三階系統(tǒng)綜合分析與設計

引言在控制工程中，三階系統(tǒng)非常普遍，但是三階系統(tǒng)屬于高階系統(tǒng) ,其動態(tài)性能指標的確定是比較復雜，不能像二階系統(tǒng)那樣可以用特定的公式計算。因此，我們可以借助于MATLAB軟件對高階系統(tǒng)進行分析。在課程設計中，我們不僅要掌握用MATLAB繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡和和系統(tǒng)響應曲線，還要掌握BODE圖和Nyquist曲線的繪制。以及在比較點與開環(huán)傳遞函數(shù)之間加一個非線性環(huán)節(jié)后用負倒描述函數(shù)和Nyquist曲線判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設計內(nèi)容1.1設計題目:三階系統(tǒng)綜合分析與設計初始條件：某單位反饋系統(tǒng)結構圖如圖1所示圖1-1圖1-21.2設計任務要求完成的主要任務:1、 試繪制隨根軌跡2、 當-8為閉環(huán)系統(tǒng)的一個極點時，K=?3、求取主導極點阻尼比為0.7時的K值(以下K取這個值)4、分別求取位置誤差系數(shù)、速度誤差系數(shù)、加速度誤差系數(shù)及輸入信號為r(t)=1(t)+2.5t+12單位階躍信號、斜坡信號及單位加速度信號時的穩(wěn)態(tài)誤差5、 用Matlab繪制單位階躍相應曲線6、 繪制Bode圖和Nyquist曲線，求取幅值裕度和相角裕度7、 如在比較點與開環(huán)傳遞函數(shù)之間加1個非線性環(huán)節(jié)，如圖2所示其中e二1,k二2，試求取非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，并根據(jù)負倒描述0函數(shù)和Nyquist圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性8、 認真撰寫課程設計報告。方案設計MATLAB繪制根軌跡繪制軌跡利用的函數(shù)是rlocus函數(shù)：1、首先根軌跡繪制需要明確的是根軌跡起于開環(huán)極點(包括無限極點) ，終k于開環(huán)零點(包括無限零點)。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) k 可知：系統(tǒng)s(s+3)(s+6)根軌跡有3條分支，開環(huán)零點無限遠，有三個開環(huán)極點，分別是 0，-3，-6。2、 實軸上的根軌跡是那些在其右側開環(huán)實數(shù)零點和開環(huán)實數(shù)極點總數(shù)和為奇數(shù)的區(qū)間，所以該系統(tǒng)根軌跡在實軸上的區(qū)間為 (--,-6］、［-3,0］。3、該系統(tǒng)根軌跡有3條漸近線，求漸近線與實軸交點，得［-3.0j］,而漸近線與實軸正方向的夾角為弓兀，既有I，兀普。則可繪制系統(tǒng)根軌跡漸近線。4、根軌跡與虛軸的交點；閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：ks(s+3)(s+6)即s3+9s2+18s+k=0令s=j?代入上式，可得： -①3+18?=0 解得w=±3J25、根軌跡的分離點：+ -+ - =0 解得d=-3d-0d-(-3)d-(-6)MATLAB為繪制根軌跡編程如下：num=[1];den=[19180];syms=tf(num,den);rlocus(syms)繪制出的根軌跡如圖2-1所示

RootLocus15 1 1 10w-xyA」lnLI-EilnE-w-xyA」lnLI-EilnE-圖2-1閉環(huán)根軌跡求取當閉環(huán)系統(tǒng)的一個極點為-8時的k值閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：s3+9s2+18s+k=0令G(s)=0，將閉環(huán)極點s=-8代入方程式中，從而可以得到k=80.所以當-8為閉環(huán)系統(tǒng)的一個極點時，k等于80。求主導極點阻尼比為0.7時的K值系統(tǒng)的動態(tài)性能基本上由接近虛軸的閉環(huán)極點確定，這樣的極點被稱為主導極點。故主導極點定義為對整個時間相應過程中起到主要作用的閉環(huán)極點， 只有既接近虛軸，又不十分接近閉環(huán)零點的閉環(huán)極點才能成為主導極點。在全部閉環(huán)極點中，選取最靠近虛軸又不十分靠近閉環(huán)零極點的一個或幾個閉環(huán)極點作為主導極點，略去不十分接近原點的偶極子，以及比主導極點距虛軸遠6倍以上的閉環(huán)零、極點。該系統(tǒng)中只有無限遠零點，極點分別是 0、-3、-6，其中0及-3比-6更加靠近虛軸，可以作為主導極點，-6則可忽略，對系統(tǒng)的影響較小。

