教學(xué)案例 例談數(shù)學(xué)教學(xué)中“幾何直觀”應(yīng)該注意的幾個(gè)問題

追求普適歸于建模材盡其用——例談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“幾何直觀”應(yīng)該注意的幾個(gè)問題幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。但也正因?yàn)閹缀沃庇^的作用之大、效果之好，致使我們往往忽略了對它在實(shí)際使用過程中所存在的一些問題的關(guān)注與思考。以下筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談一談“幾何直觀”應(yīng)該注意的幾個(gè)問題。問題一：幾何直觀的多樣性與普適性問題很多時(shí)候，同一類數(shù)學(xué)問題往往可以用不同的幾何直觀進(jìn)行表征，充分體現(xiàn)了幾何直觀的多樣性。那是不是每一類數(shù)學(xué)問題都如此呢？還是某一種幾何直觀對某一類數(shù)學(xué)問題更具普適性？人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊第一單元分?jǐn)?shù)乘法例8《連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少》，教材給出了這樣的幾何直觀圖（圖1）表征數(shù)量關(guān)系，而在實(shí)際教學(xué)過程中筆者卻收集到了另外三種不同的幾何直觀圖（分別見圖2、圖3、圖4）。例8教材情境圖：圖1紅蘿卜地占蘿卜地面積的各種蘿卜地占大棚紅蘿卜地占蘿卜地面積的各種蘿卜地占大棚面積的480m各種蘿卜地占大棚面積的480m紅蘿卜地占蘿卜地面積的紅蘿卜地占蘿卜地面積的紅蘿卜地占蘿卜地面積的各種蘿卜地占大棚面積的480m圖2圖3圖4圖1與圖2的不同之處在于圖2未把空白部分平均分成4份，這細(xì)小的不同卻使得圖2不能幫助學(xué)生直觀理解“”的解題思路，因?yàn)樗荒苤庇^地表征出“”所表示的意義。圖3與圖2相比，只是用了不同的形（線段圖）進(jìn)行表征，除此之外兩者并沒有區(qū)別，所以圖3存在著與圖2同樣“致命的硬傷”。圖4是受本單元分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)算理學(xué)習(xí)的影響，與圖1具有“異曲同工”之妙，都能直觀地幫助學(xué)生理解兩種不同的解題思路。但筆者認(rèn)為在實(shí)際教學(xué)中還是應(yīng)該適當(dāng)突出圖4這種形的表征，理由有二：一是從知識遷移的角度來看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會了在長方形中表征分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理，例8這樣的問題情境，大部分學(xué)生都會用圖4進(jìn)行表征。筆者在教學(xué)過程中所觀察到的也正好印證了這一點(diǎn)，只有個(gè)別學(xué)生選擇了用圖2、圖3進(jìn)行表征，沒有學(xué)生用圖1進(jìn)行表征，其余學(xué)生都選擇圖4，這也說明教材中的這幅幾何直觀圖只是編者的“一廂情愿”，對實(shí)際學(xué)情考慮不周。二是如果把問題情境修改為“這個(gè)大棚的共480m2，其中種各種蘿卜，紅蘿卜地的面積占整塊蘿卜地的”，用圖1進(jìn)行表征的困難會很大，用圖4就會簡單許多，而且解決問題的思路體現(xiàn)的更為清晰、直觀。因此，像圖4這樣的幾何直觀對表征“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”這類問題更具普適性。這也提醒我們老師，當(dāng)教學(xué)過程中出現(xiàn)多種幾何直觀表征時(shí)，應(yīng)該有意識地進(jìn)行適度對比，突出更具有普適性的幾何直觀的表征，幫助學(xué)生積累分析、解決一類數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)和策略。問題二：幾何直觀的普適性與數(shù)學(xué)建模問題針對某一類數(shù)學(xué)問題適當(dāng)突出更具普適性的幾何直觀表征對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)是有價(jià)值的,但也不能過度強(qiáng)調(diào)。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊第一單元分?jǐn)?shù)乘法例8《連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少》之后有這樣一題“做一做”：例8“做一做”情境圖受例8學(xué)習(xí)的影響，在學(xué)生獨(dú)立嘗試用幾何直觀表征數(shù)量關(guān)系時(shí)，基本上畫了圖5這樣的幾何直觀圖，可就有一位學(xué)生認(rèn)為圖5是不合理的，理由是想成為老師的學(xué)生和想成為科學(xué)家的學(xué)生不一定是全包含關(guān)系，他認(rèn)為應(yīng)該用圖6表征這個(gè)兩個(gè)量之間的關(guān)系更合理，這種想法也得到了其他學(xué)生的認(rèn)同，那是不是就要否定圖5，扶正圖6了呢？課后筆者對兩個(gè)問題進(jìn)行了反思，問題一，用圖5能不能表征問題情境中的數(shù)量關(guān)系？