初中數(shù)學(xué)九大幾何模型解題思路

時間：二O二一年七月二十九日九大幾何模型之邯鄲勺丸創(chuàng)作一、時間：二O二一年七月二十九日二、手拉手模型----旋轉(zhuǎn)型全等D1）等邊三角形OOC【條件】：△OAB和△OCD均為等邊三角形；DEE【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE均分∠AEDDCABA圖2BD（2）等腰直角三角形圖1OCO【條件】：△OAB和△OCD均為等腰E直角三角形；EC【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE均分∠AEDDBA圖1BA圖23）頂角相等的兩隨意等腰三角形OOCD【條件】：△OAB和△OCD均為等腰三角形；EE且∠COD=∠AOBC【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；A圖1BA圖2B②∠AEB=∠AOB；③OE均分∠AED二、模型二：手拉手模型----OO旋轉(zhuǎn)型相像時間：二O二一年C七月二十九D日

DECABAB時間：二O二一年七月二十九日1）一般狀況【條件】：CD∥AB,將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的地點【結(jié)論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；

DOO②延伸AC交BD于點E,必有∠BEC=∠BOACECD（2）特別狀況ABAB【條件】：CD∥AB,∠AOB=90°將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的地點【結(jié)論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延伸AC交BD于點E,必有∠BEC=∠BOA；③BDODOBtan∠OCD；④BD⊥AC；ACOCOA⑤連結(jié)AD、BC,必有AD2BC222；⑥S△BCD1ACBDABCDA2C三、模型三、對角互補(bǔ)模型D（1）全等型-90°OEB圖1【條件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC均分∠AOB【結(jié)論】：①CD=CE；②OD+OE=2OC；③SSS12OC△DCE△OCD△OCE2A證明提示：MCD時間：二O二一年七月二十九日ONEB圖2時間：二O二一年七月二十九日①作垂直,如圖2,證明△CDM≌△CEN②過點C作CF⊥OC,如圖3,證明△ODC≌△FEC※當(dāng)∠DCE的一邊交AO的延伸線于D時（如圖4）：以上三個結(jié)論：①CD=CE；②OE-OD=2OC；ACM③SS1OC2△OCE△OCD2AC2）全等型-120°

ONBDED圖4OEFB【條件】：①∠AOB=2∠DCE=120°圖；3②OC均分∠AOB【結(jié)論】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③SSS3OC2△DCE△OCD△OCE4證明提示：①可參照“全等型-90°”證法一；②如右下列圖：在OB上取一點F,使OF=OC,證明△OCF為等邊三角形.全等型-隨意角ɑ3）【條件】：①∠AOB=2ɑ,∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；【結(jié)論】：①OC均分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；③S△DCES△OCDS△OCEOC2sinαcosα※當(dāng)∠DCE的一邊交AO的延伸線于D時（如右下列圖）：原結(jié)論釀成：①；時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日②；③.可參照上述第②種方法進(jìn)行證明.請思慮初始條件的更改對模型的A影響.CD對角互補(bǔ)模型總結(jié)：OEB①稀有初始條件：四邊形對角互補(bǔ),注意兩點：四點共圓有直角三A角形斜邊中線；C②初始條件“角均分線”與“兩邊相等”的差別；D③注意OC均分∠AOB時,OEB∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB怎樣指引？模型四：角含半角模型90°四、角含半角模型90°---11）【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結(jié)論】：①EF=DF+BE；②△CEF的周長為正方形ABCD周長的一半；也能夠這樣：【條件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；ADAD【結(jié)論】：①∠EAF=45°；FF時間：二O二一年七月二十九日BECGBEC時間：二O二一年七月二十九日角含半角模型90°---22）【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結(jié)論】：①EF=DF-BE；角含半角模型90°---33）【條件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；【結(jié)論】：BD2CE2DE2（如圖1）若∠DAE旋轉(zhuǎn)到△ABC外面時,結(jié)論BD2CE2DE2仍舊成立（如圖2）AAF（4）角含半角模型90°變形ADADHHBDECBDEFCF【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；GG【結(jié)論】：△AHE為等腰直角三角形；BECBEC證明：連結(jié)AC（方法不獨(dú)一）∵∠DAC=∠EAF=45°,∴∠DAH=∠CAE,又∵∠ACB=∠ADB=45°；∴△DAH∽△CAE,∴DAACAHAE∴△AHE∽△ADC,∴△AHE為等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型ADAD時間：二O二一年七月二F十九日FBCEHBEH時間：二O二一年七月二十九日1）倍長中線類模型---1【條件】：①矩形ABCD；②BD=BE；③DF=EF；【結(jié)論】：AF⊥CF模型提取：①有平行線AD∥BE；②平行線間線段有中點DF=EF；能夠機(jī)關(guān)“8”字全等△ADF≌△HEF.2）倍長中線類模型---2【條件】：①平行四邊形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【結(jié)論】：∠EMD=3∠MEA幫助線：有平行AB∥CD,有中點AM=DM,延伸EM,機(jī)關(guān)△AME≌△DMF,連結(jié)CM機(jī)關(guān)等腰△EMC,等腰△MCF.（經(jīng)過機(jī)關(guān)8字全等線段數(shù)目及地點關(guān)系F,AMAMD角的大小轉(zhuǎn)變）DEE模型六：相像三角形360°旋轉(zhuǎn)模型BCBC1）相像三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型---倍長中線法【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；【結(jié)論】：①DF=BF；②DF⊥BF時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日幫助線：延伸DF到點G,使FG=DF,連結(jié)CG、BG、BD,證明△BDG為CC等腰直角三角形；打破點：△ABD≌△CBG；FGFDD難點：證明∠BAO=∠BCGBAAB（2）相像三角形（等腰直角）EC360°旋轉(zhuǎn)模型---補(bǔ)全法CG【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；F【結(jié)論】：①DF=BF；②DF⊥BF

