高中數(shù)學(xué)第一單元常用邏輯用語(yǔ)132命題四種形式教學(xué)案新人教B1新人教B數(shù)學(xué)案

1．3.2

命題的四種形式學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.認(rèn)識(shí)四種命題的觀點(diǎn)，

會(huì)寫(xiě)出所給命題的抗命題、

否命題和逆否命題

.2.

認(rèn)識(shí)四種命題之間的關(guān)系以及真假性之間的聯(lián)系

.3.

會(huì)利用命題的等價(jià)性解決問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一

四種命題的觀點(diǎn)思慮給出以下四個(gè)命題：當(dāng)x＝2時(shí)，x2－3x＋2＝0；若x2－3x＋2＝0，則x＝2；若x≠2，則x2－3x＋2≠0；若x2－3x＋2≠0，則x≠2.你能說(shuō)出命題(1)與其余三個(gè)命題的條件與結(jié)論有什么關(guān)系嗎？梳理對(duì)命題的條件和結(jié)論進(jìn)行“換位”和“換質(zhì)”(否認(rèn))后，能夠組成四種不一樣形式的命題：原命題：________________；抗命題：________________(“換位”)；否命題：________________(“換質(zhì)”)；逆否命題：________________(“換位”又“換質(zhì)”)．知識(shí)點(diǎn)二命題的四種形式之間的關(guān)系思慮1為了書(shū)寫(xiě)方便常把p與q的否認(rèn)分別記作“綈p”和“綈q”，假如原命題是“如果p，則q”，那么它的抗命題、否命題、逆否命題該如何表示？思慮2原命題的否命題與原命題的逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的抗命題與其逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的抗命題與其否命題呢？梳理四種命題間的互相關(guān)系知識(shí)點(diǎn)三四種命題的真假關(guān)系思慮1知識(shí)點(diǎn)一的“思慮”中四個(gè)命題的真假性是如何的？思慮2假如原命題是真命題，它的抗命題是真命題嗎？它的否命題呢？它的逆否命題呢？梳理(1)在原命題的抗命題、否命題、逆否命題中，必定與原命題真假性同樣的是________________．(2)兩個(gè)命題互為抗命題或互為否命題時(shí)，它們的真假性________________．種類(lèi)一四種命題及其互相關(guān)系命題角度1四種命題的觀點(diǎn)例1寫(xiě)出以下命題的抗命題、否命題和逆否命題．若x∈A，則x∈A∪B；若a，b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)；在△ABC中，若a>b，則A>B.反省與感悟四種命題的變換方法交換原命題的條件和結(jié)論，所得命題是原命題的抗命題．同時(shí)否認(rèn)原命題的條件和結(jié)論，所得命題是原命題的否命題．交換原命題的條件和結(jié)論，而且同時(shí)否認(rèn)，所得命題是原命題的逆否命題．追蹤訓(xùn)練

1

命題“若函數(shù)

f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則

log

a2<0”的逆否命題是( )A．若loga2<0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)B．若loga2≥0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)C．若loga2<0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)D．若loga2≥0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)命題角度2四種命題的互相關(guān)系例

2

若命題

p：“若

x＋y＝0，則

x，y互為相反數(shù)”的否命題為

q，命題

q的抗命題為

r，則r

與p的抗命題的關(guān)系是

(

)A．互為抗命題B．互為否命題C．互為逆否命題D．同一命題反省與感悟判斷四種命題之間四種關(guān)系的兩種方法利用四種命題的定義判斷；巧用“逆、否”兩字進(jìn)行判斷，如“抗命題”與“逆否命題”中不一樣有“否”一個(gè)字，是互否關(guān)系；而“抗命題”與“否命題”中不一樣有“逆、否”二字，其關(guān)系為逆否關(guān)系．追蹤訓(xùn)練2已知命題p的抗命題是“若實(shí)數(shù)a，b知足a＝1且b＝2，則a＋b<4”，則命題p的否命題是__________________________________．種類(lèi)二四種命題的真假判斷例3有以下命題：①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的抗命題；②“面積相等的三角形全等”的否命題；③“若m≤1，則

x2－2x＋m＝0

有實(shí)數(shù)解”的逆否命題；④“若

A∩B＝B，則

A?

