立體幾何高考經(jīng)典大題理科教學版(綜合提升版)

如圖，四棱錐S-ABCD的面是正形，每條側棱的長都是底面邊長的SD上點。（Ⅰ）求證⊥；（Ⅱ）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的?。á螅┰冢á颍┑臈l件下，側棱C上否存在一點，使得BE∥平面PAC。若存在，求：EC的；若不存在，試說明理由。

倍，為棱解法一AC交BD于O意SO正方形ABCD中ACBD，所以平BD得ACSD(Ⅱ設正方形邊長a，則SD

a

。又OD

22

a

，所以SOD60

0

,連，（Ⅰ）知AC平S所以OP,且ACOD,所以POD是面角AC

的平面角。由SD平

知

SDOP

所以POD30

0

即二面角

的大小為30

0

。（Ⅲ）在棱SC上在一點，//平PAC由（Ⅱ）可得PD

，可在上取一點N,PD過作平行線與的交點即為

。連。在中知，又由于NE,故面BEN//P，得//P,于：NP：EC

解法二設AC于BD于O，由意知SO平

以為標原點，

分為x軸軸z軸正方向，建立坐標系xyz如。設底面邊長為

，則高SO

62

a

。于是

(0,0,

62a),(a22C(0,

26OC0,a,)SDa,0,a22

故

SD

從而

CSD(Ⅱ由題設知，平面AC的個向量

26aa22

，平面DAC的一個法向量)0,0,

62

a)

設求二面角為，

OS3OSDS2

,所求二面角的大小為

（Ⅲ）在棱

SC

上存在一點E

使BE//P

.由（Ⅱ）知DS是面一個法向量，設

且

626aCS,a)2CE,則

BEtCS

26a(1),at)22而

0t

13即當

SE:EC:1時DS而BE不平面PAC內(nèi)故//AC

B0C,,B0C,,·如，四棱錐

中，底面

為平行四邊形，∠°,AB=2,PD⊥底面ABCD(Ⅰ證明：⊥；(Ⅱ若，求二面角A-PB-C的余值。

x

zDCABy解析1）因為

,由弦定理得

從而BD+AD=AB，BD又面ABCD，得PD所以平面故

BD（Ⅱ）如圖，以D為坐標原點，的長單位長，射線為

軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz，

PvAB3,0),PB(0,BC設平面PAB的法向量為n=（x,y,z

,即

y

因此可取n=

(3)設平面PBC的法向量為m，則

可取m=（，-1，

）

m

2277故二面角的余弦值為

3·如圖，直三棱柱

BC11

中，BC1

，D

是棱

AA

1

的中點，

DC1（）明：

DCBC1（）二面角

BD11

的大小。【解析在

DAC

中，

得：ADC45

同理：

DC451

CDC得：

DC,DCBDDC11

面

BC1（）

BCACCABC111取

的點，點O作OHBD于H，連接OCH11111111

1

C111

面

O11

面

1OB1

B

與點D

重合且

DO是面角BD1

的平面角設AC，

a

，

C2aOC30既二面角

BD11

的大小為30

4·如圖，三棱柱ABC-AB中，A，1111∠A=60°.1（Ⅰ）證明AB⊥AC;1（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AABB，AB=CB=2求直線A1C與面BBCC所角的正弦值。11

1【解析】（Ⅰ）AB中點，結E，

1

，

1

，∵AB=

1

，

BAA1

=

，∴

1

是正三角形，∴EAB，∵CA=CB，∴CE⊥，1∵

AE1

=E，∴AB⊥面

CEA1

，∴⊥

1

；…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知ECABEAAB，1又∵面⊥

1

ABC∩

1

=AB，∴⊥

1

，∴EC⊥

1

，∴，，

1

兩兩相互垂直，以E為標原點，

的方向為

x

軸正方向，

EA

|為單位長度，建立如圖所示空間直角坐標系xyz

，有題設知A(1,0,0),(0,1

,0),C(0,0,

),B(－1,0,0),則

=（1,0，

）

BB

=

AA

=(－1,0,

),

AC

=(0,－

,

),……分設=是平面的向量，(x,)1則，，取y

n

=（

，，），∴

cosnAC

=

C1n||A1

，∴直線A與平面BBC所成角的正弦值為11

.……12分

131113311313111331135.如三棱錐

BC11

中，側面

C11

為菱形，

C1

(Ⅰ證：

1

；（Ⅱ）若

1

，

601

，AB=Bc，求二面角

B1

的余弦解析：（）連結

1

，交

1

于

，連結AO因側面

C11

為菱形，所以

BC，且O為與的中點.11又

O，AB1（2因為

AB1

且

為

1

的中點，所以

AOCO

又因為

BC

，所以BOABOC故OB從而OAOB1

兩兩互相垂直.以坐標原點，OB的向為軸方向，為位長，建立如圖所示空間直角坐標系O.因為60，以CBB為邊三角形又BC，A

0,0,

33

，3AB,BBBC,0

，設

n

x,

是平面

AAB