專題34 中考幾何旋轉(zhuǎn)類問題 （解析版）

第頁專題34中考幾何旋轉(zhuǎn)類問題1．旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個圖形繞某一點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；（2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。3．旋轉(zhuǎn)對稱中心：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角小于0°，大于360°）。4．中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。這個點就是它的對稱中心。5．中心對稱的性質(zhì)（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。（3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等?！纠}1】（2020?青島）如圖，將△ABC先向上平移1個單位，再繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C′，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是（）A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣1，4）【答案】D【解析】根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將△ABC先向上平移1個單位，再繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C′，即可得點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)．如圖，△A′B′C′即為所求，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是（﹣1，4）．【對點練習(xí)】（2019?河南）如圖，在△OAB中，頂點O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標(biāo)為（）A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10）【答案】D．【解析】先求出AB＝6，再利用正方形的性質(zhì)確定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°，此時旋轉(zhuǎn)前后的點D關(guān)于原點對稱，于是利用關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征可出旋轉(zhuǎn)后的點D的坐標(biāo)．∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一個循環(huán)，第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°，∴點D的坐標(biāo)為（3，﹣10）．【例題2】（2020?孝感）如圖，點E在正方形ABCD的邊CD上，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置，連接EF，過點A作EF的垂線，垂足為點H，與BC交于點G．若BG＝3，CG＝2，則CE的長為（）A．54 B．154 C．4 【答案】B【解析】連接EG，根據(jù)AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，設(shè)CE＝x，則DE＝5﹣x＝BF，F(xiàn)G＝EG＝8﹣x，再根據(jù)Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即可得到CE的長．解：如圖所示，連接EG，由旋轉(zhuǎn)可得，△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，DE＝BF，又∵AG⊥EF，∴H為EF的中點，∴AG垂直平分EF，∴EG＝FG，設(shè)CE＝x，則DE＝5﹣x＝BF，F(xiàn)G＝8﹣x，∴EG＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，解得x=15∴CE的長為154【對點練習(xí)】（2019廣西賀州）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E是CD的中點，AF平分∠BAE交BC于點F，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ABG，則CF的長為．【答案】6﹣2．【解析】作FM⊥AD于M，F(xiàn)N⊥AG于N，如圖，易得四邊形CFMD為矩形，則FM＝4，∵正方形ABCD的邊長為4，點E是CD的中點，∴DE＝2，∴AE＝＝2，∵△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ABG，∴AG＝AE＝2，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，而∠ABC＝90°，∴點G在CB的延長線上，∵AF平分∠BAE交BC于點F，∴∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即FA平分∠GAD，∴FN＝FM＝4，∵AB?GF＝FN?AG，∴GF＝＝2，∴CF＝CG﹣GF＝4+2﹣2＝6﹣2．【例題3】（2020?南京）將一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是．【答案】y=12【分析】直接根據(jù)一次函數(shù)互相垂直時系數(shù)之積為﹣1，進(jìn)而得出答案．【解析】在一次函數(shù)y＝﹣2x+4中，令x＝0，則y＝4，∴直線y＝﹣2x+4經(jīng)過點（0，4），將一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，則點（0，4）的對應(yīng)點為（﹣4，0），旋轉(zhuǎn)后得到的圖象與原圖象垂直，則對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=12x+將點（﹣4，0）代入得，12×(-4)+解得b＝2，∴旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=12故答案為y=12【對點練習(xí)】（2019?海南?。