故系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：k故系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：ks2+3s+k又典型二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： P(s)二 一s2+ s+32nn比較上式，可得 k=32,23二3，又系統(tǒng)主導極點阻尼比 0.7，可以求nn得3=2.143，k=4.59n穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的計算控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值，與開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的結構和輸入信號R(s)的形式密切相關，對于一個給定的穩(wěn)定系統(tǒng)，當輸入信號形式一定時，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結構。一般，分子階次為m，分母階次為n的開環(huán)傳遞函數(shù)課表示為：G(s)H(s)=KHm(T+1)svI1G(s)H(s)=j=1 j則可根據(jù)已知信號的輸入形式，判斷系統(tǒng)是否存在原理性穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)誤則可根據(jù)已知信號的輸入形式，判斷系統(tǒng)是否存在原理性穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)誤時帀為］型系統(tǒng)。差的大小，根據(jù)已知條件可知系統(tǒng)時帀為］型系統(tǒng)。誤差系數(shù)的求取1、若r(t)=R-1(t),R為輸入階躍信號的幅值，則 R(s)=R/s,此時有穩(wěn)態(tài)誤差RRe= =—ss1+limG(s)H(s)1+KP靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp=limG(s)H(s)—astO2、若r(t)=Rt-l(t),R為輸入速度信號的幅值，則 R(s)=R/s2,此時有穩(wěn)態(tài)誤差Re=sslimsG(s)H(s)st0靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=limsG(s)H(s)靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=limsG(s)H(s)=limst0 st04.59(s+3)(s+6)=0.2553、若r(t)=Rt2/2,R為輸入加速度信號的幅值。則R(s)=R/s3，此時有穩(wěn)態(tài)誤差

e= =ss lims2G(s)H(s)st0靜態(tài)加速度誤差系數(shù)K靜態(tài)加速度誤差系數(shù)K4.59s=KS2G(S)H(S)=1豊(s+3)(s+6廠04、則當輸入信號為r(t)=1(t)+2.5t+4、則當輸入信號為r(t)=1(t)+2.5t+12時，穩(wěn)態(tài)誤差的求法如下：首先將輸入信號r(t)分解為三個信號的疊加：r(t)二1(t),r(t)=1r(t)二r(t)+r(t)+r(t)。輸入信號R(t)的穩(wěn)態(tài)誤差就是信號12態(tài)誤差的和。2r(t)、1r2(t)、,r(t)=t23r(t)的穩(wěn)3輸入信號為r(t)二1(t時，穩(wěn)態(tài)誤差e1ss輸入信號為r(t)=2.5t，時，穩(wěn)態(tài)誤差21=01+K—蘭二=11.11ssK0.255v輸入信號為r(輸入信號為r(t)=t2時，穩(wěn)態(tài)誤差31e=—TgssKa所以輸入信號r(t)所以輸入信號r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差為eTg。ss2.5繪制單位階躍響應曲線繪制單位階躍響應利用的函數(shù)是2.5繪制單位階躍響應曲線繪制單位階躍響應利用的函數(shù)是step函數(shù)。MATLAB繪制單位階躍響應曲線編程如下：num=[4.59];den=[19184.59];syms=tf(num,den);step(tf(num,den))繪制出的單位階躍響應曲線如圖2-2所示：圖2-2單位階躍響應曲線

由圖中可以看到單位階躍響應最終趨向于 1，所以穩(wěn)態(tài)誤差為0，所以該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.6繪制BODE圖和Nyquist曲線及求取幅值裕度和相角裕度繪制BODE圖Bode圖又稱對數(shù)頻率特性曲線圖，由對數(shù)幅頻曲線和對數(shù)相頻曲線組成，是工程中廣泛使用的一組曲線。繪制軌跡利用的函數(shù)是bode函數(shù)：1、將傳遞函數(shù)寫成伯德標準型，確定開環(huán)傳遞系數(shù)和各轉折頻率。4.590.225G(s)= =s(s+3)(s+6) s(s/3+1)(s/6+1)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為G(s)=0.225G(s)=j?( /3+1)(jw/6+1)由伯德標準型容易看書，開環(huán)傳遞系數(shù)為K二0.225,轉折頻率為?=3,1?=6。