B”的逆否命題，此中真命題為

(

)A．①②

B．②③C．④

D．①②③反省與感悟

原命題與逆否命題老是擁有同樣的真假性，

與抗命題或否命題的真假性沒(méi)相關(guān)系．抗命題與否命題也老是擁有同樣的真假性．追蹤訓(xùn)練

3

命題“若

a>b，則

ac2>bc2(a，b，c∈R)”與它的抗命題、

否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為( )A．0B．2C．3D．4種類(lèi)三等價(jià)命題的應(yīng)用例4判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若對(duì)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，則a≥1”的逆否命題的真假．引申研究227判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若對(duì)于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2>0的解集為R，則a<4”的逆否命題的真假．反省與感悟因?yàn)樵}和它的逆否命題有同樣的真假性，即互為逆否命題的兩個(gè)命題擁有等價(jià)性，因此我們?cè)谥苯幼C明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，能夠經(jīng)過(guò)證明它的逆否命題為真命題來(lái)間接地證明原命題為真命題．追蹤訓(xùn)練4證明：若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋1.1．命題“若a?A，則b∈B”的否命題是( )A．若a?A，則b?BB．若a∈A，則b?BC．若b∈B，則a?AD．若b?B，則a?A2)2．命題“假如x<1，則－1<x<1”的逆否命題是(A．假如x2≥1，則x≥1，或x≤－1B．假如－1<x<1，則x2<1C．假如x>1或x<－1，則x2>1D．假如x≥1或x≤－1，則x2≥13．假如一個(gè)命題的否命題是真命題，那么這個(gè)命題的抗命題是( )A．真命題B．假命題C．不必定是真命題D．不必定是假命題4．以下命題：①“全等三角形的面積相等”的抗命題；②“正三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的否命題；③“若k<0，則方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有兩相異實(shí)數(shù)根”的逆否命題．此中真命題的個(gè)數(shù)是( )A．0B．1C．2D．35．已知命題“若m－1<x<m＋1，則1<x<2”的抗命題為真命題，則m的取值范圍是________．1．寫(xiě)四種命題時(shí)，能夠按以下步驟進(jìn)行：找出命題的條件p和結(jié)論q；寫(xiě)出條件p的否認(rèn)綈p和結(jié)論q的否認(rèn)綈q；依據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫(xiě)出全部命題．2．一個(gè)命題都有條件和結(jié)論，要分清條件和結(jié)論．3．判斷命題的真假能夠依據(jù)互為逆否的命題真假性同樣來(lái)判斷，這也是反證法的理論基礎(chǔ)．學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解命題及四種命題的觀點(diǎn)，

掌握四種命題間的互相關(guān)系

.2.

理解充分、必需條件的觀點(diǎn)，掌握充分、必需條件的判斷方法

.3.

理解邏輯聯(lián)絡(luò)詞的含義，會(huì)判斷含有邏輯聯(lián)絡(luò)詞的命題的真假.4.理解全稱(chēng)量詞、存在量詞的含義，會(huì)判斷全稱(chēng)命題、存在性命題的真假，會(huì)求含有一個(gè)量詞的命題的否認(rèn)．知識(shí)點(diǎn)一全稱(chēng)命題與存在性命題1．全稱(chēng)命題與存在性命題真假的判斷方法判斷全稱(chēng)命題為真命題，需嚴(yán)格的邏輯推理證明，判斷全稱(chēng)命題為假命題，只要舉出反例．判斷存在性命題為真命題，需要舉出正例，而判斷存在性命題為假命題時(shí)，要有嚴(yán)格的邏輯證明．2．含有一個(gè)量詞的命題否認(rèn)的關(guān)注點(diǎn)全稱(chēng)命題的否認(rèn)是存在性命題，存在性命題的否認(rèn)是全稱(chēng)命題．否認(rèn)時(shí)既要改寫(xiě)量詞，又要否認(rèn)結(jié)論．知識(shí)點(diǎn)二簡(jiǎn)略邏輯聯(lián)絡(luò)詞“且、或、非”命題的真假判斷能夠歸納為口訣：“p與綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．pq綈pp∨qp∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假知識(shí)點(diǎn)三充分條件、必需條件的判斷方法1．直接利用定義判斷：即若p?q建立，則p是q的充分條件，q是p的必需條件．(條件與結(jié)論是相對(duì)的

)2．利用等價(jià)命題的關(guān)系判斷：

p?

q的等價(jià)命題是綈

q?

綈p，即若綈

q?