┤鐖D，將Rt△ABC的斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)á（0°＜á＜90°）得到AE，直角邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a（0°＜a＜90°）得到AF，連結(jié)EF．若AB＝3，AC＝2，且á+a＝∠B，則EF＝．【答案】【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，由勾股定理可求EF的長．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，∵∠B+∠BAC＝90°，且á+a＝∠B，∴∠BAC+á+a＝90°∴∠EAF＝90°∴EF＝＝【例題4】（2020貴州黔西南）規(guī)定：在平面內(nèi)，如果一個圖形繞一個定點旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α≤180°）后能與自身重合，那么就稱這個圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，轉(zhuǎn)動的這個角度α稱為這個圖形的一個旋轉(zhuǎn)角．例如：正方形繞著兩條對角線的交點O旋轉(zhuǎn)90°或180°后，能與自身重合（如圖1），所以正方形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，且有兩個旋轉(zhuǎn)角．根據(jù)以上規(guī)定，回答問題：（1）下列圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是________；A．矩形B．正五邊形C．菱形D．正六邊形（2）下列圖形中，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，且有一個旋轉(zhuǎn)角是60度的有：________（填序號）；（3）下列三個命題：①中心對稱圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；②等腰三角形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；③圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，其中真命題的個數(shù)有（）個；A．0B．1C．2D．3（4）如圖2的旋轉(zhuǎn)對稱圖形由等腰直角三角形和圓構(gòu)成，旋轉(zhuǎn)角有45°，90°，135°，180°，將圖形補充完整．【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）見解析【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義進(jìn)行判斷；（2）先分別求每一個圖形中的旋轉(zhuǎn)角，然后再進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義進(jìn)行判斷；（4）利用旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義進(jìn)行設(shè)計．解：（1）矩形、正五邊形、菱形、正六邊形都是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，但正五邊形不是中心對稱圖形，

故選：B．

（2）是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，且有一個旋轉(zhuǎn)角是60度的有(1)(3)(5)．

故答案為：(1)(3)(5)．

（3）①中心對稱圖形，旋轉(zhuǎn)180°一定會和本身重合，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；故命題①正確；②等腰三角形繞一個定點旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能與自身重合，只有等邊三角形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，故②不正確；③圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度一定能與自身重合，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；故命題③正確；即命題中①③正確，故選：C．

（4）圖形如圖所示：【點撥】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形，中心對稱圖形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【對點練習(xí)】（2019?廣西貴港）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，記旋轉(zhuǎn)角為á，當(dāng)90°＜á＜180°時，作A′D⊥AC，垂足為D，A′D與B′C交于點E．（1）如圖1，當(dāng)∠CA′D＝15°時，作∠A′EC的平分線EF交BC于點F．①寫出旋轉(zhuǎn)角á的度數(shù)；②求證：EA′+EC＝EF；（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)P是直線A′D上的一個動點，連接PA，PF，若AB＝，求線段PA+PF的最小值．（結(jié)果保留根號）【答案】見解析?！窘馕觥浚?）①解：旋轉(zhuǎn)角為105°．理由：如圖1中，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°，∴旋轉(zhuǎn)角為105°．②證明：連接A′F，設(shè)EF交CA′于點O．在EF時截取EM＝EC，連接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等邊三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等邊三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如圖2中，連接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延長線于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F(xiàn)關(guān)于A′E對稱，∴PF＝PB′，∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝CB′＝1，CM＝，∴AB′＝＝＝．