新教材高中數(shù)學第7章三角函數(shù)本章復習提升含解析蘇教版必修第一冊

PAGEPAGE10本章復習提升易混易錯練易錯點1忽視角的范圍致錯1.(2021黑龍江哈爾濱六中高一上月考,)設角α的始邊為x軸非負半軸,則“角α的終邊在第二、三象限”是“cosα<0”的 (易錯)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件2.()已知sinθ=1-a1+a,cosθ=3a-11+a,若θA.a∈19,1C.a=1或a=1易錯點2忽視三角函數(shù)的定義域致錯3.()函數(shù)f(x)=cosx+π3,x∈0,4.()求函數(shù)y=log1π2sinx易錯點3利用三角函數(shù)的基本關(guān)系時忽視隱含條件致錯5.()若sinθ=k+1k-3,cosθ=k-1k-3,且θ6.(2021四川成都樹德中學高一上段測,)已知-π<x<0,sinx+cosx=15.(1)求sinx-cosx的值;(2)求2sin2x+2sin易錯點4圖象變換中忽視自變量的系數(shù)和平移方向致錯7.()為了得到y(tǒng)=sin12x的圖象,只需要將y=sin12x-π6的圖象A.向左平移π6C.向左平移π38.()函數(shù)y=sin2x+π3的圖象可由函數(shù)y=cosx的圖象A.先把各點的橫坐標縮短到原來的12(縱坐標不變),再向左平移πB.先把各點的橫坐標縮短到原來的12(縱坐標不變),再向右平移πC.先把各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再向左平移π6D.先把各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再向右平移π12易錯點5忽視對參數(shù)的討論致錯9.(2020上海金山中學高一上期末,)已知角α的終邊上一點P的坐標是(3a,-4a),其中a≠0,化簡2sinα+cosα. 易錯10.(2020河北石家莊實驗中學高一月考,)化簡:sin(nπ+α)cos思想方法練一、數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應用1.(2021江蘇海安曲塘中學高一月考,)在(0,2π)內(nèi)使sinx>|cosx|成立的x的取值范圍是 ()A.πC.π2.()已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的圖象與直線y=a(0<a<A)的三個相鄰交點的橫坐標分別為2,4,8,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ()A.[6kπ,6kπ+3],k∈ZB.[6kπ-3,6kπ],k∈ZC.[6k,6k+3],k∈ZD.[6k-3,6k],k∈Z3.()已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在一個周期內(nèi)的大致圖象如圖所示,則函數(shù)的解析式為,方程f(x)-lgx=0的實數(shù)根的個數(shù)為.

二、分類討論思想在三角函數(shù)中的應用4.()已知角θ的頂點與原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊在直線y=3x上,則tanθ= ()A.3B.-3C.±3D.15.()證明:2sin(α+nπ)cos(α-三、函數(shù)與方程思想在三角函數(shù)中的應用6.()函數(shù)f(x)=3cosx-sin27.(2021吉林長春外國語學校高一下期初,)已知tanα是關(guān)于x的方程2x2-x-1=0的一個實根,且α是第三象限角.(1)求sinα-(2)求2sinα-cosα的值.四、轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)中的應用8.(2021江蘇溧陽中學高一月考,)比較下列各組數(shù)的大小.(1)tan1,tan2,tan3;(2)tan-13π答案全解全析本章復習提升易混易錯練1.A已知角α的始邊為x軸非負半軸,若角α的終邊在第二、三象限,則cosα<0,充分性成立;若cosα<0,則角α的終邊在第二、三象限或x軸負半軸上,必要性不成立.故“角α的終邊在第二、三象限”是“cosα<0”的充分不必要條件,故選A.易錯警示在三角函數(shù)中有句經(jīng)典的語句“符號看象限”,即由角的象限可以確定三角函數(shù)值的符號,但由三角函數(shù)值的符號確定角的范圍時要注意角的終邊在坐標軸上的情況,防止遺漏導致解題錯誤.2.D∵sin2θ+cos2θ=1,∴1-a1+解得a=1或a=19當a=1時,sinθ=0,θ不是第二象限角,舍去;當a=19時,sinθ>0,cosθ<0,符合題意∴a=19.