信號(hào)與系統(tǒng)教案第四章

1信號(hào)與系統(tǒng)光電學(xué)院二零一一年第一學(xué)期第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析和時(shí)頻分析2引言正交函數(shù)集（正交基）復(fù)指數(shù)函數(shù)集正弦函數(shù)集連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析周期信號(hào)的表示非周期信號(hào)的表示傅里葉變換與應(yīng)用連續(xù)時(shí)間傅里葉變換第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析和時(shí)頻分析3連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的應(yīng)用卷積定理及應(yīng)用時(shí)域卷積定理、頻域卷積定理卷積定理的應(yīng)用：調(diào)制與解調(diào)信號(hào)的相關(guān)信號(hào)的相關(guān)相關(guān)定理能量譜密度與功率譜密度能量譜密度與功率譜密度第四章 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析和時(shí)頻分析4LTI系統(tǒng)分析法：第四章 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析和時(shí)頻分析§4.1引言（1）時(shí)域分析法（2）變換域分析5注：用復(fù)指數(shù)函數(shù)或復(fù)指數(shù)序列為基，是因?yàn)棰偎鼈兪荓TI系統(tǒng)的特征函數(shù)；②它們是正交函數(shù)集；

③信號(hào)頻譜同信號(hào)一樣都是現(xiàn)實(shí)可觀察的量。

●譜分析：

以此，分析信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)（諧波分量）。時(shí)域第四章§4.1引言頻域6●頻域分析：

在頻域中，用頻譜分析的觀點(diǎn)分析、研究系統(tǒng)。●時(shí)—頻分析：對(duì)時(shí)變信號(hào)，分析信號(hào)局部時(shí)刻所含的頻率分量。第四章§4.1引言7§4.2正交函數(shù)集1.正交函數(shù)

（1）正交函數(shù)定義:

●t∈(t1,t2)，滿足

則，稱為正交函數(shù)集.●若k=1,則稱(n=0,1,2…N)為歸一化正交函數(shù)集。第四章 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析和時(shí)頻分析8●若再也找不到其他函數(shù)滿足：（4-4）（2）正交函數(shù)的意義:

任意函數(shù)可精確地用N+1個(gè)正交函數(shù)的加權(quán)和表示。第四章§4.2正交函數(shù)集

則，稱正交函數(shù)集是完備的（其含義就是再也沒(méi)有跟無(wú)關(guān)的其他函數(shù)存在，即，可用構(gòu)造相應(yīng)空間的所有函數(shù)）。9任意函數(shù)x(t)，正交函數(shù)集，則有式中cn

是x(t)所含的第n個(gè)分量的系數(shù).第四章§4.2正交函數(shù)集10證明（4-6）式：附注：（4-5）式表示x(t)在以為基的空間可分解，即，x(t)中含有的分量，其大小為第四章§4.2正交函數(shù)集112.常用的正交函數(shù)集式中T

0=2π/ω0——基波周期。因?yàn)?/p>

①?gòu)?fù)指數(shù)函數(shù)集

t∈(t1,t2)，{ejnωot}，n=0,±1,±2,…是正交函數(shù)集。第四章§4.2正交函數(shù)集12②正弦函數(shù)或余弦函數(shù)集

t∈(t1,t2)，{sinnωot}或{cosnωot}

， n=0,±1,±2,…

是正交函數(shù)集。因?yàn)槭街蠺

0=2π/ω0——基波周期。第四章§4.2正交函數(shù)集13§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析1.用正交函數(shù)表示周期信號(hào)1).用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示周期信號(hào)

復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)：

周期信號(hào)x(t)=x(t+T)，

T

0=min{T}=2π/ω0——基波周期。(4-34)—傅里葉系數(shù)或頻譜(4-33)—復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)第四章 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析和時(shí)頻分析→連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)14

說(shuō)明：①上式k=±n的項(xiàng)稱n次諧波，k=0的項(xiàng)是直流分量，k=±1的項(xiàng)是基頻分量，其周期為

T

0=2π/ω0

。②諧波分量的頻率是基頻的整數(shù)倍(ωk=kω0)。③若x(t)是實(shí)信號(hào)，則有

顯然ck=c*-k或c*k=c-k

，通常ck是復(fù)數(shù)?！?.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析15例.已知一周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的表示式為式中c0=1，c1=c-1=1/4，c2=c-2=1/2，c3=c-3=1/3，ω0=2π。求(a)其三角函數(shù)表示式；(b)用圖解方法表示各諧波分量的波形及合成波形。解:(a)據(jù)題有(b)各諧波分量波形及合成波形如右圖162）.用三角函數(shù)表示周期信號(hào)