∴PA+PF的最小值為．一、選擇題1．（2020?天津）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，使點B的對應(yīng)點E恰好落在邊AC上，點A的對應(yīng)點為D，延長DE交AB于點F，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF【答案】D【解析】依據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，△ABC≌△DEC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．由旋轉(zhuǎn)可得，△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，故A選項錯誤，BC＝EC，故B選項錯誤，∠AEF＝∠DEC＝∠B，故C選項錯誤，∠A＝∠D，又∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠D+∠B＝90°，∴∠BFD＝90°，即DF⊥AB，故D選項正確。2．（2020?菏澤）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角α，得到△ADE，若點E恰好在CB的延長線上，則∠BED等于（）A．α2 B．23α C．α【答案】D【分析】證明∠ABE+∠ADE＝180°，推出∠BAD+∠BED＝180°即可解決問題．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADE，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∴∠BAD+∠BED＝180°，∵∠BAD＝α，∴∠BED＝180°﹣α．3.（2019山東棗莊）如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置．若四邊形AECF的面積為20，DE＝2，則AE的長為（）A．4 B．2 C．6 D．2【答案】D．【解析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積，進(jìn)而可求出正方形的邊長，再利用勾股定理得出答案．∵△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置．∴四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于20，∴AD＝DC＝2，∵DE＝2，∴Rt△ADE中，AE＝＝24.（2019?南京）如圖，△A'B'C'是由△ABC經(jīng)過平移得到的，△A'B'C還可以看作是△ABC經(jīng)過怎樣的圖形變化得到？下列結(jié)論：①1次旋轉(zhuǎn)；②1次旋轉(zhuǎn)和1次軸對稱；③2次旋轉(zhuǎn)；④2次軸對稱．其中所有正確結(jié)論的序號是（）①④ B．②③ C．②④ D．③④【答案】D．【解析】本題主要考查了幾何變換的類型，在軸對稱變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線（段）或者平行，或者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分．在旋轉(zhuǎn)變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．依據(jù)旋轉(zhuǎn)變換以及軸對稱變換，即可使△ABC與△A'B'C'重合．先將△ABC繞著B'C的中點旋轉(zhuǎn)180°，再將所得的三角形繞著B'C'的中點旋轉(zhuǎn)180°，即可得到△A'B'C'；先將△ABC沿著B'C的垂直平分線翻折，再將所得的三角形沿著B'C'的垂直平分線翻折，即可得到△A'B'C'。5.（2019?湖北孝感）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點P（2，3）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P'，則P'的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）【答案】D．【解析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．作PQ⊥y軸于Q，如圖，把點P（2，3）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P'看作把△OPQ繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OP'Q′，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，從而可確定P′點的坐標(biāo)．作PQ⊥y軸于Q，如圖，∵P（2，3），∴PQ＝2，OQ＝3，∵點P（2，3）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P'相當(dāng)于把△OPQ繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OP'Q′，∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，∴點P′的坐標(biāo)為（3，﹣2）．二、填空題6．（2020?泰安）如圖，將正方形網(wǎng)格放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C的坐標(biāo)分別為A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形，將△A'B'C'繞點B'逆時針旋轉(zhuǎn)180°，點A'的對應(yīng)點為M，則點M的坐標(biāo)為．【答案】（﹣2，1）．【解析】延長A'B'后得出點M，進(jìn)而利用圖中坐標(biāo)解答即可．將△A'B'C'繞點B'逆時針旋轉(zhuǎn)180°，如圖所示：所以點M的坐標(biāo)為（﹣2，1）。7．（2020?