故選D易錯警示本題利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求參數(shù)時,要注意檢驗θ是不是第二象限角,易忽略范圍出現(xiàn)錯誤.3.答案-解析因為0<x≤π3,所以π3<x+π3所以-12≤cosx+π3<12,所以函數(shù)f(4.解析由對數(shù)函數(shù)的概念得2sinx+π4>0,即2kπ<x+π4<π+2kπ,k∈解得-π4+2kπ<x<3π4+2kπ,k∈Z求函數(shù)y=log1π2sinx+π4的單調(diào)遞增區(qū)間,即求函數(shù)y=sinx+π4的單調(diào)遞減區(qū)間.令π2+2kπ≤x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z,得π4聯(lián)立①②,得x∈π4+2kπ,故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ+π4,2kπ+3π4,k∈Z.易錯警示本題中函數(shù)y=log1π2sinx+π4為復合函數(shù),在判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,還需滿足5.答案3解析由已知得sin2θ+cos2θ=k+1k-32+k-1解得k=1或k=-7.當k=1時,不符合題意,舍去;當k=-7時,sinθ=35,cosθ=45,符合題意.所以tanθ=6.解析(1)∵-π<x<0,sinx+cosx=15∴-π2<x∴sinx<0,cosx>0,∴sinx-cosx<0.由sinx+cosx=15,sin2x+cos2x=1,可得1+2sinxcosx=1即2sinxcosx=-2425∴(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925又sinx-cosx<0,∴sinx-cosx=-75(2)由(1)可得sinx=-35,cosx=4∴tanx=sinxcosx∴2si=2×925+2×易錯警示由條件sinx+cosx=15>0及-π<x<0可得-π2<x<0,進而可確定sinx-cosx<0,若不注意分析角的范圍,7.Cy=sin12x-∴將y=sin12x-π6的圖象向左平移π3個單位就能得到易錯警示三角函數(shù)圖象變換中的左右平移是對x而言的,如果x前面的系數(shù)不是1,那么應先提取系數(shù),再進行平移.注意不要忽略系數(shù).8.By=sin2x+π3=cos先將函數(shù)y=cosx的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的12(縱坐標不變),得到y(tǒng)=cos2x的圖象;再向右平移π12個單位,得到y(tǒng)=cos2x-π12=cos2x-π6的圖象9.解析由三角函數(shù)的概念可知,sinα=-4a(cosα=3a(3當a>0時,sinα=-45,cosα=3∴2sinα+cosα=-1;當a<0時,sinα=45,cosα=-3∴2sinα+cosα=1.易錯警示利用三角函數(shù)的概念進行化簡或證明時,往往要關(guān)注三角函數(shù)的符號,特別是遇到開方時.當題中涉及字母時,要注意進行分類討論,否則會出現(xiàn)錯解.10.解析①當n=2k(k∈Z)時,原式=sin=sinαcos②當n=2k+1(k∈Z)時,原式=sin=(-sinα所以化簡所得的結(jié)果為(-1)n+1sinα(n∈Z).思想方法練1.A由sinx>|cosx|≥0,得sinx>0,又x∈(0,2π),∴x∈(0,π).在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y=sinx和y=|cosx|在(0,π)上的圖象,數(shù)形結(jié)合求出x的取值范圍.在同一平面直角坐標系中作出y=sinx與y=|cosx|在x∈(0,π)上的圖象,如圖.由圖知使sinx>|cosx|成立的x的取值范圍為π4,3π2.D在同一平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)f(x)與y=a(0<a<A)的圖象,通過分析圖象求解.函數(shù)f(x),y=a(0<a<A)的大致圖象如圖所示.由圖象知,最小正周期T=8-2=6;當x=3時,f(x)取得最大值;當x=6時,f(x)取得最小值.