——周期信號(hào)的極坐標(biāo)形式和正余弦形式

令ck=Akejθk,|ck|=Ak——模；θk=argck——幅角。周期信號(hào)x(t),有：則，§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析17●周期信號(hào)的極坐標(biāo)形式：（4-40）利用cos(φ+θ)=cosφcosθ-sinφsinθ,有

可得到周期信號(hào)的正—余弦形式：§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析18●周期信號(hào)的正—余弦形式：注意：①若x(t)為實(shí)函數(shù)，則Bk和Dk都是實(shí)數(shù)，且

Bk=Re{ck}，Ｄk=Im{ck}，k>0.②若ck是實(shí)數(shù)，則Dk=0，x(t)展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)，若ck是純虛數(shù)，則Bk=0，x(t)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)，§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析19占空比

T１/T0=0.5時(shí)，c1=c-1=A/π,c3=c-3=-A/3π,c5=c-5=A/5π,且有-Dk=0，例1.求周期性矩形脈沖的傅里葉級(jí)數(shù)

解：信號(hào)形式為2B1=2A/π，

2B3=2A/3π，2B5=2A/5π，2B2=2B4…=0，記憶x(t)…

…

-T0-T1/20T1/2T0tA周期性矩形脈沖20傅里葉級(jí)數(shù)為

時(shí)域頻域

x(t)ck

振幅頻譜:｜c(diǎn)k｜—

k

圖;

相位頻譜:θk

—

k

圖。注意:當(dāng)ck為實(shí)數(shù)時(shí)或虛數(shù)時(shí)，只要畫(huà)頻譜圖：ck

—

k

圖占空比越小，其頻譜越豐富。

頻譜圖(ck—k)

Ｔ0=8T1Ｔ0=4T1k

Ｔ0=2T1C-2c5C-521同理有，2Bk=0，

-2Dk=-(-1)k/πk

因此，傅立葉級(jí)數(shù)為例2.已知x(t)是一周期性鋸齒波如下圖所示，試求傅里葉級(jí)數(shù)解：鋸齒波一周期內(nèi)形式為

x(t)=t/T

0，-T0/2<t<T0/2?？山獾胏0=0,-T0-T0/20T0/2T0t

?-?x(t)223).求傅里葉級(jí)數(shù)的一些技術(shù)問(wèn)題

A.波形對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)(１).偶對(duì)稱性●偶對(duì)稱——x(t)=x(-t)?！衽紝?duì)稱函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)與系數(shù)：結(jié)論：偶對(duì)稱函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)僅含余弦項(xiàng).上節(jié)的例1就是一個(gè)例子。

-T00T0tx(t)

-T00T0tx(t)偶對(duì)稱函數(shù)§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析23(2).奇對(duì)稱性●奇對(duì)稱——x(t)=-x(-t)。 ●奇對(duì)稱函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)與系：

結(jié)論：奇對(duì)稱函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)僅含正弦項(xiàng).上節(jié)的例2就是一個(gè)例子?！?.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析奇對(duì)稱函數(shù)x(t)

-T00T0t方波-T0-T0/20T0/2T0t

?-?x(t)鋸齒波24(3).非奇、非偶函數(shù)中的對(duì)稱①偶半波對(duì)稱

此時(shí)，x(t)是一個(gè)周期減半為

T0/2的周期非正弦波；基頻為2ω0。x(t)中只含偶次諧波，即，

c2k-1=0，

B2k-1=0，

D2k-1=0。偶半波對(duì)稱-T0-T0/20T0/2T0t

Ax(t)——在任一個(gè)周期內(nèi)第二個(gè)半波與第一個(gè)半波相同，即，

x(t)=x(t±T0/2)?！衽及氩▽?duì)稱函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)與系數(shù)：§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析25②奇半波對(duì)稱

——在任一個(gè)周期內(nèi)第二個(gè)半波為第一個(gè)半波波形的負(fù)值，即，

x(t)=-x(t±T0/2)。-T0-T0/20T0/2T0t

Ax(t)奇半波對(duì)稱●奇半波對(duì)稱函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)與系數(shù)：即、x(t)中只含奇次諧波。

