高中數(shù)學柯西不等式

關于高中數(shù)學柯西不等式第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日說教材說學情

說目標說教法說學法

說教學過程柯西不等式（一）第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日

柯西不等式是人教A版選修4－5不等式選講中第三講的內容，是學生繼平均值不等式后學習的又一個經典不等式，它在教材中起著承前啟后的作用：一方面可以鞏固學生對不等式的基本證明方法的掌握，另一方面又為后面學習三角不等式、排序不等式打下了基礎。運用柯西不等式可以解決中學數(shù)學中一些比較典型的數(shù)學問題，例如：證明不等式、求最值等。本節(jié)課是柯西不等式的第一課時，主要內容是柯西不等式的二維形式的推導和應用。（一）、教材的地位和作用：一、說教材第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日教學重點：教學難點：1、柯西不等式的二維形式的推導和應用；2、通過運用柯西不等式的二維形式來解決一些簡單問題，體會運用經典不等式的一般方法——發(fā)現(xiàn)具體問題與經典不等式之間的聯(lián)系，經過適當變形，以經典不等式為依據(jù)得出具體問題的不等關系。柯西不等式的二維形式的應用關鍵點：理解柯西不等式的二維形式的結構特點一、說教材

（二）、教學重點、難點第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（三）、教材處理

一、說教材

向量的數(shù)量積的性質正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內容最佳的“知識生長點”。根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”的教學理論，我將課本中通過讓學生類比不等式猜想關于的不等關系得出柯西不等式的二維形式的處理方法改為先讓學生證明不等式，通過對該不等式作進一步探究,發(fā)現(xiàn)了柯西不等式的二維形式，并由此順著學生思路層層深入地設計問題來展開教學，使學生在探究活動中掌握了柯西不等式二維形式的推導和應用。第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日二、說學情

該班學生基礎比較扎實，求知欲較強，具備一定的觀察、分析、邏輯推理能力。在學習本課前已掌握證明不等式的基本方法，以及向量的數(shù)量積的性質。這個性質正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內容最佳的“知識生長點”。第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日三、說目標通過創(chuàng)設情境，提出問題，然后探索解決問題的辦法，培養(yǎng)學生獨立思考、積極探索的習慣和邏輯推理能力。

1、知識目標：（1）理解柯西不等式的二維形式和向量形式；（2）能運用柯西不等式的二維形式解決一些簡單問題；（3）讓學生了解柯西的主要貢獻，貫穿數(shù)學史教育。2、能力目標：第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日四、說教法

因為學生學習數(shù)學的過程實際上是學生完善數(shù)學認知結構的過程，教師的職責就是引導學生形成良好的數(shù)學認知結構，“教是為了不教”就是這一思想的反映，而探究式學習的本質就是學生的自主建構，所以我在柯西不等式的發(fā)現(xiàn)、證明以及例題的講解中均采用問題探究式教學法：通過精心設置問題鏈，使教學過程活動化，促使學生積極主動地參與教學活動。在整個教學過程中我鼓勵學生互相討論，合作交流。另外我采用了多媒體進行教學，既提高了教學效率，使得課堂各個環(huán)節(jié)緊湊，學生思維連貫順暢；又為師生、生生之間的交流提供了廣闊的平臺。第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日五、說學法

教是為了不教。在教學過程中我注意指導學生學會學習，通過啟發(fā)教給學生獲取知識的途徑，思考問題的方法。在教學活動中，我通過肯定學生的正確，指出學生的錯誤，引導學生揭示知識內涵，幫助學生養(yǎng)成獨立思考，積極探索的習慣。培養(yǎng)學生主動探究的學習方式。第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日六、說教學過程創(chuàng)設情境初步運用實施探究設置懸念歸納小結理解深化第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（一）、創(chuàng)設情境設計意圖1、有效的問題能創(chuàng)設出一個充滿張力的情境，能激發(fā)學生的探究欲望。

2、向量的數(shù)量積的這個性質正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內容最佳的“知識生長點”，是學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”。

師：前面我們學習了哪幾種證明不等式的方法？師：在運用這些方法解題時需要注意哪些方面？（要注意每種方法的特點、適用范圍、及解題格式）(比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法)第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（一）、創(chuàng)設情境設計意圖1、有效的問題能創(chuàng)設出一個充滿張力的情境，能激發(fā)學生的探究欲望。

2、向量的數(shù)量積的這個性質正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內容最佳的“知識生長點”，是學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”。

師：前面我們學習了哪幾種證明不等式的方法？師：在運用這些方法解題時需要注意哪些方面？（要注意每種方法的特點、適用范圍、及解題格式）(比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法)問題1：當滿足什么條件時，不等式取等號？問題2：取消已知中的“非零”，不等式還成立嗎？問題3：第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（二）、實施探究設計意圖