綈p

建立，則

p是q的充分條件，

q是

p的必需條件．3．從會(huì)合的角度判斷充分條件、必需條件和充要條件若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不用要條件若B?A，則p是q的必需條件，若BA，則p是q的必需不充分條件若A＝B，則p，q互為充要條件若A?B且

B?A，則

p既不是

q的充分條件，也不是

q的必需條件此中p：A＝{x|p(x)建立}，q：B＝{x|q(x)建立}．知識(shí)點(diǎn)四四種命題的關(guān)系原命題與逆否命題為等價(jià)命題，抗命題與否命題為等價(jià)命題．種類(lèi)一命題的關(guān)系及真假的判斷例1將以下命題改寫(xiě)成“假如p，則q”的形式，并寫(xiě)出它的抗命題、否命題和逆否命題以及它們的真假．垂直于同一平面的兩條直線平行；2(2)當(dāng)mn<0時(shí)，方程mx－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根．反省與感悟(1)四種命題的改寫(xiě)步驟①確立原命題的條件和結(jié)論．②抗命題：把原命題的條件和結(jié)論交換．否命題：把原命題中條件和結(jié)論分別否認(rèn)．逆否命題：把原命題中否認(rèn)了的結(jié)論作條件、否認(rèn)了的條件作結(jié)論．命題真假的判斷方法追蹤訓(xùn)練1以下四個(gè)結(jié)論：①已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是“若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3”；②命題“若x－sinx＝0，則x＝0”的逆命題為“若x≠0，則x－sinx≠0”；③命題p的否命題和命題p的抗命題同真同假；④若|C|>0，則C>0.此中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )A．1B．2C．3D．4種類(lèi)二邏輯聯(lián)絡(luò)詞與量詞的綜合應(yīng)用例2已知：?x∈R，2＋2≤0.：?x∈R，x2－2＋1＞0，若∨為假命題，則實(shí)數(shù)pmxqmxpq的取值范圍是()mA．[1，＋∞)B．(－∞，－1]C．(－∞，－2]D．[－1,1]反省與感悟

解決此類(lèi)問(wèn)題第一理解邏輯聯(lián)絡(luò)詞的含義，

掌握簡(jiǎn)單命題與含有邏輯聯(lián)絡(luò)詞的命題的真假關(guān)系．其次要擅長(zhǎng)利用等價(jià)關(guān)系，如：

p真與綈

p假等價(jià)，

p假與綈

p真等價(jià)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)變，進(jìn)而謀得最正確解決門(mén)路．追蹤訓(xùn)練

2

已知命題

p：方程

2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]

上有解；命題

q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)

x02若命題“p或q”是假命題，求a的取值范圍．知足不等式x0＋2ax0＋2a≤0.種類(lèi)三充分條件與必需條件命題角度1充分條件與必需條件的判斷例3(1)設(shè)x∈R，則“x2－3x>0”是“x>4”的( )A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件(2)已知a，b是實(shí)數(shù)，則“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件反省與感悟條件的充要關(guān)系的常用判斷方法定義法：直接判斷若p則q，若q則p的真假．等價(jià)法：利用A?B與綈B?綈A，B?A與綈A?綈B，A?B與綈B?綈A的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論能否認(rèn)式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．利用會(huì)合間的包括關(guān)系判斷：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必需條件；若A＝B，則A是B的充要條件．追蹤訓(xùn)練3使a>b>0建立的一個(gè)充分不用要條件是( )A．a(chǎn)2>b2>0B．log1a>log1b>022C．ln>ln>0D．xa>b且x>0.5abx命題角度2充分條件與必需條件的應(yīng)用例4設(shè)命題p：x2－5＋6≤0；命題q：(x－)(x－－2)≤0，若綈p是綈q的必需不充分xmm條件，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍．反省與感悟利用條件的充要性求參數(shù)的范圍解決此類(lèi)問(wèn)題一般是把充分條件、必需條件或充要條件轉(zhuǎn)變?yōu)闀?huì)合之間的關(guān)系，而后根據(jù)會(huì)合之間的關(guān)系列出對(duì)于參數(shù)的不等式求解．(2)注意利用轉(zhuǎn)變的方法理解充分必需條件：