§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析26（4）.雙重對(duì)稱

●雙重對(duì)稱性——x(t)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，同時(shí)又具有奇半波或偶半波對(duì)稱（又稱1/4波對(duì)稱）。 ●雙重對(duì)稱函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)與系數(shù)： 此時(shí)，x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)與系數(shù)由兩種對(duì)稱共同決定：偶半波、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)只有偶數(shù)余弦項(xiàng)奇半波、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)只有奇數(shù)余弦項(xiàng)┈┈§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析27例.下列圖各屬什么對(duì)稱，并求方波的傅里葉級(jí)數(shù)

-T0-T0/20T0/2T0tx(t)A-A(a)

-T0-T0/20T0/2T0tx(t)A(b)x(t)

-T00T0tA-A(c)A-A

-T0-T0/20T0/2T0t

x(t)(d)解:(a).x(t)=x(-t)，x(t)=-x(t±T0/2)，所以為奇半波偶對(duì)稱函數(shù)，且x(t)中只含奇次的余弦項(xiàng).(b).x(t)=x(-t)，x(t)=x(t±T0/2)，所以為偶半波偶對(duì)稱函數(shù)，且x(t)中只含偶次的余弦項(xiàng).(d).x(t)=-x(-t)，x(t)=x(t±T0/2)，所以為奇半波奇對(duì)稱函數(shù)，且x(t)中只含奇次的正弦項(xiàng).28

(c).x(t)=-x(-t)，x(t)=-x(t±T0/2)，所以為奇半波奇對(duì)稱函數(shù)，且x(t)中只含奇次的正弦項(xiàng)。所以只需計(jì)算-2Dk,且k為奇數(shù):29B.任意函數(shù)（信號(hào)）可分解為偶部和奇部,對(duì)應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)可分別求其偶部和奇部的傅里葉級(jí)數(shù)，再相加而得到：———可簡(jiǎn)化運(yùn)算§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析30例.求右圖(a)的傅里葉級(jí)數(shù)

解：作x(-t)圖（如圖(b)），可得(d)(c)(b)(a)2-2-T0-T0/20T0/2T0t

x(t)

-T0-T0/20T0/2T0tEv{x(t)}x(-t)-T0-T0/20T0/2T0t

2-2Od{x(t)}

-T00T0/2T0t1-1圖（a）圖（b）§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析31

對(duì)稱性

對(duì)稱條件傅里葉系數(shù)偶對(duì)稱x(t)=x(-t)奇對(duì)稱x(t)=-x(-t)偶半波對(duì)稱x(t)=x(t±T0/2)奇半波對(duì)稱x(t)=-x(t±T0/2)c0,實(shí)數(shù)0c0,實(shí)數(shù)0Bk，實(shí)數(shù)jDk,虛數(shù)Bk+jDk,復(fù)數(shù)Bk+jDk,復(fù)數(shù)2Bk奇次余弦偶次余弦2Re{ck}002Re{ck}2Re{ck}0-2Dk奇次余弦偶次余弦0-2Im{ck}0-2Im{ck}-Im{ck}0函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系表§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析324）.周期信號(hào)的頻譜與功率譜A、周期信號(hào)的頻譜——譜分析

考察周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù):

頻譜圖:●振幅頻譜●相位頻譜相位頻譜（1）對(duì)于三角級(jí)數(shù)振幅頻譜c02A12A42A8kω00ω

02ω

03ω

0θkkω0-2ω

0-ω

00ω

02ω

03ω

0§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析33（2）對(duì)于復(fù)指數(shù)級(jí)數(shù)●振幅頻譜——

圖●相位頻譜——

圖是雙邊譜當(dāng)ck為實(shí)數(shù)時(shí)，可用ck—kω0圖。當(dāng)ck為虛數(shù)時(shí)，也可只畫(huà)ck—kω0圖。振幅頻譜kω0|c0||c1||c-1|-2ω0-ω

