平面圖形的幾何性質(zhì)

§I-3

平行移軸公式組合截面的慣性矩和慣性積§I-4

慣性矩和慣性積轉(zhuǎn)軸公式·截面的主慣性軸和主慣性矩(選講)§I-1

截面的靜矩和形心§I-2

極慣性矩·慣性矩·慣性積附錄I平面圖形的幾何性質(zhì)1圓軸扭轉(zhuǎn)：還將遇到一些新的截面幾何量，為方便以后的研究，現(xiàn)在從純幾何的角度集中研究這個(gè)問(wèn)題。桿件中的應(yīng)力和變形，不僅與外力相關(guān)，而且與截面的幾何形狀與尺寸相關(guān)。軸向拉壓：A、IP、Wt都是與截面形狀與幾何尺寸有關(guān)的量，稱為截面的幾何性質(zhì)（或截面幾何量），也稱為平面圖形的幾何性質(zhì)。2平面圖形對(duì)y軸的靜矩?！霫-1靜矩和形心一、靜矩dAyzyzO1、量綱：m3、mm32、靜矩值可為＋、－、0。3、平面圖形關(guān)于對(duì)稱軸的靜矩值為0。zdA為微面積對(duì)y軸的靜矩；ydA為微面積對(duì)z軸的靜矩。定義：dSz－

ydA＝0＝y(tǒng)dA平面圖形對(duì)z軸的靜矩。yOz對(duì)稱軸z-yyzdAdA3§1靜矩和形心一、靜矩二、形心及位置坐標(biāo)形心：即為圖形的幾何中心。對(duì)于均質(zhì)薄板，重心、質(zhì)心與形心重合。形心坐標(biāo)：AyOzyCzCCdAzy即：41、平面圖形對(duì)形心軸的靜矩為零。則yC＝0若z為形心軸,2、平面圖形若有對(duì)稱軸，則形心在對(duì)稱軸上。形心軸：通過(guò)形心的坐標(biāo)軸。反之，若圖形對(duì)某軸靜矩為零，該軸一定過(guò)形心。（因?yàn)閳D形關(guān)于對(duì)稱軸的靜矩為0。）yzOC形心二、形心及位置坐標(biāo)5三、組合圖形（組合截面）的靜矩與形心1．組合圖形：由簡(jiǎn)單圖形(矩形、圓形等）組合而成的圖形。2．組合圖形的靜矩：組合圖形由A1、A2、An組成，其形心分別為（zC1，yC1）（zC2，yC2）（zCn，yCn）。因此：63、組合圖形的形心坐標(biāo)公式：利用形心與靜矩的關(guān)系：2、所選坐標(biāo)系不同，求得的形心坐標(biāo)就不同，但形心在圖形中的位置是固定不變的。1、一定要建立坐標(biāo)系。若圖形有對(duì)稱軸，選取對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸可簡(jiǎn)化計(jì)算。求形心時(shí)注意：7101040103030例題：求圖示截面的形心。yzO建立參考坐標(biāo)系Oyz如圖。解：1238188.75（1）將此圖形分為大矩形Ⅰ和小矩形Ⅱ。（3）由對(duì)稱性可知（2）建立坐標(biāo)軸：以圖形的豎直對(duì)稱軸為z軸，過(guò)Ⅱ底邊的軸取為y軸。例題：求圖形的形心。200300101010解：IIIOzyC9§I-2慣性矩和慣性半徑定義平面圖形對(duì)z軸的慣性矩對(duì)y軸的慣性矩對(duì)原點(diǎn)的極慣性矩1、IP、Iy、Iz的量綱m4；

iy、iz的量綱m；值恒正。微面積dA對(duì)z軸的慣性矩為：y2dAzyOρdAzy對(duì)y、z軸的慣性半徑10D1D2d極慣性矩IPzyOρdAzyz’y’慣性矩慣性半徑極慣性矩2、極慣性矩反映了平面圖形相對(duì)于一點(diǎn)的分布情況。慣性矩、慣性半徑反映了平面圖形相對(duì)于坐標(biāo)軸的分布情況。由于圓為中心對(duì)稱，所以yzOyOz平面圖形對(duì)過(guò)一點(diǎn)的任意一對(duì)正交軸的慣性矩之和，恒等于圖形對(duì)該點(diǎn)的極慣性矩。3、由于11平面圖形對(duì)yz軸的慣性積1、Iyz的量綱m4，可正、可負(fù)、可為零。zyOdAzyyOz對(duì)稱軸2、平面圖形關(guān)于含對(duì)稱軸在內(nèi)的正交坐標(biāo)軸的慣性積等于0。z-yyzdAdA12例4：求圓截面關(guān)于對(duì)稱軸的慣性矩。由于z、y均為對(duì)稱軸，根據(jù)可得：解：所以同樣，對(duì)應(yīng)空心圓截面：而要求必須掌握yzO13bh例5：求矩形截面關(guān)于對(duì)稱軸y、z軸的慣性矩。同樣，要求掌握yzOzdz14§I-3平行移軸公式平面圖形面積為A，形心C，形心軸為yC，zC。由慣性矩定義對(duì)于坐標(biāo)系Oyz，y∥yC，z∥zC。微面積dA相對(duì)y軸的坐標(biāo)為：z=zC+a因?yàn)閥C為形心軸,而所以（要求掌握）由此可知，平面圖形對(duì)形心軸的慣性矩最小。bzyOACyC

zCzCyCazydA(a、b為圖形的形心在Oyz中的坐標(biāo)）C（b，a）15求矩形對(duì)y1軸的慣性矩和y1z1軸的慣性積。bhzOyz1y1例平行移軸公式1、yC，zC為形心軸。2、y∥yC

