<1>=N0*k;%該循環(huán)統(tǒng)計疫情高峰前的累積病例fori=1:59ifi<=20N<i>=N0*<1+k>^i;%控制前累計病例ifi>=2N1<i>=N<i>-N<i-1>;%每天新增病例endendifi==20N<i>=<N<i-1>-N0>*k+N<i-1>;N1<i>=N<i>-N<i-1>;endifi>20N<i>=<N<i-1>-N<i-20>>*k+N<i-1>;N1<i>=N<i>-N<i-1>;endendk1=0.0273;%10天過渡后的每個病人平均傳染概率%在10天的過渡期,分四次調(diào)整k值k2=k*5/12;ik=k-k2forj=1:3i=i+1;N<i>=<N<i-1>-N<i-20>>*k+N<i-1>;N1<i>=N<i>-N<i-1>;endk2=k/4;k=k-k2forj=4:6i=i+1;N<i>=<N<i-1>-N<i-20>>*k+N<i-1>;N1<i>=N<i>-N<i-1>;endk2=k/2.75;k=k-k2forj=7:10i=i+1;N<i>=<N<i-1>-N<i-20>>*k+N<i-1>;N1<i>=N<i>-N<i-1>;endik=k1%該循環(huán)求疫情消失后的累積病例whileN<i>-N<i-1>>1i=i+1;N<i>=<N<i-1>-N<i-20>>*k1+N<i-1>;endN附件三非典對北京海外旅游接客數(shù)的影響的模型和預測程序%A1—A7為北京市接待海外旅游人數(shù)1997—20XX的數(shù)據(jù)A1=[9.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.6]'A2=[9.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.9]'A3=[10.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.616.5]'A4=[11.426.019.625.927.624.323.027.827.328.532.818.5]'A5=[11.526.420.426.128.928.025.230.828.7]'A6=[13.729.723.128.929.027.426.032.一、問題的提出SARS俗稱非典型肺炎,是21世紀第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。我國作為發(fā)展中大國深受其害：SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響。在黨和政府的統(tǒng)一領導下,全國人民與SARS頑強抗爭,取得了可喜的階段性勝利,并從中得到了許多重要的經(jīng)驗和教訓,認識到在沒有找出真正病因和有效治愈方法前,政府采取的強制性政策對抑制SARS自然發(fā)展最有效辦法。而本題的目的就是要建立一個適當?shù)哪Ｐ蛯ARS傳播規(guī)律進行定量地分析、研究,為預測和控制SARS蔓延提供可靠、足夠的信息,無論對現(xiàn)在還是將來都有其重要的現(xiàn)實意義。二、模型的假設地總人數(shù)N可視為常數(shù),即流入人口等于流出人口。據(jù)人口所處的健康狀態(tài),將人群分為：健康者,SARS病人,退出者〔被治愈者、免疫者和死亡者。3．在政府的強制措施下,人口基本不流動,故無病源的流入和流出,避免了交叉感染,降低了感染基數(shù)。隔離的人斷絕了與外界的聯(lián)系,不具有傳染性。SARS康復者二度感染的概率為0。國家完善了監(jiān)控手段,加強了對SARS病毒監(jiān)控的力度,故可假設所有感染SARS病毒的人群都進入了SARS病人類和疑似類。由于對SARS病原體的研究不夠深入,無有效藥物可以使人體免疫,同時SARS病毒感染后,大量繁殖,破壞免疫系統(tǒng),故不可免疫。三、模型的建立參數(shù)的設定和符號說明s<t>：t時刻健康者在總體人群中的比例i<t>：t時刻SARS病人在總體人群中的比例l<t>：t時刻疑似病人在總體人群中的比例r<t>：t時刻被治愈者、死亡者和免疫者在總體人群中的比例之和。：SARS病人日接觸率。為每個病人每天有效接觸〔足以使健康者受感染變?yōu)椴∪说钠骄藬?shù)。：日治愈率。為每天被治愈的病人占病人總數(shù)的比例。：日轉化率。為每天危險群體中的疑似病人被確診為SARS患者的比例。：日死亡率。為每天SARS病人死亡的數(shù)量和當天病人總數(shù)量的比值。：疑似感染率。為每天感染為疑似病人的比例。〔二模型建立模型一感染為SARS患者情況由假設,每個病人每天可使個健康者變?yōu)椴∪?因為病人人數(shù)為,所以每天共有個健康者被感染,于是就是病人數(shù)的增加率,又因為每天被治愈率為,死亡率為,所以每天有個病人被治愈,有個病人死亡。那么病人的感染為由于對于退出者<>由假設可知：故SARS患者率模型一的方程建立如下：<3>模型二疑似患者的變化情況與前面同樣的分析,得到疑似患者率模型二：<5>四、模型求解〔一參數(shù)的確定和分析：1.的確定=,=,=用EXCEL電子表格處理題目附件2中所給數(shù)據(jù)得：=0.055076,=0.038183,=0.002443。