00ω02ω03ω

0θkkω0相位頻譜-2ω

0-ω

00ω

02ω

03ω

0§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析34例：周期性矩形脈沖

●抽樣函數(shù)：sinc(x)=sinx/x=Sa(x),c0c1c-1c2c-2ckkω

0c-k頻譜圖（雙邊譜）注意：①單邊頻譜Ak—kω0

中,每一條譜線代表一個(gè)諧波分量。而雙邊譜ck—kω0圖中,兩條正負(fù)譜線共同代表一個(gè)諧波分量。抽樣函數(shù)③ck譜只是x(t)的頻域表示法，也就是x(t)的譜分析,(ck等效于x(t)，

x(t)是信號(hào)的時(shí)域表示）。④A和T1不變時(shí)，T0越大,譜線越密,但包絡(luò)不變=>非周期信號(hào)具有連續(xù)譜，周期信號(hào)具有離散譜，諧波性和收斂性。②負(fù)頻譜無(wú)任何物理意義，只是數(shù)學(xué)運(yùn)算引入的。35B、周期信號(hào)的功率譜(各諧波的能量分布，有效帶寬）（1）信號(hào)能量在各諧波中的分布考察平均功率帕色伐爾定理：（4-91）§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析36周期矩形脈沖信號(hào)的功率譜●功率譜（|ck|2—k圖）的物理意義：反映周期信號(hào)的功率在各諧波中的分布。c0c1c-1c2c-2ck

c-kkω0功率頻譜●帕色伐爾定理揭示了信號(hào)變換時(shí)能量是守恒的，即，可在時(shí)域或頻域求信號(hào)功率?！?.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析頻譜37

例.從周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜與功率譜（2）信號(hào)的有效帶寬有效帶寬（Bw）的概念：占信號(hào)能量90%以上的頻譜寬度?！裰芷诰匦蚊}沖信號(hào)的有效帶寬可見(jiàn)能量主要集中在低頻部分（主峰內(nèi)）。由§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析x(t)…

…

-T0-T1/20T1/2T0tA38有效帶寬為例.周期矩形脈沖信號(hào)，A=1v，T0=0.25s，T1

=0.05s，求①信號(hào)的平均功率，②有效帶寬,③有效帶寬內(nèi)的譜線條數(shù)，④有效帶寬內(nèi)的功率，⑤有效帶寬內(nèi)的功率占總功率的比率。有效帶寬內(nèi)諧波數(shù)：ω0是基頻，也是頻率間隔§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析39解：①x(t)…

…

-T0-T1/20T1/2T0tA②③N=B

w/ω0–1=T0/T1-1=0.25/0.05-1=4。④c0=AT1/T0=0.05/0.25=0。

§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析40⑤P`/P=0.1809/0.2=90.4%.§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析415）.傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性吉伯斯現(xiàn)象

周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)是否一定收斂？荻里赫利（Dirichlet)條件:(1)函數(shù)在周期內(nèi)絕對(duì)可積（含意：ck有限）(2)x(t)的任何周期內(nèi)極大、極小值的數(shù)目是有限的（不是無(wú)限震蕩）。(3)x(t)在一個(gè)周期內(nèi)不連續(xù)點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，其值也有限?！窀道锶~級(jí)數(shù)的收斂性

連續(xù)點(diǎn)處不連續(xù)點(diǎn)處§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析42注意：如果周期函數(shù)本身或前n次導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的，而(n+1)階導(dǎo)數(shù)開(kāi)始出現(xiàn)間斷點(diǎn)，則有ck∝1/kn+2例1：周期脈沖（函數(shù)有不連續(xù)點(diǎn)）x(t)…

…

-T0-T1/20T1/2T0tA例2：三角波（一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)）

-T00T0tx(t)§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析43●吉伯斯現(xiàn)象周期信號(hào)x(t)例3：方波（函數(shù)有不連續(xù)點(diǎn)）Od{x(t)}

-T00T0/2T0t1-1

有限項(xiàng)和此時(shí)，信號(hào)的高頻部分被去掉了，信號(hào)就會(huì)出現(xiàn)失真現(xiàn)象?！?.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析44例如方波，當(dāng)取有限項(xiàng)時(shí)有限項(xiàng)xN(t)表示x(t)時(shí)，在不連續(xù)點(diǎn)兩側(cè)出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，隨著項(xiàng)數(shù)的增多，振蕩頻率增高，且靠近不連續(xù)點(diǎn)處出現(xiàn)過(guò)沖，其峰值并不減小，大約高出不連續(xù)點(diǎn)處高度的9%——吉伯斯現(xiàn)象。N=1N=3N=7N=13N=19§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析45非周期信號(hào)x(t)→

周期信號(hào)如何展開(kāi)非周期信號(hào)？2、非周期信號(hào)的表示連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