若綈

p是綈

q的充分不用要

(必需不充分、充要)條件，則

p是

q的必需不充分

(充分不用要、充要

)條件．追蹤訓(xùn)練

4

已知

p：2x2－9x＋a<0，q：2<x<3且綈

q是綈

p的必需條件，務(wù)實(shí)數(shù)

a的取值范圍．x1．已知命題p：?x>0，總有(x＋1)e>1，則綈p為( )B．?x>0，使得(x＋1)ex≤1C．?x>0，總有(x＋1)ex≤1D．?x≤0，總有(x＋1)ex≤12．設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件3．“若x，y全為零，則xy＝0”的否命題為_(kāi)_____________．4．已知命題p：若x>y，則－x<－y；命題q：若x>y，則x2>y2.在命題①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈

p)∨q中，真命題是

________．5．對(duì)隨意

x∈[－1,2]

，x2－a≥0恒建立，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是

________．1．否命題和命題的否認(rèn)是兩個(gè)不一樣的觀點(diǎn)否命題是將原命題的條件否認(rèn)作為條件，將原命題的結(jié)論否認(rèn)作為結(jié)論結(jié)構(gòu)一個(gè)新的命題．(2)命題的否認(rèn)不過(guò)否認(rèn)命題的結(jié)論，常用于反證法．若命題為“假如

p，則

q”，則該命題的否命題是“假如綈

p，則綈

q”；命題的否認(rèn)為“假如

p，則綈

q”．2．四種命題的三種關(guān)系，互否關(guān)系，互逆關(guān)系，互為逆否關(guān)系，只有互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題．3．判斷p與q之間的關(guān)系時(shí)，要注意p與q之間關(guān)系的方向性，充分條件與必需條件方向正好相反，不要混雜．4．注意常有邏輯聯(lián)絡(luò)詞的否認(rèn)一些常有邏輯聯(lián)絡(luò)詞的否認(rèn)要記著，如：“都是”的否認(rèn)“不都是”，“全部是”的否認(rèn)“不全部是”，“起碼有一個(gè)”的否認(rèn)“一個(gè)也沒(méi)有”，“至多有一個(gè)”的否認(rèn)“起碼有兩個(gè)”．答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思慮命題(1)的條件和結(jié)論與命題(2)的條件和結(jié)論恰巧交換了．命題(1)的條件與結(jié)論恰好是命題(3)條件的否認(rèn)和結(jié)論的否認(rèn)．命題(1)的條件和結(jié)論恰巧是命題(4)結(jié)論的否認(rèn)和條件的否認(rèn)．梳理(1)假如p，則q(2)假如q，則p(3)假如綈p，則綈q(4)假如綈q，則綈p知識(shí)點(diǎn)二思慮1抗命題：假如q，則p.否命題：假如綈p，則綈q.逆否命題：假如綈q，則綈p.思慮2互逆、互否、互為逆否．梳理假如p，則q假如q，則p假如綈p，則綈q假如綈q，則綈p知識(shí)點(diǎn)三思慮1(1)真命題，(2)假命題，(3)假命題，(4)真命題．思慮2原命題為真，其抗命題不必定為真，其否命題不必定為真，其逆否命題必定是真命題．梳理(1)逆否命題(2)沒(méi)相關(guān)系題型研究例1解(1)抗命題：若x∈A∪B，則x∈A.否命題：若x?A，則x?A∪B.逆否命題：若x?A∪B，則x?A.抗命題：若a＋b是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)．否命題：a，b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)．逆否命題：若a＋b不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)．抗命題：在△ABC中，若A>B，則a>b.否命題：在△ABC中，若a≤b，則A≤B.逆否命題：在△ABC中，若A≤B，則a≤b.追蹤訓(xùn)練1B例2B[已知命題p：若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)．命題p的否命題q為：若x＋y≠0，則x，y不互為相反數(shù)，命題q的抗命題r為：若x，y不互為相反數(shù)，則x＋y≠0，∴r是p的逆否命題，∴r是p的抗命題的否命題，應(yīng)選B.]追蹤訓(xùn)練2若實(shí)數(shù)a，b知足a＋b≥4，則a≠1或b≠2分析

由命題

p的抗命題與其否命題互為逆否命題可得．例

3

D[①②③明顯正確；對(duì)于④，若

A∩B＝B，則

B?

A，因此原命題為假，故它的逆否命題也為假．]追蹤訓(xùn)練3B[命題“若a>b，則ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命題，則其逆否命題是假命題．該命題的抗命題為“若ac2>bc2，則a>b(a，b，c∈R)”是真命題，則其