DFDAB幫助線：機(jī)關(guān)等腰直角△AEG、△AHC；ABE幫助線思路：將DF與BF轉(zhuǎn)變到CG與EEF.（3）隨意相像直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型---補(bǔ)全法H【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【結(jié)論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO幫助線：延伸BA到G,使AG=AB,延伸CD到點H使DH=CD,補(bǔ)全△OGB、H△OCH機(jī)關(guān)旋轉(zhuǎn)模型.轉(zhuǎn)變AE與DE到CG與BH,難點在轉(zhuǎn)變∠AED.OGO（4）隨意相像直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型---倍長法DADA【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；BEBCE【結(jié)論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABOC時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日幫助線：延伸DE至M,使ME=DE,將結(jié)論的兩個條件轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明△AMD∽△ABO,此犯難點,將△AMD∽△ABC持續(xù)轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明△ABM∽△AOD,使用兩邊成比率且OO夾角相等,此處難點在證明∠ABM=∠AODDAAD模型七：最短行程模型BE（1）最短行程模B型一（將軍飲馬類）ACECM,B總結(jié)：右四圖為稀有的軸對稱類最短行程問題PA+PB最后都轉(zhuǎn)變到：“兩點之間,線段最短：解決；lPB'特色：①動點在直線上；②起點,終點固定2）最短行程模型二（點到直線類1）【條件】：①OC均分∠AOB；②M為OB上必定點；③P為OC上一動點；④Q為OB上一動點；【問題】：求MP+PQ最小時,P、Q的地點？幫助線：將作Q對于OC對稱點Q’,轉(zhuǎn)變PQ’=PQ,過點M作MH⊥OA,A則MP+PQ=MP+PQ’MH(垂線段最短）AHQ'P3）最短行程模型二（點到直線類2）POQMB【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日【問題】：n為什么值時,PB5PA最?。?求解方法：①x軸上取C(2,0),使sin∠OAC=5；②過B作BD⊥AC,5交y軸于點E,即為所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=1,即E（0,1）2yy（4）最短行程模型三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）AAPPD【條件】：①線段OA=4,OB=2；②OB繞點O在平面內(nèi)360°旋轉(zhuǎn)；EBOxBOCx【問題】：AB的最大值,最小值鑒別為多少？【結(jié)論】：以點O為圓心,OB為半徑作圓,以下圖B,將問題轉(zhuǎn)變?yōu)椤叭切蝺蛇呏痛笥诘谌?兩邊之差小于第三邊”.A最小值地點最大值地點O最大值：OA+OB；最小值：OA-OB【條件】：①線段OA=4,OB=2；②以點O為圓心,OB,OC為半徑作圓；③點P是兩圓所構(gòu)成圓環(huán)內(nèi)部（含鴻溝）一點；【結(jié)論】：若PA的最大值為10,則OC=6；若PA的最小值為1,則OC=3；CB若PA的最小值為2,則PC的取值規(guī)模是0<PC<2AO【條件】：①Rt△OBC,∠OBC=30°；P②OC=2；③OA=1；④點P為BC上動點（可與端點重合）；時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日⑤△OBC繞點O旋轉(zhuǎn)【結(jié)論】：PA最大值為OA+OB=123；PA的最小值為1OBOA312以下列圖,圓的最小半徑為O到BC垂線段長.C模型八：二倍角模型CPP【條件】：在△ABC中,∠B=2∠C；

AO

BAOB幫助線：以BC的垂直均分線為對稱軸,作點A的對稱點A’,連結(jié)AA’、BA’、CA’、則BA=AA’=CA’(注意這個結(jié)論）此種幫助線作法是二倍角三角形稀有的幫助線作法之一,不是獨(dú)一AAA'作法.模型九：相像三角形模型BCBC1）相像三角形模型--基本型平行類：DE∥BC；A字型8字型A字型結(jié)論：ADAEDE(注意對應(yīng)邊要對應(yīng)）ABACBC2）相像三角形模型---斜交型時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日【條件】：如右圖,∠AED=∠ACB=90°；【結(jié)論】：AE×AB=AC×AD【條件】：如右圖,∠ACE=∠ABC；【結(jié)論】：AC2=AE×AB第四個圖還存在射影定理：AE×EC=BC×AC；BC2=BE×BA；CE2=AE×BE；（3）相像三角形模型---一線三等角型E【條件】：（）圖：∠∠∠A°；1ABC=ACE=CDE=90（2）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°B；CD圖（1）3）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；【結(jié)論】：①△ABC∽△CDE；②A