3.2.1 單調(diào)性與最大（小）值-最值（第2課時）（課件） 高一數(shù)學同步備課系列（人教A版2019必修第一冊）

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)人教A版2019必修第一冊3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲怠钪担ǖ?課時）01圖像法求函數(shù)最值02利用函數(shù)的單調(diào)性求最值目錄03函數(shù)單調(diào)性的實際應用04二次函數(shù)最值學習目標1.理解函數(shù)的最大值和最小值的概念及其幾何意義.（數(shù)學抽象）2.能借助函數(shù)的圖象和單調(diào)性，求一些簡單函數(shù)的最值.（數(shù)學運算）3.能利用函數(shù)的最值解決有關的實際應用問題.（數(shù)學建模）下列兩個函數(shù)的圖象：圖1ox0xMyyxox0圖2M觀察

觀察這兩個函數(shù)圖象，圖中有個最高點，那么這個最高點的縱坐標叫什么呢？思考

設函數(shù)y=f(x)圖象上最高點的縱坐標為M，則對函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x，f(x)與M的大小關系如何？思考f(x)<M?(0)=1O122、存在0，使得?(0)=1.1、對任意的都有?(x)≤1.1是此函數(shù)的最大值再來觀察本節(jié)的圖3.2-2，可以發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)的圖像上有一個最低點（0，0），即.當一個函數(shù)的圖像有最低點時，我們就說函數(shù)有最小值.你能以函數(shù)為例說明函數(shù)的最大值的含義嗎?函數(shù)的圖像如下圖所示，在該圖像上有一個最高點（0，0），即則稱有最大值一般地，設函數(shù)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：那么，我們稱M是函數(shù)的最大值.思考：你能仿照函數(shù)最大值的定義，給出函數(shù)的最小值的定義嗎？一般地，設函數(shù)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：那么，我們稱M是函數(shù)的最小值.最大值定義最小值定義對函數(shù)的最值的理解（1）最值首先是一個函數(shù)值，即在函數(shù)的定義域I內(nèi)，存在在一個自變量，使得等于最值.（2）對于定義域內(nèi)任何元素x，都有“任意”兩個字不可省略.（3）使函數(shù)f（x）取最值的自變量的值有時可能不止一個.（4）函數(shù)f（x）的最大值的幾何意義是其圖象上最高點的縱坐標；最小值的幾何意義是其圖象上最低點的縱坐標.函數(shù)的最值與值域的關系（1）函數(shù)的最值和值域反應的是函數(shù)的整體性質(zhì)，針對的是整個定義域；（2）函數(shù)的值域一定存在，函數(shù)的最值不一定存在；（3）若函數(shù)的最值存在，則最值一定是值域中的元素；（4）若函數(shù)的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無最值；若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點值就是函數(shù)的最值.1.圖像法求函數(shù)最值典例1解：做出函數(shù)的圖像。顯然，函數(shù)圖像的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標就是這時距地面的高度.oth43215101520由二次函數(shù)的知識，對于函數(shù)，我們有當時，函數(shù)有最大值

所以，煙花沖出1.5s是它爆裂的最佳時刻，此時距離地面的高度約為29m.方法總結(jié)

圖象法求函數(shù)最值的一般步驟2.利用函數(shù)單調(diào)性求最值

已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值與最小.

分析：由函數(shù)的圖象可知道，此函數(shù)在[2，6]上遞減。所以在區(qū)間[2，6]的兩個端點上分別取得最大值與最小值.

解：設是區(qū)間[2，6]上的任意兩個實數(shù)，且，則典例2由于得于是即所以，此函數(shù)在區(qū)間[2,6]的兩個端點上分別取得最大值與最小值即在x=2時取得最大值是2，在x=6時取得最小值為0.4.

（4）若函數(shù)定義域為開區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢.3.函數(shù)單調(diào)性的實際應用

（2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使盈利最多？典例3

方法總結(jié)

（1）解實際應用題時，要弄清題意，從實際出發(fā)，引入數(shù)學符號，建立數(shù)學模型，列出函數(shù)關系式，分析函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問題，要注意自變量的取值范圍.（2）在實際應用問題中，最大利潤、用料最省等問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來解決，本題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，利用配方法和分類討論思想使問題得到解決.

練一練

練一練3.將進貨單價為40元的商品按50元一個出售時，能賣出500個，已知這種商品每漲價1元，其銷售量就減少10個，為得到最大利潤，售價應為多少元？最大利潤為多少？

練一練4.二次函數(shù)最值

問題1：.如何表示矩形的面積？

問題3：.你能歸納求二次函數(shù)最值的方法嗎？[答案]

求解二次函數(shù)最值問題的方法：（1）確定對稱軸與拋物線的開口方向并作圖.（2）在圖象上標出定義域的位置.（3）觀察函數(shù)圖象，通過函數(shù)的單調(diào)性寫出最值.

方法指導

結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和求最值的方法進行求解.典例3

方法總結(jié)

1.二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)圖象的開口、對稱軸有關，求解時要注意這兩個因素.2.圖象直觀，便于分析、理解；配方法說理更嚴謹，一般用于解答題.

練一練

課本練習整個上午（8：00~12：00）天氣越來越暖，中午時分（12：00~13：00）一場暴風雨使天氣驟然涼爽了許多，暴風雨過后，天氣轉(zhuǎn)暖，直到太陽落山（18：00）才又開始轉(zhuǎn)涼.畫出這一天8：00~20：00的期間氣溫作為時間函數(shù)的一個可能的圖象（示意圖），并說出所畫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：函數(shù)的一個可能圖象如圖（1）所示：單調(diào)增區(qū)間：[8,12)，[13,18);單調(diào)減區(qū)間：[12,13)，[18,20].圖象的形狀不是唯一的，只要能反映氣溫的變化情況即可2.設函數(shù)的定義域為[-6，11].如果在區(qū)間[-6，2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2，11]上單調(diào)遞增，畫出的一個大致的圖象，從圖象上可以發(fā)現(xiàn)f(-2)函數(shù)f(x)的一個__________.解：在區(qū)間[-6，11]上的大致圖象如圖所示.最小值3.已知函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值.解：所以，函數(shù)在區(qū)間[2，6]上單調(diào)遞減.隨堂檢測

C

B

B

求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的問題實質(zhì)上就是求函數(shù)的值域問題，因此求函數(shù)值域的方法也可用來求函數(shù)