筆者的想法是，如果從“量”的角度來看，圖5中想成為老師的學(xué)生中用雙斜線陰影表示的那部分人數(shù)就等于想成為科學(xué)家的學(xué)生人數(shù)，這樣看來，用圖5表征兩個(gè)不同的量之間的關(guān)系也是適用的。問題二，既然適用，為什么還會有學(xué)生認(rèn)為圖5是不合理的？筆者認(rèn)為是我們在平時(shí)的教學(xué)過程中過度強(qiáng)調(diào)了幾何直觀的普適性，如果兩個(gè)量是部分與整體的關(guān)系（如全班人數(shù)和這個(gè)班的女生人數(shù)），就可以用一條線段圖表征兩者之間的關(guān)系，如果兩個(gè)量是不同的量（如蘋果的重量和桔子的重量），就應(yīng)該用兩條線段圖進(jìn)行表征。是是相當(dāng)老師人數(shù)的全班36人全班的想成為老師的學(xué)生想成為科學(xué)家的學(xué)生？人36人36人的同學(xué)想成為老師想成為科學(xué)家的人數(shù)是想當(dāng)老師人數(shù)的圖5圖6這樣的問題怎樣處理才會更加合理呢？筆者的思考是，首先我們應(yīng)該要有這樣的認(rèn)識，即對于某一類數(shù)學(xué)問題而言，借助幾何直觀的目的不僅僅在于為學(xué)生提供解決問題的思路，更在于建立解決這一類問題的數(shù)學(xué)模型，只要幾何直觀能夠幫助學(xué)生有效地建立起數(shù)學(xué)模型，就不應(yīng)該過度強(qiáng)調(diào)它的普適性。如果真有學(xué)生堅(jiān)持“鉆牛角尖”，我們也可以把“做一做”的問題情景稍作修改：“咱們班36人，的同學(xué)長大后想成為老師。想成為數(shù)學(xué)老師的人數(shù)是想當(dāng)老師人數(shù)的?！边@樣有意規(guī)避容易引起的爭議的幾何直觀普適性問題，一方面可以讓學(xué)生不再糾結(jié)于用怎樣的幾何直觀表征數(shù)量關(guān)系會更加合理，提高課堂教學(xué)的效率。另一方面，通過“做一做”進(jìn)一步建立和鞏固解決“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”這類問題的兩種數(shù)學(xué)模型，這樣一來，當(dāng)學(xué)生再次遇到“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”這類問題時(shí)，就不會再專注于用怎樣的幾何直觀表征數(shù)量關(guān)系，而是根據(jù)已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模型對問題作出正確的分析與解答。問題三：對幾何直觀的價(jià)值追求問題有時(shí)如果幾何直觀僅僅是為解決一個(gè)既定的問題提供解題思路，就會有一種“材”未盡其用的感覺，體現(xiàn)的是執(zhí)教者對幾何直觀的價(jià)值追求問題。以的教學(xué)為例，面對這道題目，很多學(xué)生的思維受阻?？粗蠲伎嗄樀膶W(xué)生，老師們常用的方法是：出示一個(gè)正方形并把它看作單位“1”，讓學(xué)生分別表示出（圖7），進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生觀察用分?jǐn)?shù)表示部分、剩余部分以及單位“1”三者之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系：1-剩余部分=用分?jǐn)?shù)表示部分的和，得出巧算的方法，學(xué)生恍然大悟，為之折服并欣然接受。老師再將算式作進(jìn)一步的拓展，學(xué)生也能把方法用的得心應(yīng)手。然而筆者認(rèn)為正方形在這里的價(jià)值不僅僅是為了得到這種巧算方法，它的價(jià)值還可以被放得更大。以下是筆者教學(xué)這個(gè)計(jì)算題時(shí)對這個(gè)正方形的價(jià)值追求：圖7出示計(jì)算題，學(xué)生嘗試獨(dú)立解決，如果有困難，允許相互交流→方法展示，共有以下三種：方法一：通分（大部分學(xué)生采用這種方法）。方法二：化小數(shù)（有5、6位學(xué)生采用這種方法）。方法三：先補(bǔ)后減（有1位學(xué)生想到這種方法）。……其中的方法三已經(jīng)非常巧妙，也確實(shí)超出了筆者的預(yù)期。如果借助圖7的形來理解的話，可以看到這種方法中包含著這樣的等量關(guān)系“（用分?jǐn)?shù)表示部分的和+剩余部分）-剩余部分=用分?jǐn)?shù)表示部分的和”，其中“用分?jǐn)?shù)表示部分的和+剩余部分”正好是整個(gè)正方形，也就是1，所以這種方法是先把“1”補(bǔ)完整，再減去補(bǔ)上的數(shù)。與直接用的思路完全不同。因此，筆者適時(shí)出示正方形，“數(shù)”“形”結(jié)合幫助學(xué)生理解方法三的思路，再引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察、思考借助這個(gè)正方形還能對作怎樣的理解，這時(shí)有學(xué)生就發(fā)現(xiàn)了“1-剩余部分=用分?jǐn)?shù)表示部分的和”這一組等量關(guān)系，進(jìn)而對比、優(yōu)化到這種方法。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，首先正方形的延后出示得以呈現(xiàn)出三種不同的方法；其次借助這個(gè)正方形對兩種不同的解題思路作出直觀的解釋，使學(xué)生不僅知其所以，更知其所以然，漸進(jìn)式