〔處理數(shù)據(jù)見附件2．的確定確定很明顯從我們建立的模型是無法得到s、i、、的解析解。為了解決這個問題我們用MATLAB軟件中龍格—庫塔方法求出他們的數(shù)值解。先通過實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)算出每一天的s、i、、做出它們與時間的函數(shù)圖象圖1,然后我們再對取一組數(shù),分別畫出由通過模型解出的數(shù)值解隨時間變化的圖象圖2,將這組圖象與由實際數(shù)據(jù)所得圖象相比較,調(diào)試。我們發(fā)現(xiàn)當1.5時,理論圖形與實際圖形有最佳的吻合。圖形如下：<圖1>:根據(jù)實際數(shù)據(jù)擬合的圖象〔畫圖程序見附件<圖2>通過數(shù)值解作出的關于時間t的變化〔畫圖程序見附件分析兩個圖形可知,它們的高峰期、緩解期和平穩(wěn)期曲線相當符合,具有相同的發(fā)展趨勢。但是在[0,10]的SARS初期范圍內(nèi),曲線變化不相同。這主要是因為在4月24日之前,沒有相關數(shù)據(jù)的統(tǒng)計和報道,由于數(shù)據(jù)的不全,根據(jù)邊界值畫出來的曲線與通過數(shù)值解得到的曲線相比較,不能準確反映SARS產(chǎn)生初期時的趨勢,所以邊界值應該去掉,而通過數(shù)值解模擬的曲線可以得到之前的發(fā)展趨勢。并且通過對SARS蔓延期特點的分析,<圖2>在符合所給數(shù)據(jù)反映的規(guī)律基礎上,還能夠模擬缺乏數(shù)據(jù)的SARS初始狀態(tài),所以曲線是合理的?！?確定與確定時類似,先根據(jù)實際數(shù)據(jù)畫出圖形<圖3>實際數(shù)據(jù)圖形然后再對取一組數(shù),分別畫出通過模型解出的數(shù)值解隨時間變化的圖象,將這組圖象與由實際數(shù)據(jù)所得圖象相比較,調(diào)試。發(fā)現(xiàn)當1.0時,理論圖形與實際圖形有最佳的吻合。圖形如下：<圖4>在[0,10]的初期范圍內(nèi),曲線趨勢不同,原因同前。整個曲線反映了疑似患者在SARS的過程中的變化規(guī)律。五、結果分析與檢驗〔一討論的性質(zhì)平面稱為相平面,相軌線在相平面上的定義域為從模型〔一中消去,利用的定義,可得〔6由〔6式解得〔7〔二對于合理確定的,我們可以畫出圖,圖形如下：<圖5>〔畫圖程序見附件由于在這個SARS病毒發(fā)展過程中,是變化的,故可以畫出取不同值時的圖形,如下取0.4192,0.2858、0.1858時的圖形。<圖6>分析〔3式和〔7式,可知：不論初始條件,如何,病人終會消失,即SARS最終會被消滅,亦即。證明省略。從圖形上看,相軌線終將與s軸相交〔t充分大。設最終未被感染的健康者的比例是,在〔7式中令得到方程〔8是〔8在〔0,1/內(nèi)的根,在圖形上是相軌線與s軸在〔0,1/內(nèi)交點的橫坐標。對于確定下來的=0.0383,可以代入〔8式解出≈0SARS疾病傳染過程分析整個傳染過程,隨著政府和公眾對SARS的重視程度的變化,可知接觸數(shù)隨著治愈率、死亡率和接觸率的不斷變化而變化。〔1在SARS爆發(fā)的初期,由于潛伏期的存在,社會對SARS病毒傳播的速度和危害程度認識不夠,所以政府和公眾沒有引起重視。治愈率和死亡率很小,而接觸率相對較大,所以很小。當,則開始增加,可認為是疾病蔓延階段。〔2當=時,達到最大值〔9對于我們確定的,可以求出0.8368,可認為是疾病傳染到達了高峰期?！?當<時,單調(diào)減小至零,單調(diào)減小至。這一時期病人比例絕不會增加,傳染病不會蔓延,進入緩解期。4．群體免疫和預防根據(jù)對模型的分析,當≤是傳染病不會蔓延。所以為制止蔓延,除了提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平,使閾值1/變大以外,另一個途徑是降低,這可以通過預防接種使群體免疫。第二個途徑通過預防接種使群眾免疫,免疫后就不會被感染上病毒。按照我們?nèi)巳旱姆诸愊到y(tǒng),將免疫人群歸為退出者類,所以免疫人群的出現(xiàn),不與模型的分類系統(tǒng)相矛盾。忽略病人比例的初始值,有=1-,于是SARS不再蔓延的條件≤可以表示為：〔10所以只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例滿足〔10,就可以制止SARS的蔓延。5．數(shù)值驗證與估量根據(jù)上面的分析,阻止SARS蔓延有兩種手段,一是提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平,即降低日接觸率,提高日治愈率,二是群體免疫,即提高移出者比例的初值。我們以最終未感染的健康者的比例和病人比例達到最大值,作為傳染病蔓延程度的度量指標。給定不同的,,,,用〔式計算,用〔9式計算1.080.020.03980.3440.980.020.19650.1630.980.020.81220.020050.980.020.91720.02001.000.020.08400.1680.700.020.30560.050.700.020.65280.020050.700.020.67550.0200從計算得到的和可以看出：〔1對于一定的,降低,提高,使閾值1/變大,會使變大,變小。