衡陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P1的坐標(biāo)為（22，22），將線段OP1繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2；又將線段OP2繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP2的2倍，得到線段OP3；如此下去，得到線段OP4，OP5，…，OPn（n為正整數(shù)），則點P2020的坐標(biāo)是【答案】（﹣22018×2，﹣22018×【分析】根據(jù)題意得出OP1＝1，OP2＝2，OP3＝4，如此下去，得到線段OP4＝8＝23，OP5＝16＝24…，OPn＝2n﹣1，再利用旋轉(zhuǎn)角度得出點P2020的坐標(biāo)與點P5的坐標(biāo)在同一直線上，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵點P1的坐標(biāo)為（22，22），將線段OP1繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到線段OP4＝23，OP5＝24…，∴OPn＝2n﹣1，由題意可得出線段每旋轉(zhuǎn)8次旋轉(zhuǎn)一周，∵2020÷8＝252…4，∴點P2020的坐標(biāo)與點P5的坐標(biāo)在同一直線上，正好在第三象限的角平分線上，∴點P2020的坐標(biāo)是（﹣22018×2，﹣22018×故答案為：（﹣22018×2，﹣22018×8.（2019?湖南邵陽）如圖，將等邊△AOB放在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（4，0），點B在第一象限，將等邊△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△A′OB′，則點B′的坐標(biāo)是．【答案】故答案為（﹣2，﹣2）．【解析】作BH⊥y軸于H，如圖，∵△OAB為等邊三角形，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝OH＝2，∴B點坐標(biāo)為（2，2），∵等邊△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△A′OB′，∴點B′的坐標(biāo)是（﹣2，﹣2）．故答案為（﹣2，﹣2）．9.(2019山西）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，點D為△ABC內(nèi)一點，∠BAD=15°，AD=6cm，連接BD，將△ABD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點D的對應(yīng)點E，連接DE，DE交AC于點F，則CF的長為______cm.【答案】【解析】過點A作AG⊥DE于點G，由旋轉(zhuǎn)可知：AD=AE，∠DAE=90°，∠CAE=∠BAD=15°∴∠AED=45°；在△AEF中：∠AFD=∠AED+∠CAE=60°在Rt△ADG中：AG=DG=在Rt△AFG中：∴故答案為：10.（2019?黑龍江哈爾濱）如圖，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，其中點A′與A是對應(yīng)點，點B′與B是對應(yīng)點，點B′落在邊AC上，連接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，則A′B的長為．【答案】【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°，可得∠A'CB＝90°，由勾股定理可求解．∵將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°∴∠A'CB＝90°∴A'B＝＝11．（2019新疆）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°，得到△ACD，延長AD交BC的延長線于點E，則DE的長為．【答案】2﹣2．【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AC＝AD＝4．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．過點C作CH⊥AE于H點，在Rt△ACH中，CH＝AC＝2，AH＝2．∴HD＝AD﹣AH＝4﹣2．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴EH＝CH＝2．∴DE＝EH﹣HD＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2．12．（2019齊齊哈爾）如圖，矩形ABOC的頂點B、C分別在x軸，y軸上，頂點A在第二象限，點B的坐標(biāo)為（﹣2，0）．將線段OC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°至線段OD，若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過A、D兩點，則k值為．【答案】﹣．【解析】過點D作DE⊥x軸于點E，∵點B的坐標(biāo)為（﹣2，0），∴AB＝﹣，∴OC＝﹣，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知OD＝OC＝﹣、∠COD＝60°，∴∠DOE＝30°，∴DE＝OD＝﹣k，OE＝ODcos30°＝×（﹣）＝﹣k，即D（﹣k，﹣k），∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過D點，∴k＝（﹣k）（﹣k）＝k2，解得：k＝0（舍）或k＝﹣13．（2019廣西梧州）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，將菱形ABCD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)得到菱形AEFG，點E在AC上，EF與CD交于點P，則DP的長是．【答案】﹣1．【解析】連接BD交AC于O，由菱形的性質(zhì)得出CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，由直角三角形的性質(zhì)求出OB＝AB＝1，OA＝OB＝，得出AC＝2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，得出CE＝AC﹣AE＝2﹣2，證出∠CPE＝90°，由直角三角形的性質(zhì)得出PE＝CE＝﹣1，PC＝PE＝3﹣，即可得出結(jié)果．解：連接BD交AC于O，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，∴OB＝AB＝1，∴OA＝OB＝，∴AC＝2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵四邊形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP＝∠EAG＝60°，∴∠CEP+∠ACD＝90°，∴∠CPE＝90°，∴PE＝CE＝﹣1，PC＝PE＝3﹣，∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3﹣）＝﹣1三、解答題14．