1）.非周期信號(hào)的表示

周期性開(kāi)拓

=>顯然：x(t)-T10T2t

…

)(~

tT0>T1+T2…x2T

1

T

2Tt§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析46而

當(dāng)則§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析47

●頻譜密度（函數(shù)）

——(4-107）

從而有§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析48說(shuō)明：①X(ω)是單位頻率上的復(fù)振幅（X(ω)=2πCk/ω0）;又稱頻譜密度函數(shù)（相當(dāng)對(duì)應(yīng)的周期函數(shù)的Ck）。②X(ω)一般為復(fù)數(shù)，X(ω)=|X(ω)|ejargX(ω)。

③X(ω)表示非周期信號(hào)中各頻率分量的相對(duì)大小，

argX(ω)是相應(yīng)于各頻率分量的相位。④非周期函數(shù)（信號(hào)）x(t）的頻譜密度是連續(xù)譜?！穹侵芷谛盘?hào)的傅里葉表示(4-110)§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析49

例…

…-T0-T1/20T1/2T0tAAx(t)-T1/20T1/2tc0c1c-1c2c-2ckkω

0c-k⑤x(t)的譜X(ω)與的譜Ck的包絡(luò)一樣，只是幅度不同而已。⑥非周期函數(shù)（信號(hào)）x(t）表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)的連續(xù)和，周期函數(shù)則表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)的離散和周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜X(ω)Ck§4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析50§4.7連續(xù)時(shí)間傅里葉變換1.傅里葉變換（非周期信號(hào)）

1)傅里葉變換對(duì)

或表示為傅里葉變換是一種頻域變換的工具。比較周期信號(hào)的表示第四章 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析和時(shí)頻分析F[x(t)]=X(ω)或x(t)X(ω)F-1[X(ω)]=x(t)時(shí)域頻域512)傅里葉變換的收斂性荻里赫利條件：①x(t)絕對(duì)可積；②在任何區(qū)間內(nèi)，x(t)只有有限個(gè)極大值和極小值；③在任何區(qū)間內(nèi)，x(t)的不連續(xù)點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，而且在不連續(xù)點(diǎn)處x(t)的值有限。連續(xù)點(diǎn)處：不連續(xù)點(diǎn)處：§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換52注意：①所有的能量信號(hào)都存在傅里葉變換，②許多功率信號(hào)或周期信號(hào)雖不滿足條件①（絕對(duì)可積條件），但變換中可以使用沖激函數(shù)δ(ω)時(shí)，則也可以認(rèn)為該周期信號(hào)具有傅里葉變換。0tx(t)|X(ω)|-α0α

ω3）一些常用信號(hào)的傅里葉變換

●單邊指數(shù)信號(hào)argX(ω)-α0

α

ω§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換53●雙邊指數(shù)信號(hào)1x(t)0t2/α

X(ω)1/α-α0α

ω

§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換54●門(mén)函數(shù)1-T1/20T1/2tAT1X(ω)=ckT00ω

對(duì)比Ｔ０=8T1頻譜圖(ck—k)

x(t)…

…

-T0-T1/20T1/2T0tAＴ０=4T1Ｔ０→∞§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換55●單位沖激函數(shù)若

δ(t)0t

δ(ω)0ω

1x(t)0t即含義：①時(shí)域中的直流分量在頻域只有零頻分量②對(duì)于F[δ(t)]=1或δ(t)→1，單位沖激函數(shù)的頻譜包含振幅相等的所有頻率分量?！?.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

1X(ω)0ω56●復(fù)基函數(shù)由推得：由即§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換57例正、余弦函數(shù)的頻譜：1)2)§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換584）.傅里葉系數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系（ck與X(ω)

的關(guān)系）有：

ck=X(kω0)/T0.(4-137)證明：周期信號(hào)，非周期信號(hào)?！?.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換59例.求圖周期方脈沖的傅里葉級(jí)數(shù)可得:解：由矩形方脈沖的傅里葉變換§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換…

…-T0-T1/20T1/2T0tA60

周期信號(hào)是否也存在傅里葉變換？2.周期信號(hào)的傅里葉變換

1）周期信號(hào)x(t)●周期信號(hào)的傅里葉變換為有從而（4-14）§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換61結(jié)論：系數(shù)為{ck}的周期信號(hào)的傅里葉變換可以看成是出現(xiàn)在等間隔頻率ω0，而頻率為kω0上的一串沖激函數(shù)。其中頻ωk=kω0處的δ(ω)的強(qiáng)度為第k項(xiàng)傅立葉系數(shù)ck的2π倍:2)周期沖激串的傅氏變換周期沖激串：先求ck

