(數(shù)學(xué))2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇復(fù)賽試題+Word版含答案

(數(shù)學(xué))2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇復(fù)賽試題+Word版含答案LtDPAGEPAGE42017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復(fù)賽一、填空題（每題8分，滿分64分，將答案填在答題紙上）1.若數(shù)列滿足，則的值為．2.若函數(shù)對于任意都滿足，則的最小值是．3.在正三棱柱中，分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，，則截面與底面所成的二面角的大小是．4.若，則．5.設(shè)是實(shí)數(shù)，則的最大值是．6.設(shè),則中能被整除但不能被整除的數(shù)的個(gè)數(shù)是．7.在直角平面坐標(biāo)系中，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切元素.試卷答案1.2.3.4.5.6.2527.8.3432二、解答題9.解：因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，所以的最小值為10.解：（1）因?yàn)?，所以直線與軸平行時(shí)，或與重合，不合題意.設(shè)，則將代入，得所以同理所以，直線,即，化簡得直線縱截距是常數(shù)，故直線過定點(diǎn)（2）由（1），，同理，所以不妨設(shè)，令，則，可化得，即設(shè)，則切點(diǎn)弦的方程是，又在上，所以，從而所以到的距離因此的面積令，則，化得當(dāng)時(shí)，遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的面積的取值范圍是11.解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（ⅰ）當(dāng)時(shí)，令，則恒成立，所以在區(qū)間為增函數(shù)，又因?yàn)?，所以，即（ⅱ）假設(shè)時(shí)，命題成立，即當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，令，則，所以在區(qū)間為增函數(shù)，又因?yàn)?，所以恒成立，即，所以時(shí)，命題成立.由（?。áⅲ┘皻w納假設(shè)可知，，當(dāng)時(shí)，（2）由（1）可知，即，所以，即，下證：下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)（?。┊?dāng)時(shí)，令，則，所以在區(qū)間單調(diào)增，又，故，即（ⅱ）假設(shè)時(shí)，命題成立，即當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，令，，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，又，故，即.由（?。áⅲ┘皻w納假設(shè)，可知當(dāng)時(shí)，對成立，所以，從而即，證畢.復(fù)賽加試答案1.證明：連接因?yàn)槲暹呅蝺?nèi)接于圓，所以,所以,所以①同理，,②③由①②③得因?yàn)?所以所以，即點(diǎn)是弧的中點(diǎn)， 所以2.解：因?yàn)槭遣幌噜彽恼麛?shù)，所以由于是整數(shù)，所以設(shè)，即，則，則，于是，從而，故又因?yàn)棰倭睿?，代入①得，于是，，因此，，并且，即，解之得，從而，且，故所?.證明：首先證明一定存在紅色三角形（三邊均為紅色的三角形為紅色三角形，下同）.設(shè)從頂點(diǎn)出發(fā)的紅色線段最多，由引出的紅色線段為，則若中存在兩點(diǎn)，不妨設(shè)為使線段為紅色線段，則為紅色三角形，若相互之間沒有紅色線段相連，則從出發(fā)的紅色線段最多有條，所以這個(gè)點(diǎn)紅色線段最多有與題設(shè)矛盾，所以存在以為頂點(diǎn)的紅色三角形，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，（1）當(dāng)時(shí)，平面上有四個(gè)點(diǎn)中兩兩連線共有條，其中有條為紅色，只有一條非紅色，設(shè)為則與均為紅色三角形，命題成立，（2）假設(shè)時(shí)，命題成立，即至少存在個(gè)紅色三角形，當(dāng)時(shí)，有個(gè)點(diǎn)，且有條紅色線段，一定存在一個(gè)紅色三角形，設(shè)為考察從引出的紅色線段分別記為條，不妨設(shè)若，則除去點(diǎn)余下的個(gè)點(diǎn)之間至少有,由歸納假設(shè)可知存在至少個(gè)紅色三角形，再加上至少有個(gè)紅色三角形，若，則,故從出發(fā)向其它個(gè)點(diǎn)引出紅色線段至少有條，因?yàn)檫@線段至少有對線段有公共點(diǎn)（不包括）故至少存在個(gè)紅色三角形，再加上，則至少有個(gè)紅色三角形，所以時(shí)命題也成立，由（1）（2）可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)之間的條紅色線段至少可組成個(gè)紅色三角形.4.證明：引理：設(shè)為素?cái)?shù)，為非負(fù)整數(shù)，令，其中為互素的正整數(shù)，那么