（2020?綏化）如圖，在邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，點B，點O均為格點（每個小正方形的頂點叫做格點）．（1）作點A關(guān)于點O的對稱點A1；（2）連接A1B，將線段A1B繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90°得點B對應(yīng)點B1，畫出旋轉(zhuǎn)后的線段A1B1；（3）連接AB1，求出四邊形ABA1B1的面積．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）依據(jù)中心對稱的性質(zhì)，即可得到點A關(guān)于點O的對稱點A1；（2）依據(jù)線段A1B繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90°得點B對應(yīng)點B1，即可得出旋轉(zhuǎn)后的線段A1B1；（2）依據(jù)割補法進(jìn)行計算，即可得到四邊形ABA1B1的面積．解：（1）如圖所示，點A1即為所求；（2）如圖所示，線段A1B1即為所求；（3）如圖，連接BB1，過點A作AE⊥BB1，過點A1作A1F⊥BB1，則四邊形ABA1B1的面積=S△ABB15．（2020?甘孜州）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點D落在線段AB上，連接BE．（1）求證：DC平分∠ADE；（2）試判斷BE與AB的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．【答案】見解析?！痉治觥浚?）利用等腰三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)不變性解決問題即可．（2）結(jié)論：AB⊥BE．證明C，E，B，D四點共圓即可解決問題．（3）設(shè)BC交DE于O．連接AO．想辦法證明△ACO是等腰直角三角形，OA＝OB即可解決問題．【解答】（1）證明：∵△DCE是由△ACB旋轉(zhuǎn)得到，∴CA＝CD，∠A＝∠CDE∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠CDE，∴CD平分∠ADE．（2）解：結(jié)論：BE⊥AB．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠DBC＝∠CED，∴D，C，E，B四點共圓，∴∠DCE+∠DBE＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴BE⊥AB．（3）如圖，設(shè)BC交DE于O．連接AO．∵BD＝BE，∠DBE＝90°，∴∠DEB＝∠BDE＝45°，∵C，E，B，D四點共圓，∴∠DCO＝∠DEB＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠OCD，∵CD＝CD，∠ADC＝∠ODC，∴△ACD∽△OCD（ASA），∴AC＝OC，∴∠AOC＝∠CAO＝45°，∵∠ADO＝135°，∴∠CAD＝∠ADC＝67.5°，∴∠ABC＝22.5°，∵∠AOC＝∠OAB+∠ABO，∴∠OAB＝∠ABO＝22.5°，∴OA＝OB，設(shè)AC＝OC＝m，則AO＝OB=2m∴tan∠ABC=AC16．（2020?江西）如圖1是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機放置在托板上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖．量得托板長AB＝120mm，支撐板長CD＝80mm，底座長DE＝90mm．托板AB固定在支撐板頂端點C處，且CB＝40mm，托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動，支撐板CD可繞點D轉(zhuǎn)動．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求點A到直線DE的距離；（2）為了觀看舒適，在（1）的情況下，把AB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)10°后，再將CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在直線DE上即可，求CD旋轉(zhuǎn)的角度．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，3≈【答案】見解析?！痉治觥浚?）通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出CB、AF，即可求出點A到直線DE的距離；（2）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，結(jié)合圖形，明確圖形中的已知的邊角，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求出相應(yīng)的角度即可．【解析】（1）如圖2，過A作AM⊥DE，交ED的延長線于點M，過點C作CF⊥AM，垂足為F，過點C作CN⊥DE，垂足為N，由題意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，在Rt△CDN中，CN＝CD?sin∠CDE＝80×32=403（mm∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC?sin40°＝80×0.643≈51.44，∴AM＝AF+FM＝51.44+403≈120.7（mm答：點A到直線DE的距離約為120.7mm；（2）旋轉(zhuǎn)后，如圖3所示，根據(jù)題意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，∴tan∠D=BC∴∠D＝26.6°，因此旋轉(zhuǎn)的角度為：60°﹣26.6°＝33.4°，答：CD旋轉(zhuǎn)的角度約為33.4°．17.（2020?新疆）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點是A（1，3），將OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到OB，點B恰好在拋物線上，OB與拋物線的對稱軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）P是線段AC上一動點，且不與點A，C重合，過點P作平行于x軸的直