用數(shù)學家成才的故事，鼓勵學生要有敢于克服困難的決心和勇氣，提高學生學習數(shù)學的能動性。

柯西（Cauchy,Augustin-Louis,1789-1857）是法國數(shù)學家、力學家。1811及1812年向法國科學院提交了兩篇關于多面體的論文，在數(shù)學界造成了極大的影響。1816年（27歲）成為巴黎綜合工科學校教授，并當選為法國科學院院士.柯西對高等數(shù)學的大量貢獻包括：無窮級數(shù)的斂散性，實變和復變函數(shù)論,微分方程，行列式，概率和數(shù)理方程等方面的研究．目前我們所學的極限和連續(xù)性的定義，導數(shù)的定義，以及微分、定積分用無窮多個無窮小的和的極限定義，實質上都是柯西給出的。他的臨終名言是“人總是要死的，但是，他們的業(yè)績永存．”第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（二）、實施探究設計意圖

因為不同的學生在認知方式和思維策略上存在著差異。學生間的交流是學生完善認知建構的催化劑。所以我這樣設計來激發(fā)學生參與數(shù)學思維活動。問題4：能否用不同的方法證明柯西不等式的二維形式？

(要求學生寫出完整的證明過程，巡堂，將學生中出現(xiàn)的各種典型證法用投影儀投影出來，讓學生比較、分析、評價)第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（二）、實施探究設計意圖1、掌握柯西不等式的二維形式的結構特點是突破本節(jié)難點的關鍵。2、可以培養(yǎng)學生的觀察、分析，歸納能力，同時，讓學生成為發(fā)現(xiàn)者，可以增加學生的成就感，提高學生學習的積極性。有助于學生學習情緒的進一步高漲。問題5：請仔細觀察柯西不等式的二維形式，想一想，它的結構有什么特點？（引導學生通過類比基本不等式的結構特點，觀察、分析，相互探討，歸納出：“平方的和的乘積不小于乘積的和的平方”的特點）第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（三）、初步運用設計意圖1、通過比較各種證明方法，凸顯柯西不等式在解題中的優(yōu)越性。(要求學生寫出完整的證明過程，巡堂，將學生中出現(xiàn)的各種典型證法用投影儀投影出來，讓學生比較、分析、評價)第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（三）、初步運用設計意圖1、讓學生在解決問題的過程中體會用柯西不等式的二維形式解決問題的方法。2、培養(yǎng)數(shù)學能力是數(shù)學教學的根本點，也是形成良好認知結構的核心成分這樣設計既突出了教學重點又化解了教學難點，還使學生的思維得到了鍛煉

(留給學生足夠的思考時間，鼓勵學生合作交流。一段時間后，請做出來的同學談談是怎樣找到解題思路的，再讓未做出來的學生談談思路障礙之處，其他同學進行補充，教師適時點撥，最終體會到解題的方法。)第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（四）、理解深化設計意圖1、讓學生在反思中加深了對用柯西不等式的二維形式解題的方法的理解。2、讓學生在歷練中暴露了思維障礙之處，教師在此適當加予點撥，就能取得很好的教學效果。這是本節(jié)課的升華之處。

問題6：例1和例2都可以用柯西不等式進行證明，但證明過程有何區(qū)別？（引導學生思考、交流，然后個別提問，再和其他學生分析、評價）

（引導學生思考、交流，然后個別提問，再和其他學生分析、評價）不等式①：不等式②：問題7：第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（四）、理解深化設計意圖及時鞏固所學知識和方法體會第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（五）、歸納小結設計意圖

讓學生在歸納小結的過程中將所學的知識條理化、系統(tǒng)化。而注重數(shù)學方法的提煉，可幫助學生逐漸把經驗內化成能力。問題8：通過本節(jié)課的學習，你學到了什么？體驗到什么？1、知識總結：2、思想方法總結：

認識事物的過程實質就是“觀察－發(fā)現(xiàn)、猜想－論證－應用－再發(fā)現(xiàn)－再論證－再應用…”的過程第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（六）、設置懸念設計意圖這是本節(jié)課的一個升華之處。以問題的形式引出柯西不等式的三維、n維形式的推導，為下節(jié)課作好了鋪墊。既使學生掌握基礎知識，又使學有余力的學生有所提高。問題9：柯西不等式的三維、四維、n維的形式是怎樣的？如何推導？問題10：還有沒有其他方法來證明柯西不等式的二維形式？第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日七、評價分析

在教學過程中我始終面對全體學生，尊重學生的個體差異。在教學中我選擇了問題探究的教學方法，，鼓勵與提倡學生用多樣化的策略解決問題。對于問題的設計、教學過程的展開、練習的安排等都盡可能地讓所有學生主動參與，提出各自解決問題的方法，并引導學生合作交流，吸取他人的經驗，從而豐富了學生的數(shù)學活動，提高他們的思維水平。同時這節(jié)課也是我對個性化教育的初步嘗試。第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日1、附板書設計不等式①：不等式②：第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日Bye!第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（一）、創(chuàng)設情境設計意圖探究的第一步是有效的問題。有效的問題能創(chuàng)設出一個充滿張力的情境，能激發(fā)學生學習的極大興趣。向量的數(shù)量積的這個性質正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內容最佳的“知識生長點”。根據(jù)知識建構理論和“最近發(fā)展區(qū)”的教學理論我設計了這樣的引入。先讓學生證明不等式，然后通過引導學生對該不等式進行探究,發(fā)現(xiàn)了柯西不等式的二維形式，問題1：當滿足什么條件時，不等式取等號？問題2：取消已知中的“非零”，不