于是驗證了群體免疫和預防中提出的提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平,可以使SARS最終的患者比例縮小,健康群體增加?！?對于一定的,,提高,會使變大,變小。所以實行群體免疫,降低受感染的基數(shù),可以有效地減緩SARS蔓延的速度。在〔8式中略去很小的,即有〔116．模型驗證首先,由方程〔1和〔3可以得到〔12〔13當時,取〔13式右端Taylor展開的前三項,在初始值下的解為〔14其中,,從〔14式算出〔15將〔14代入〔12,再將〔12代入〔7,得到〔其中,對于表達式中的參數(shù),已通過前面的參數(shù)分析得出,代入表達式,就可以對t時的患病率做預測,達到了預測的目的,滿足題目的要求。7．對衛(wèi)生部措施的評估在模型中,的取值大小能充分反映接觸率的變化。若采取的隔離措施提前T天,那么將相應減小,反之則增加。不妨將的值取為1.3和1.7,作出相應的圖形7和圖8。〈圖7〉〈圖8〉由以上圖形可見,T對SARS病人的增長有顯著影響,因此,衛(wèi)生部采取的提前或延后5天的隔離措施有其數(shù)學背景和科學依據(jù)。至于到底提前或延后幾天最好,還有待進一步研究。六、模型評價及改進1、評價模型首先根據(jù)所給數(shù)據(jù)的分析,采用微分方程建立兩個模型,分設變量。再通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)擬和求得各自的參數(shù)值,利用數(shù)值計算得到結果并加以分析,得出傳染病的傳染規(guī)律,最后根據(jù)此分析提出對傳染病預測與控制的方案。模型采用了數(shù)值計算,圖形觀察與理論分析相結合的方法,先有感性認識,再用相軌線做理論分析,最后進行數(shù)值驗證和估算,可以看作計算機技術與建模的配合。模型采用微分方程本身就有一定的缺限,其計算結果的準確性、可靠性將受到限制,再加之數(shù)值解的不確定性,模型對長時間的預測有它的局限性。因時間限制模型沒能更多考慮交叉分類進行。2、改進若能建立以隨機偏微分方程組為基礎的數(shù)學模型,將大大提高計算的準確性與可靠性,使得預測更加準確,但這樣做將遇到模型求解,數(shù)據(jù)準確收集和數(shù)值求解的不精確性等諸多困難。七、對附件1模型的評價合理性該模型的基本假設符合事實,對照解得的結果與實際病例數(shù)據(jù)也相當吻合,所以該模型基本是合理的。具體表現(xiàn)：模型中的參數(shù)K〔平均每病人每天可傳染K個人、L〔平均每個病人可以直接感染他人的時間為L天的確定是由已公布的數(shù)據(jù)統(tǒng)計計算和數(shù)據(jù)擬合得來,具有一定的可靠性。特別是對K的分段處理,反映了傳染病的許多特性,同時也反應了社會的警覺程度、政府和公眾采取的措施反過來也會影響K值。但是該模型建立得較為粗糙,它沒有考慮疑似病例患者和已治愈病人的情況。因此為使建立的模型更準確,更符合實際,考慮將該模型優(yōu)化的方向是把疑似病例患者和治愈患者加入到模型中。2、實用性模型對北京地區(qū)中期的計算值與實際值基本吻合,說明該模型有一定的實用性。但對后期預測與后來的實際情況卻有一定差距,同時該模型中K值是從香港和XX兩地實際情況統(tǒng)計處理得來,而實際上,各地區(qū)的政策及人們生活習慣各有所不同,因此用一個地區(qū)所獲得的參數(shù)去預測另一地區(qū),其結果只具有參考性,而不具備很強的可靠性。所以該模型的實用性有一定局限。八、SARS對北京旅游人數(shù)影響的經(jīng)濟模型年1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月19971998199920002001200220039.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.69.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.910.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.616.511.426.019.625.927.624.323.027.827.328.532.818.511.526.420.426.128.928.025.230.828.713.729.723.128.929.027.426.032.231.432.629.222.915.417.123.511.61.782.618.816.2依據(jù)上表的統(tǒng)計數(shù)據(jù),我們分別建立回歸模型對各個月的游客數(shù)量進行預測。由MATLAB統(tǒng)計工具箱中的回歸分析命令,編程可解得：若沒有受SARS沖擊,20XX1月到12月游客將達到的數(shù)量。再用當月實際游客量變化所呈現(xiàn)的規(guī)律對9月到12月進行預測,最后分別模擬作出受到SARS沖擊前后的游客量隨時間的變化趨勢圖。具體求法如下：我們記1997年為開始記為t=0,那么20XX就可表示成t=6。