§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換62

●周期沖激串的傅氏變換為注意：任意信號(hào)時(shí)域和頻域的間隔的乘積為2π,實(shí)際上就是ω０=2π/Ｔ０。X(ω)……-6π/T0-4π/T0-2π/T002π/T04π/T06π/T0

ω-3ω０-2ω０-ω０0ω０2ω０

3ω０ωx(t)……-3T0-2T0-T00T02T03T0t§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換633、連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)(1).線性若有a,b為任意常數(shù)。（2）.共軛對(duì)稱性

<1>.若x(t)是一實(shí)時(shí)間函數(shù)則又由

類似地：§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換64結(jié)論：①實(shí)時(shí)間函數(shù)有實(shí)函數(shù)x(t)有:|X(-ω)|=|X(ω)|，θ(-ω)=-θ(ω).②由<2>.若x(t)是奇函數(shù)x(-t)=-x(t),由x(t)=xe(t)+xo(t)

→F{xe(t)

}=Ev{X(ω)},F{xo(t)}=

Od{X(ω)}結(jié)論：此時(shí)X(ω)是虛奇函數(shù)?！?.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換65推論:補(bǔ)充性質(zhì)：說(shuō)明：①時(shí)域延時(shí)，不改變其頻譜函數(shù)的幅頻特性，而只改變相位特性。②要使信號(hào)波形并不因延時(shí)而變化，要求其頻率成份在時(shí)域延時(shí)同樣時(shí)間，即在在頻域相移與頻率成正比:φ(ω)=ωt0

。(3).時(shí)移性§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

x(t)X(ω),F{x(t±t0)}=e±jωto

X(ω)=e±jφ(ω)

X(ω)..66x(t)X(ω),x(at)(1/|a|)X(ω/a)x(at-τ0)(1/|a|)X(ω/a)e-jωto/a(4).尺度變換性質(zhì)(5).反轉(zhuǎn)性質(zhì)(6).頻移性質(zhì)（調(diào)制時(shí)用到）§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換67x(t)X(ω)則X(t)2πx(-ω)(7).對(duì)偶(8).時(shí)域微分性質(zhì)（注意：x(t)中無(wú)直流分量時(shí)，兩個(gè)方向都成立,這一性質(zhì)才可用，否則會(huì)出錯(cuò)）推廣：§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換68（9）.頻域微分性質(zhì)由：§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換69例§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換70（10）.時(shí)域積分性質(zhì)推導(dǎo)：§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換71（11）.頻域積分性質(zhì)上式表明，頻域中的積分等于在時(shí)域中除以-jt.傅里葉變換、性質(zhì)表見(jiàn)P145~.§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換727374754.傅里葉變換的應(yīng)用（1）.頻移性質(zhì)的主要應(yīng)用：調(diào)制：把較低頻率的信號(hào)移到高頻的過(guò)程。●振幅調(diào)制

——使高頻載波的振幅按信號(hào)規(guī)律變化。方法：p(t)信號(hào)x(t)高頻載波cosω0tP(ω)π

π-ω00ω0ω頻譜頻譜

X(ω)0ω

x(t)0t§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換x(t)x(t)cosω0t調(diào)制76

F{xp(t)}=F{x(t)(ejωot+e-jωot)/2}=F{x(t)ejωot/2}+F{x(t)e-jωot/2}=X(ω-ω0)/2+X(ω+ω0)/2=Xp(ω).

X`p(ω)-ω

00ω0

ω?zé)o線電中的調(diào)幅波.頻分復(fù)用——通信中往往需要把不同用戶的低頻信號(hào)調(diào)制到不同的頻段，而互不干擾。0t

x(t)調(diào)幅信號(hào)：xp(t)=x(t)cosω0t§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換77F{X(t)}=2πx(-ω)=2π

GT1(ω)/T1=π

G2ωc(ω)/ωc令由對(duì)偶性質(zhì)得：π/ωc

F{X(t)}-ωc0ωct

(2)對(duì)偶定理的應(yīng)用1）求抽樣函數(shù)的頻譜函數(shù)。解:門(mén)函數(shù)1GT1(t)-T1/20T1/2t§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換78(3).函數(shù)下的面積●時(shí)域中面積：

●頻域中面積：

x(t)0t

X(ω)0ω§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換79

例1.求sinc(ωct)下的面積解：例2.求§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換解：803）.等效脈沖寬度、等效頻帶寬度●等效脈沖寬度τ： 定義：x(0)x(t)0t

τ●等效頻帶寬度Bw：定義：0ω

X(0)X(ω)Bw§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換81

則F{δ`(t)}=jω， 且F{δ(n)(t)}=(jω)n，sgn(t)10t-1例2.求符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換例1.求δ`(t)的傅里葉變換.

