《導數(shù)及其應用》

．導數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。如果當時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點x處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x處的導數(shù)，記作f’（x）或y’|。即f（x）==。2．導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f（x）在點x處的導數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x，f（x））處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x，f（x））處的切線的斜率是f’（x）。相應地，切線方程為y－y=f/（x）（x－x）。3．幾種常見函數(shù)的導數(shù):①②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.4.單調(diào)區(qū)間：一般地，設函數(shù)在某個區(qū)間可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)；5.極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數(shù)為0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正；6．最值：一般地，在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f在[a，b]上必有最大值與最小值。①求函數(shù)?在(a，b)內(nèi)的極值；②求函數(shù)?在區(qū)間端點的值?(a)、?(b)；③將函數(shù)?的各極值與?(a)、?(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。導數(shù)定義的應用1．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，且則的值為（B）A．B．C．D．2BCAyx1O34562BCAyx1O34561234解：由圖可知，根據(jù)導數(shù)的定義知．2.利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像例3設＜b,函數(shù)的圖像可能是解：，由得，∴當時，取極大值0，當時取極小值且極小值為負．故選C．或當時，當時，選C．點評:通過導數(shù)研究函數(shù)圖像的變化規(guī)律,也是考試的熱點題型.3.利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題例5已知函數(shù)，．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍．解：（1）求導得當時，，，在上遞增；當，求得兩根為，即在遞增，遞減，遞增。（2）因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以當時恒成立，結合二次函數(shù)的圖像可知解得．點評：函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)轉(zhuǎn)化為導函數(shù)或在區(qū)間上恒成立問題，是解決這類問題的通法．本題也可以由函數(shù)在上遞減，所以求解．4.利用導數(shù)求函數(shù)的極值與最值例7已知函數(shù)（），其中．若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍．解：，顯然不是方程的根．為使僅在處有極值，必須成立，即有．解不等式，得．這時，是唯一極值．因此滿足條件的的取值范圍是．5.利用導數(shù)解決實際問題例8用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？解：設長方體的寬為（m），則長為(m)，高為.故長方體的體積為從而令，解得（舍去）或，因此.當時，；當時，，故在處取得極大值，并且這個極大值就是的最大值，從而最大體積，此時長方體的長為2m，高為1.5、填空題1．若，則的值為_________________；4．曲線在點處的切線的斜率是_________，切線的方程為_______________；5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____________________一、選擇題：1．設函數(shù)f(x)在處可導，則等于（）A．B．C．-D．-2．若函數(shù)f(x)的導數(shù)為f′(x)=-sinx，則函數(shù)圖像在點（4，f（4））處的切線的傾斜角為（）A．90°B．0°C．銳角D．鈍角3．函數(shù)y=x3－3x在[－1，2]上的最小值為 （） A、2 B、－2 C、0 D、－44．設函數(shù)的導函數(shù)為，且，則等于()A、B、C、D、5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為()A、－1<a<2B、－3<a<6C、a<－1或a>2D、a<－3或a>66、設函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，y=f(x)的圖象如下圖所示，則導函數(shù)y=f(x)可能為（D）xyxyOxyOAxyOBxyOCxyOD7、對于R上可導的任意函數(shù)f（x），且若滿足（x－1）>0，則必有（C）A、f（0）＋f（2）2f（1）B、f（0）＋f（2）2f（1）C、f（0）＋f（2）>2f（1）D、f（0）＋f（2）2f（1）二、填空題8.求的導數(shù)9.設P為曲線C：上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為，則點P橫坐標的取值范圍為.10．設函數(shù)是上以5為周期的可導偶函數(shù)，則曲線在處的切線的斜率為11.已知直線x+2y－4=0與拋物線y2=4x相交于A、B兩點，O是坐標原點，P是拋物線的弧上求一點P，當△PAB面積最大時，P點坐標為P(4,－4).三、解答題12.（本題滿分12分）已知函數(shù)是上的可導函數(shù)，若在時恒成立.（1）求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）求證：當時，有.12.（1）由得因為，所以在時恒成立，所以函數(shù)在上是增函數(shù).（2）由（1）知函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當時，有成立，從而兩式相加得13.（本題滿分12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若對所有都有，求實數(shù)的取值范圍.13.解析：的定義域為，…………1分的導數(shù).………………3分令，解得；令，解得.從而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.………………5分所以，當時，取得最小值.…………6分解：依題意，得在上恒成立，即不等式對于恒成立.……8分令，則.……10分當時，因為，故是上的增函數(shù)，所以的最小值是，………………13分所以的取值范圍是.…………14分14.（本題滿分14分）已知，其中是自然常數(shù)，（Ⅰ）討論時,的單調(diào)性、極值；（Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下，;（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.om14.解：（Ⅰ），……1分∴當時，，此時單調(diào)遞減當時，，此時單調(diào)遞增……3分∴的極小值為……4分（Ⅱ）的極小值為1，即在上的最小值為1，∴，……5分令，，……6分當時，，在上單調(diào)遞增……7分∴∴在（1）的條件下，……9分（Ⅲ）假設存在實數(shù)，使（）有最小值3，……9分①當時，在上單調(diào)遞減，，（舍去），所以，此時無最小值.……10分②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，滿足條件.……11分③當時，在上單調(diào)遞減，，（舍去），所以，此時無最小值.綜上，存在實數(shù)，