將年份用矩陣表示為：t=[0,1,2,3,4,5,]；每年1月的游客量用矩陣表示為：y=[9.4,9.6,10.1,11.4,11.5,13.7]MATLAB命令：[p,S]=polyfit<t,y,2>%二次多項式回歸y=polyval<p,6>%計算出t=6,即20XX一月的預測量計算得y=15.2000,再用同樣方法求得20XX2月到12月的預測數(shù)量依次為36.4700、25.9700、32.1500、32.8300、31.6000、29.3300、36.4000、33.1400、32.8500、26.8500、27.7900。由命令函數(shù)：Y=polyconf<p,t,2>和plot<t,y,t,Y>作出如下曲線圖9再由20XX各月實際量推算出9月到12月的游客量分別為15.4127、20.1860、26.1721、33.3709。同樣我們作出圖10為便于直觀分析我們將兩組數(shù)據(jù)所作出的圖形移到圖11中：模型分析：從圖中我們可以看到,1月份實際游客量與預測數(shù)據(jù)較吻合,因為SARS剛出現(xiàn),沒有引起人們重視；而以后各月差值先逐漸增大,到6月份后又開始漸漸縮小,這是因為SARS疫情逐漸攀升到六月份達到高峰后漸漸的得到有效控制。人們在這段時期內(nèi)的出行受到SARS的影響,所以在2月到6月游客量不斷的大量減少,但是隨著SARS疫情得到控制,以及公共衛(wèi)生系統(tǒng)的進一步完善,人們生活又漸漸的恢復到SARS前的一般規(guī)律,在圖形中反映為6月中下旬,隨著抗擊SARS取得初步成效,游客量開始逐步增加,旅游業(yè)也重新回升到常態(tài)。但是由于用以預測未知量的已知量較少,我們?yōu)榱耸沟妙A測值真實可信,只考慮預測到11月份,這樣做同時還因為時間越長要考慮的不定因素也就越多。從模型及模型分析說明我們所預測的數(shù)據(jù)是基本合理、符合實際的。九、參考文獻[1]姜啟源等,數(shù)學模型〔第三版,北京；高等教育出版社,2003.8[2]李海濤等,MATLAB6.1基礎及應用技巧,北京；國防工業(yè)出版社,2002.3[3]趙靜等,數(shù)學建模與數(shù)學實驗,北京；高等教育出版社,2002.9[4]王沫然,MATLAB5.X與科學計算,北京；清華大學出版社,2000.5[5]幺煥民等,數(shù)學建模,XX；XX工業(yè)大學出版社,2003.4短文SARS與數(shù)學模型20XX春天,SARS這一突發(fā)疫情襲擊了世界上20多個國家和地區(qū),給全球經(jīng)濟的發(fā)展以及人們的正常生活等帶來了很大的影響,在經(jīng)過與SARS幾個回合的較量之后,我們終于贏了。當SARS正在慢慢淡出我們身邊,我們的工作和生活漸漸回歸正常時,那曾經(jīng)經(jīng)歷的恐懼、困擾、焦慮、無奈和痛苦,那曾深深擊中過我們軟肋,使我們的弱點暴露無遺的SARS將會成為烙在我們心靈上一塊永遠抹不去的印。不過,令人欣慰的是我們并沒有被擊倒,尤其是我們的白衣天使們,他們在與SARS的較量中,充分展現(xiàn)了職業(yè)道德和人性的光輝,書寫出了最壯麗的人生篇章?，F(xiàn)在這個時刻,我們有必要梳理和總結過去的日子,將我們對SARS、對病毒、對疾病、對危機的認識、責任以及處理方法推向前進。因為我們將不得不面對將有可能和SARS共存相當長時間的現(xiàn)實。在我們還不能完全認識它、戰(zhàn)勝它并最終消滅它時,我們必須時刻警覺,將SARS對我們的侵害降低到最小。使得若當它卷土重來時,我們能夠聚集起更強大的力量,快速而從容地與它過招。我們都知道SARS的傳播,在沒能找到真正的藥物治療方法前,只能依靠政府采取強制性政策去預防、控制疫情。人類對傳染病的研究長期以來還都只是通過不斷的試驗來獲取數(shù)據(jù),而且相關試驗只能在動物身上做,而不可能在活人體上做類似試驗,另外有關傳染病的數(shù)據(jù)也只能從爆發(fā)后的相關報道與文字材料中獲得,不但不能快速得到信息,連其數(shù)據(jù)的全面性都很難達到。因而,在對傳染病流行的控制研究問題上,迫切需要有一種行之有效、簡便易行的辦法來代替它。而數(shù)學模型恰恰是通過采用數(shù)學基礎工具以及計算機模擬等手段從非醫(yī)學中的病理分析研究角度去進行科學描述,所以我們可以根據(jù)以前總結的一些經(jīng)驗和統(tǒng)計的實際數(shù)據(jù),從數(shù)學角度建立SARS傳染病模型,通過科學、合理的分析和推論,提供足夠的可靠數(shù)據(jù)、信息給政府用以制定相關政策。這是一項艱巨的任務,不但需要我們的努力,也更需政府和媒體的大力支持。