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[6k+3,6k+6],k∈Z,即[6k-3,6k],k∈Z.故選D.3.答案f(x)=2sin2x解析顯然A=2.由圖象過點(0,1),得f(0)=1,即sinφ=12又因為|φ|<π2所以φ=π6因為點11π12,所以f11π12即2sin11π12ω由圖象可知,11π12,0是圖象在y軸右側(cè)部分與所以11π12ω+π6=2π,解得ω所以f(x)=2sin2x在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)f(x)=2sin2x+π6和函數(shù)y=lgx的圖象,在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)f(x)=2sin2x+π6和函數(shù)y=lgx易知f(x)的最大值為2.令lgx=2得x=100.令17π12+kπ<100,k∈Z,得k≤30,k∈而11π12+31π>100,所以在(0,100]內(nèi)有31個形如11π12+kπ,17π12+k而在每一個區(qū)間上,函數(shù)f(x)=2·sin2x+π6和函數(shù)y=lgx的圖象都有2個交點,故這兩個函數(shù)圖象在11π12,100內(nèi)有62個交點故方程f(x)-lgx=0共有63個實數(shù)根.思想方法數(shù)形結(jié)合是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法.本章中,數(shù)形結(jié)合思想貫穿始終,如角的概念的推廣,三角函數(shù)線的應用,利用圖象解三角不等式、研究函數(shù)的性質(zhì)等.4.A終邊在直線y=3x上,要分終邊在第一、三象限進行討論.當θ的終邊在第一象限時,取直線y=3x上的點(1,3),則r=10,故cosθ=110=1010,sinθ=則tanθ=sinθcos當θ的終邊在第三象限時,cosθ=-1010,sinθ=-31010,則tanθ=綜上,tanθ=3.故選A.5.證明因為n∈Z,且n取不同值時,正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值會發(fā)生變化,所以需要對n的值分奇數(shù)、偶數(shù)進行討論.當n為偶數(shù)時,令n=2k,k∈Z,左邊=2sin=2sinαcosαsinα+sinα=右邊=(-1)2kcosα=cosα,k∈Z,左邊=右邊,故原等式成立.當n為奇數(shù)時,令n=2k-1,k∈Z,左邊=2sin=2sin=2=2sinαcosα-2sinα右邊=(-1)2k-1cosα=-cosα,k∈Z,左邊=右邊,故原等式成立.綜上所述,2sin(α+nπ)cos(α-思想方法當所研究的問題中包含了多種情況,但不能用統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子進行解決時,可分類進行解決.在三角函數(shù)的問題中,受到角的范圍或參數(shù)的限制,往往需要進行分類討論.6.答案5解析f(x)=3cosx-sin2x=cos2x+3cosx-1=cosx+3設cosx=t,因為π6≤x≤π3,所以12≤cosx≤32,即12將函數(shù)看成關(guān)于cosx的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的知識解決問題.因為函數(shù)y=t+322-74在12,32上單調(diào)遞增,所以ymax=57.解析(1)解方程2x2-x-1=0,得x=-12或x=1.所以tanα=-12或tanα因為α是第三象限角,所以tanα=1.解方程2x2-x-1=0,得tanα的值,又α是第三象限角,所以tanα>0,將不滿足的舍去.所以sinα-cosα(2)因為tanα=1,α是第三象限角,所以sinαcosα=1,sin2α+cos2α=1,解得思想方法函數(shù)與方程思想,就是根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系或列方程(組),并借助函數(shù)知識或解方程(組)解決問題.本章中,求三角函數(shù)的值(最值)問題常用到函數(shù)與方程思想.8.解析(1)tan2=tan(2-π),tan3=tan(3-π).因為π2所以-π2<2-π<0因為π2<3<π,所以-π2顯然-π2<2-π<3-π<1<π利用轉(zhuǎn)化思想,將角化在同一單