等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值求解方法

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值求解方法例1設(shè)等差數(shù)列｛/的前n項(xiàng)和為一已知=12， >0, ,a ss<0⑴求公差d的取值范圍;(2)指出，，(2)指出，，…，s并說明理由1.中哪一個(gè)值最大，s12解析（1）由=12,得：+2d=12,W=12-2d,TOC\o"1-5"\h\zaa a由s>0，得：12a+12*11d>0，所以12 1 2d>-24,萬由s<0,得：13J13*12d<0，所以13 1 2d<-3,(2)解法一：因此，d的取值范圍為(-24,-3)(2)解法一：a=a+（n一1）dn1=12-2d+（n-1）d=12+（n-3）d令口，得:n<3-12,a>0 —由（1）知：24<d<-3,- 7所以，13 12，—<3——<72d

又,故由等差數(shù)列的單調(diào)性可知：當(dāng)neN*時(shí)，；a>0當(dāng)n>6時(shí)，。，因此，最大.a<0 s解法二n：由題6意可得S=n“+n(n-1)d=n(12-2d)+n2-ndnal22=d=d—n2+(12-—d)n

22顯然d0,,是關(guān)于自變量n的二次函數(shù),豐S由（1）知：d<0,二次函數(shù)的圖像拋物線的對稱軸為n=512,二次函數(shù)的圖像拋物線的對稱軸為n=512,—— 2d由（1）知：24 ，—<d<一37所以6<512<13,—- 2d2又因?yàn)閚.eN*即最大.故當(dāng)n=6時(shí)，，最大，即最大.saeN*aeN*，S=1(a+2)2.若n n8n例2已知等差數(shù)列｛｝,anb,a-30，求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和的最小值.n2n n分析：①由，與的關(guān)系，可寫出片之間Sa s與a的關(guān)系，兩式作差，即可得出與“間的關(guān)aan+1 n

系；②｛］的前n項(xiàng)和最小，估計(jì)｛J的前n項(xiàng)均為負(fù)值，后面均為正值，所有負(fù)值之和解=asn解=asn+1 n+1即8=(aaTOC\o"1-5"\h\z=1 -1 ，S-(a+2)2-(a+2)2n8n+1 8n+2-(+2，)2 a )2所以(-2-(+2=0，a)2a )2即(+n+1)(-n-4)=0，aa aa因?yàn)閚+1,所以n+0,即--4=0,agN* aa豐 aan n+1n n+1n所以-=4，aa因此等差數(shù)列｛a｝的公差大于0.n==1(+2)，解得=2.as—(a+2)2 aii8i i所以=4n-2,則右i =2n-31.a b=a-30n n2n即數(shù)列｛b｝也為等差數(shù)列且公差為2.｛2n-3.0，解得29 3i，2(n+i)-3i>0 工VnV—因?yàn)閚"，所以n=15,gN*故｛b｝的前15項(xiàng)為負(fù)值，因此最小，s可知=-29，d=2,bi所以數(shù)列｛J的前n項(xiàng)和的最小值為bn=15(—29+2x15—31)=-225.sTOC\o"1-5"\h\z15 2小結(jié)：若｛｝是等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和的最a值時(shí)：n①若>0,d<0,當(dāng)滿足｛anN0時(shí)，前n項(xiàng)和,a an+1<0 sn最大；②若<0,d>0,當(dāng)滿足｛an<0時(shí)，前n項(xiàng)和,a an>0 S最小;1 n+1> n除以上方法外，還可