附件已確診病例累計現(xiàn)有疑似病例死亡累計治愈出院累計當天退出數(shù)當天病人數(shù)當天病例退出率治愈率3394021833174310.0394430.076566482610254365200.0115380.0826925886662846166190.0258480.0743136937823555136840.0190060.0804097748633964127740.0155040.082687877954427398730.0103090.0836298810934876109900.0101010.076768111412555678310650.0028170.0732391199127559781212100.0099170.0644631347135866831612910.0123930.0642911440140875901713880.0122480.06484115531415821001814540.012380.06877616361468911091115410.0071380.0707331741149396115715920.0043970.07223618031537100118616790.0035740.07028189715101031211717360.0097930.0697196015231071341018080.0055310.074115204915141101411318850.0068970.074801213614861121521819130.0094090.07945621771425114168919450.0046270.086375222713971161751519740.0075990.088652226514111201863119980.0155160.093093230413781292084120100.0203980.103483234713381342441319920.0065260.1224923701308139252619970.0030050.126189238813171402571720080.0084660.127988240512651412733820060.0189430.136092242012501453072719820.0136230.154894243412501473322019580.0102150.169561243712491503495019450.0257070.179434244412251543955418950.0284960.208443244412211564478318530.0447920.24123245612051585285617790.0314780.296796246511791605828817480.0503430.332952249011341636674116690.0245660.399641249911051677044416330.0269440.431108250410691687478515970.0532250.467752251210051728284115140.0270810.54689625149411758666314760.0426830.58672125178031769287914160.0557910.655367252076017710068513380.0635280.7518682521747181108797512530.7781320.86751825217391902053672780.2410077.38489225217341902120352110.16587710.0473925217241912154171760.09659112.2386425217181912171181590.11320813.6540925217161912189421410.29787215.524822521713191223126990.26262622.535352521550191225720730.27397330.9178125214511912277-116354-21.53742.16667252235118111243312170.0271160.92358325227118111573211840.0270270.9771962522418111897411520.0642361.0321182522318112635810780.0538031.171614252266818113218410200.0823531.295098252225718314031419360.1506411.498932252215518415431107950.1383651.940881252231841653966850.1401462.4131392522518617471985890.3361632.966044252241871944523910.1329924.971867252231891994213390.0619475.882006252231892015-575319-1.802516.3166142523218314463788940.4228191.61745252321861821565160.1085273.52907252321871876-0.289883.118497求病人變化<數(shù)值解>functiony=ill<t,x>w=1.5;z=0.0575;y=[w.*x<1>.*x<2>-z.*x<1>,-w.*x<1>.*x<2>]';ts=0:0.01:70;x0=[402/13000000,1-402/13000000];[t,x]=ode45<'ill',ts,x0>;[t,x];plot<t,x<:,1>>,grid,pause〔按實際數(shù)據(jù)模擬t=1:64;z=Columns1through1