相距為a。z∥zC注意：(a、b為圖形的形心在Oyz中的坐標(biāo)）解：解：求三角形對(duì)形心軸y的慣性矩。已知三角形對(duì)y1軸的慣性矩，例Ohyy1byC，zC為對(duì)稱軸，16根據(jù)積分性質(zhì)，可得：二、組合截面的慣性矩組合截面的慣性矩等于各個(gè)組成部分（簡(jiǎn)單圖形）對(duì)同一軸的慣性矩之和。組合截面面積為A，由A1、A2、An組成。

對(duì)于任意截面，都可以利用積分求慣性矩。但計(jì)算繁瑣。由于組合截面由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成，如矩形，圓形。而矩形、圓形關(guān)于自身對(duì)稱軸的慣性矩已有現(xiàn)成公式，可以在此基礎(chǔ)上用平行移軸定理很方便的求出組合截面的慣性矩。171402020100求圖示T型截面對(duì)水平形心軸yC

的慣性矩。例6:ⅠⅡy（1）求形心的位置建立參考坐標(biāo)系z(mì)Cy如圖。（2）求截面對(duì)形心軸的慣性矩利用平行移軸定理a1=33.3y1zC=46.7解：C第一塊對(duì)yC

軸的慣性矩第二塊對(duì)yC

軸的慣性矩yCzCC1C218200300101010求圖形對(duì)水平形心軸的慣性矩。例III將此圖形分為大矩形Ⅰ和小矩形Ⅱ。zyzC解：（1）形心的位置y1a1y2a2（2）求截面對(duì)形心軸的慣性矩:大矩形對(duì)yC

軸的慣性矩：小矩形對(duì)yC軸的慣性矩：C1C2CyCa1＝188.75－155＝33.75mma2＝188.75－150＝38.75mm總慣性矩19例題例

已知：F=15kN,l=400mm,b=120mm,d=20mm試計(jì)算：截面

B-B的最大拉應(yīng)力st,max與壓應(yīng)力sc,max解：1.彎矩計(jì)算2.形心位置計(jì)算由矩形

1

與矩形

2

組成的組合截面203.慣性矩計(jì)算4.最大彎曲正應(yīng)力21yOz一、轉(zhuǎn)軸公式dAz1y1aaDEBACz1y1zy已知：Iy,Iz,

Iyz,

a,求§I-4轉(zhuǎn)角公式主慣性矩(選講)同理求出：應(yīng)用三角公式,改寫為a是y與y1軸的夾角，由y軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到y(tǒng)1

軸時(shí)的a為正。22yOz轉(zhuǎn)軸公式az1y1定義域：－≤≤，以為周期，即截面對(duì)夾角為0或180°的軸的慣性矩相同。23求慣性矩的極值及其坐標(biāo)軸的方位：求得平面圖形對(duì)兩個(gè)互相垂直的坐標(biāo)軸的慣性積為零時(shí)，對(duì)這兩個(gè)坐標(biāo)軸的慣性矩一定為極值。由于此極值一個(gè)為極大，一個(gè)為極小?？汕蟪鰞蓚€(gè)相差90°角24二、主軸與主慣性矩1．概念（1）主軸(主慣性軸）：慣性積等于零的一對(duì)正交軸；（3）形心主軸：過(guò)圖形形心的主軸。圖形的對(duì)稱軸就是形心主軸。（4）形心主慣性矩：圖形對(duì)形心主軸的慣性矩。（2）主慣性矩圖形對(duì)主軸的慣性矩。平面圖形對(duì)過(guò)某點(diǎn)所有軸的慣性矩中的極大值和極小值，就是對(duì)過(guò)該點(diǎn)主軸的兩個(gè)主慣性矩。（5）形心主慣性平面：桿件橫截面的形心主軸與桿件軸線所確定的平面。橫截面的對(duì)稱軸就是形心主軸，與桿件軸線所確定的縱向?qū)ΨQ面為形心主慣性平面。252．主慣性矩和主軸方位（1）主慣性矩大?。海?）與主軸方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系：若Iy≥Iz，0軸對(duì)應(yīng)Imax

；若Iy<Iz，0軸對(duì)應(yīng)Imin

。（4）任何具有三個(gè)或三個(gè)以上對(duì)稱軸的平面圖形，所有形心軸都是主軸，如正三角形、正方形、正多邊形。（2）主軸方位

0只取主值：|2

0|≤90°。26解：根據(jù)對(duì)稱性可知：例題例：求圖示正方形對(duì)過(guò)形心的y1、z1軸的慣性矩和慣性積。yzaaCy1z1a由此可知y1、z1軸也是形心主軸。因此，正方形任意形心軸均為形心主軸，任意正多邊形都具有這種性質(zhì)。271601111117070例試求圖示圖形的形心主軸和形心主慣性矩。解：圖形的對(duì)稱中心C為形心，在C點(diǎn)建立坐標(biāo)系yz。將整個(gè)圖形分成I、II、III三個(gè)矩形。IIIIIICyz整個(gè)