2、 確定低頻段：由傳遞函數(shù)可知該系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，即有微分環(huán)節(jié)，所以繪制低頻段，可過?二1,L⑴二201ogK二201og0.225=-12.96作一條斜率為-20dB/dec的斜線。3、 繪制開環(huán)對幅頻特性的漸近線：將低頻段延伸到第一個轉折點頻率?=3處。因為第一個轉折頻率是慣性環(huán)節(jié)的轉折頻率，所以，開環(huán)對數(shù)頻率特1性的漸近線下降20dB/dec,再延伸到第二個轉折頻率?=0.5處，因為也是慣性2環(huán)節(jié)，所以再下降20dB/dec。4、 繪制相頻特性：繪制各個環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線，然后逐點疊加。一般在一些特征點上進行疊加，如各個轉折頻率處。5、 修正對數(shù)幅頻特性。MATLAB繪制BODE圖編程如下：num=[4.59];den=[19180];bode(num,den);gridon繪制出的BODE圖如圖2-3所示：〔mp〕IDpn〔mp〕IDpn七LIBln左〔fiIDpjIDwlnLIdFrequency(rad/sec)圖2-3BODE圖繪制Nyquist曲線

Nyquist曲線圖又稱開環(huán)幅相頻率特性曲線圖，是利用Nyquist判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的依據(jù)。繪制Nyquist曲線利用的函數(shù)是nyquistMATLAB繪制Nyquist曲線編程如下：num=[4.59];den=[19180];syms=tf(num,den);nyquist(syms)繪制出的Nyquist曲線如圖2-4所示：NyquistDiagramM一遵AM一遵A」lnu一EilnE--0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2RealAxis圖2-4Nyquist曲線2.6.3求取幅值裕度h和相角裕度Y設①為系統(tǒng)的截止頻率c則A(?)=|G( )Hj)|=1c c c定義相角裕度為 Y=180。+ZG(j?)H(j?)cc相角裕度Y的含義是：對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)相頻特性再滯后度，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。設?為系統(tǒng)的穿越頻率c則 p(?)二ZG(j?)H(j?)二(2k+1)兀；k=0,±l,±2xxx定義幅值裕度為 h=-201g|G(j?)H(j?)|x x

幅值裕度的含義是:對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大h倍，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。MATLAB求取幅值裕度h及相角裕度y編程如下：num[4.59];den[19180];sysm=tf(num,den);margin(sysm);gridon得到幅值裕度h及相位裕度y如下圖2—55L〔豈￡啟匚豊jlj5L

diBodeDiagramGm=31dB(at4.24rad/sec),Pm=82.7deg(at0.254rad/sec)5o5L〔豈￡啟匚豊jlj5L

diBodeDiagramGm=31dB(at4.24rad/sec),Pm=82.7deg(at0.254rad/sec)5o5382112---〔BIDSluwlnLId圖2-5幅值裕度及相角裕度圖h=-20lg|Gj)H(j?)|=-29.8 ;y=180?！?2.7。二97.3。xx2.7非線性控制系統(tǒng)的分析C(s)-Hi——kC(s)-Hi——k/ ‘—h%25Ks(s(卞型3)(s+6)圖2-6加入非線性環(huán)節(jié)的反饋結構圖根據(jù)系統(tǒng)結構圖可知該非線性類型為死區(qū)特性，又其中e二1,k二20

代入描述函數(shù)公式N(A)=竺兀1-sin-代入描述函數(shù)公式N(A)=竺兀即得到描述函數(shù)為 N(A)二-冗(1)2IA丿=-sin-1即得到描述函數(shù)為 N(A)二-冗(1)2IA丿=-sin-1丄-打+2 AA\ {A2.7.2系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定由描述函數(shù)可知負倒數(shù)函數(shù)為14兀111(1)2A=-1/——-sin-1—--1-->N(A)12AA\ 1A丿,A>10.225對于線性環(huán)節(jié)，4.59G(s)=s(s+3)(s+6) s(s/3+1)(s/6+1)可解得穿越頻率1==4.24,G(妙)TT x:12KTT12=-0.0283T+12負倒函數(shù)=-1/\4兀兀^ 1 1—sin-1 —-2 A—11-—A\IaJ則-則-=-8,- =—N(AT1) N(AT8) 2即-NA曲線此時在實軸上由-8指向-0.5的直線，而此時奈氏曲線過負實軸交于-0.02833，沒有包圍-馬曲線，根據(jù)非線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)，該系統(tǒng)即-NA-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02NyquistDiagramH一遵A」lnu一eicaE-RealAxis圖2-6奈氏曲線放大圖體會