解：已知F{δ(t)}=1，解：先考慮從而（4）.微分性質(zhì)的應(yīng)用§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換82例1.求u(t)的傅里葉變換.

解： 為什么不能如下這樣做？§4.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換83原因是u(t)中含有直流分量。因?yàn)槎?.4連續(xù)時(shí)間傅里葉變換84§4．10卷積定理及其應(yīng)用

1.時(shí)域卷積定理證明：注意：該定理是頻域分析法分析LTI系統(tǒng)和濾波器的基礎(chǔ)——很重要。第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析和時(shí)頻分析85例1.求三角脈沖的頻譜函數(shù)x(t)解：已知三角脈沖是兩個(gè)門(mén)函數(shù)的卷積

GT1(t)1-T1/20T1/2t

GT1(t)1-T1/20T1/2t*

x(t)T1-T10T1t有卷積定理的應(yīng)用一：§4．5卷積定理及其應(yīng)用86例2.求三角波的傅里葉級(jí)數(shù)解：三角波可分解成：據(jù)上例：T1/20t

-T10T1tT1

=—

-T00T0tx(t)T1/2§4．5卷積定理及其應(yīng)用87卷積定理的應(yīng)用二：用變換域的方法研究LTI系統(tǒng)x(t)

y(t)

系統(tǒng)

h(t)§4．5卷積定理及其應(yīng)用88頻域卷積定理應(yīng)用：調(diào)制與解調(diào)●振幅調(diào)制：信號(hào):x(t)載波:p(t)=cosω0t振幅調(diào)制：x(t)tp(t)tg(t)t

X(ω)-ω10ω1

ωP(ω)π

π-ω00ω0ωG(ω)-ω

00ω0

ω2.頻域卷積定理（調(diào)制定理）注意：該定理是頻域分析法研究調(diào)制、解調(diào)和抽樣系統(tǒng)的基礎(chǔ)§4．5卷積定理及其應(yīng)用89F{g(t)}=F{x(t)cosω0t}=F{x(t)}*F{cosω0t}/2π=X(ω)*

(π[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)])/2π=X(ω-ω0)/2+X(ω+ω0)/2=G(ω)G(ω)-ω

00ω0

ω§4．5卷積定理及其應(yīng)用90●解調(diào)②濾波（提取所需要的頻譜）濾波器：

R(ω)-2ω0-ω00ω02ω0

ω

2H(ω)-ωc0ωc

ω

X(ω)-ω10ω1

ω①將調(diào)制信號(hào)再乘高頻載波：§4．5卷積定理及其應(yīng)用91調(diào)制、解調(diào)示意圖：調(diào)制：g(t)p(t)r(t)濾波H(ω)

y(t)=x(t)x(t)p(t)g(t)x(t)§4．5卷積定理及其應(yīng)用解調(diào)：92§4．6信號(hào)的相關(guān)意義：相關(guān)函數(shù)反映兩信號(hào)的相似程度（或關(guān)聯(lián)程度）。應(yīng)用：目標(biāo)識(shí)別（通信，信號(hào)處理和生物醫(yī)學(xué)等方面）。1）.相關(guān)的定義（或?qū)懗蓌1(t)★x2(t))第四章 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的譜分析和時(shí)頻分析93

例：已知求它們的相關(guān)函數(shù)。

2x1(τ)01τ?x2(τ)01τ?x1(τ-t)t0τt<0其他為零解：圖解法x1(τ)t01+tτ

-1≤t≤0x2(τ-t)x1(τ)x2(τ-t)0≤t≤10t11+tτ§4．6信號(hào)的相關(guān)942).自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)含義：Rx隨時(shí)間t變化快慢程度反映x(t)隨時(shí)間變化快慢程度。（1）自相關(guān)函數(shù)（能量有限的信號(hào)）

(4-203)§4．6信號(hào)的相關(guān)95(2)互相關(guān)函數(shù)（能量有限的信號(hào)）